etnik bilim

Vektörlerin koordinatlara göre nokta çarpımı. Vektörlerin nokta çarpımı

1. Tanım ve en basit özellikler. Sıfır olmayan a ve b vektörlerini alalım ve bunları rastgele bir O noktasından çizelim: OA = a ve OB = b. AOB açısının büyüklüğü a ve b vektörleri arasındaki açı olarak adlandırılır ve şöyle gösterilir: (a,b). İki vektörden en az biri sıfır ise, aralarındaki açı tanım gereği doğru kabul edilir. Tanım gereği vektörler arasındaki açının 0'dan az ve 0'dan fazla olmadığına dikkat edin. . Ayrıca, sıfır olmayan iki vektör arasındaki açı, ancak ve ancak bu vektörlerin eş yönlü ve eşit olması durumunda 0'a eşittir. ancak ve ancak zıt yönlerdeyseler.

Vektörler arasındaki açının O noktasının seçimine bağlı olmadığını kontrol edelim. Vektörler eşdoğrusal ise bu durum açıktır. Aksi halde keyfi bir O noktasından erteleyeceğiz 1 vektörler O 1 A 1 = a ve O 1 İÇİNDE 1 = b ve AOB ve A üçgenlerine dikkat edin 1 HAKKINDA 1 İÇİNDE 1 üç tarafı eşit çünkü |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 İÇİNDE 1 | = |b|, |AB| = |A 1 İÇİNDE 1 | = |b–a|. Bu nedenle AOB ve A açıları 1 HAKKINDA 1 İÇİNDE 1 eşittir.

Artık bu paragrafın ana noktasını verebiliriz

(5.1) Tanım. İki vektör a ve b'nin (ab ile gösterilir) skaler çarpımı sayıdır 6 , bu vektörlerin uzunlukları ile vektörler arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. Kısaca konuşursak:

ab = |a||b|cos (a,b).

Bir skaler çarpım bulma işlemine skaler vektör çarpımı denir. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı aa, bu vektörün skaler karesi olarak adlandırılır ve a ile gösterilir. 2 .

(5.2) Bir vektörün skaler karesi, uzunluğunun karesine eşittir.

 Eğer |a|  0, o zaman (a,a) = 0, nereden 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Eğer a = 0 ise, o zaman a 2 = |bir| 2 = 0. 

(5.3) Cauchy eşitsizliği. İki vektörün skaler çarpımının modülü, faktörlerin modüllerinin çarpımını aşmaz: |ab| |a||b|. Bu durumda eşitlik ancak ve ancak a ve b vektörlerinin doğrusal olması durumunda sağlanır.

 Tanım gereği |ab| = ||a||b|çünkü (a,b)| = |a||b||çünkü (a,b)|  |a||b. Bu Cauchy'nin eşitsizliğinin kendisini kanıtlıyor. Şimdi dikkat edelim. sıfırdan farklı vektörler için a ve b eşitliği ancak ve ancak |cos durumunda elde edilir (a,b)| = 1, yani en (a,b) = 0 veya (a,b) =  . İkincisi, a ve b vektörlerinin birlikte veya zıt yönde olması gerçeğine eşdeğerdir; doğrusal. a ve b vektörlerinden en az biri sıfır ise, bunlar doğrusaldır ve |ab| = |a||b| = 0. 

2. Skaler çarpımın temel özellikleri. Bunlar aşağıdakileri içerir:

(SU1) ab = ba (değişme);

(SU2) (xa)b = x(ab) (ilişkililik);

(SU3) a(b+c) = ab + ac (dağılım).

Buradaki değişmezlik açıktır, çünkü ab =  ba. x = 0'daki ilişkisellik de açıktır. Eğer x > 0 ise, o zaman

(ha)b = |ha||b|çünkü (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

için (xa,b) = (a,b) (xa ve a vektörlerinin ortak yönünden - Şekil 21). eğer x< 0, o zaman

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

için (xa,b) = –  (a,b) (xa ve a vektörlerinin ters yönünden - Şekil 22). Böylece çağrışım da kanıtlanmıştır.

Dağıtılabilirliği kanıtlamak daha zordur. Bunun için böyle bir şeye ihtiyacımız var

(5.4) Lemma. a'nın l doğrusuna paralel sıfırdan farklı bir vektör ve b'nin keyfi bir vektör olduğunu varsayalım. Daha sonra dik projeksiyonBb vektörünün l düz çizgisine oranı eşittir
.



Eğer b = 0 ise, o zamanB" = 0 ve ab = 0, dolayısıyla bu durumda lemma doğrudur. Aşağıda b" vektörünün sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız. Bu durumda, l düz çizgisinin rastgele bir O noktasından OA = a ve OB = b vektörlerini çizeriz ve ayrıca BB" dik açısını B noktasından l düz çizgisine indiririz. Tanım gereğiÖB" = B" Ve (a,b) =  AOB. Haydi belirtelim AOB aracılığıyla ve aşağıdaki üç durumun her biri için lemmayı ayrı ayrı kanıtlayın:

1)  <  /2. Daha sonra a ve vektörleri birlikte yönlendirilir (Şekil 23) ve

B" = =
=
.

2)  >  /2. Daha sonra a ve vektörleriB" zıt yöndedir (Şek. 24) ve

B" = – = –
= .

3)  =  /2. Daha sonraB" = 0 ve ab = 0, neredenB" =
= 0. 

Şimdi dağıtıcılığı (SU3) kanıtlıyoruz. A vektörünün sıfır olup olmadığı açıktır. izin ver  0. Sonra l düz çizgisini çiziyoruz || a ve şununla belirtinB" VeC" b ve c vektörlerinin onun üzerine ve içinden geçen ortogonal izdüşümleriD", d = b+c vektörünün ona dik izdüşümüdür. Teorem 3.5'e göreD" = B"+ C"Lemma 5.4'ü son eşitliğe uygulayarak eşitliği elde ederiz
=
. Bunu a ile skaler olarak çarparsak şunu buluruz: 2 =
, buradan itibaren ad = ab+ac, bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Kanıtladığımız vektörlerin skaler çarpımının özellikleri, sayıların çarpımının karşılık gelen özelliklerine benzer. Ancak sayıların çarpımına ilişkin tüm özellikler, vektörlerin skaler çarpımına taşınmaz. İşte tipik örnekler:

) Eğer ab = 0 ise bu, a = 0 veya b = 0 anlamına gelmez. Örnek: bir dik açı oluşturan sıfırdan farklı iki vektör.

2) Eğer ab = ac ise, a vektörü sıfırdan farklı olsa bile bu, b = c anlamına gelmez. Örnek: b ve c, aynı uzunlukta iki farklı vektördür ve a vektörü ile eşit açılar oluşturur (Şekil 25).

3) a(bc) = (ab)c'nin her zaman doğru olduğu doğru değildir: sırf bc, ab için böyle bir eşitliğin geçerliliği nedeniyle 0, a ve c vektörlerinin doğrusallığını ifade eder.

3. Vektörlerin dikliği. Aralarındaki açı doğru ise iki vektöre ortogonal denir. Vektörlerin dikliği simgesiyle gösterilir .

Vektörler arasındaki açıyı belirlediğimizde sıfır vektörü ile herhangi bir vektör arasındaki açının düz olduğunu kabul ettik. Bu nedenle sıfır vektörü herhangi birine diktir. Bu anlaşma bize bunu kanıtlama olanağı sağlar

(5.5) İki vektörün dikliğini test edin. İki vektör ancak ve ancak iç çarpımları 0 ise diktir.

 a ve b keyfi vektörler olsun. Bunlardan en az biri sıfırsa diktirler ve skaler çarpımları 0'a eşittir. Dolayısıyla bu durumda teorem doğrudur. Şimdi bu vektörlerin her ikisinin de sıfır olmadığını varsayalım. Tanım gereği ab = |a||b|cos (a,b). Çünkü varsayımımıza göre |a| sayıları ve |b| 0'a eşit değilse ab = 0 çünkü (a,b) = 0  (a,b) = /2, kanıtlanması gereken şey buydu.

Vektörlerin dikliğini belirlemek için sıklıkla ab = 0 eşitliği alınır.

(5.6) Sonuç. Eğer a vektörü a vektörlerinin her birine dik ise 1 , …, A P ise bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonuna diktir.

 Aa eşitliğinden bunu not etmek yeterlidir. 1 = ... = aa P = 0 a(x) eşitliğini takip eder 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ahh 1 ) + … +x P (ahh P ) = 0. 

Sonuç 5.6'dan bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için okul kriterini kolaylıkla türetebiliriz. Aslında, bazı MN doğrularının kesişen iki AB ve AC doğrusuna dik olmasına izin verin. Bu durumda MN vektörü AB ve AC vektörlerine diktir. ABC düzlemindeki herhangi bir DE düz çizgisini alalım. DE vektörü aynı doğrultuda olmayan AB ve AC vektörleriyle eş düzlemlidir ve bu nedenle onlar boyunca genişler. Ama aynı zamanda MN vektörüne de diktir, yani MN ve DE doğruları diktir. MN düz çizgisinin ABC düzlemindeki herhangi bir düz çizgiye dik olduğu ortaya çıktı ki bunun kanıtlanması gerekiyordu.

4. Ortonormal bazlar. (5.7) Tanım. Bir vektör uzayının tabanına, ilk olarak tüm vektörleri birim uzunluğa sahipse ve ikinci olarak vektörlerinden herhangi ikisi dik ise ortonormal denir.

Üç boyutlu uzayda ortonormal tabanlı vektörler genellikle i, j ve k harfleriyle ve vektör düzleminde i ve j harfleriyle gösterilir. İki vektörün ortogonallik işaretini ve bir vektörün skaler karesinin uzunluğunun karesine eşitliğini dikkate alarak, V uzayının (i,j,k) tabanının ortonormalliğine ilişkin koşullar 3 şu şekilde yazılabilir:

(5.8) ben 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

ve vektör düzleminin (i,j) tabanı - şu şekilde:

(5.9)i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

a ve b vektörlerinin V uzayının ortonormal tabanına (i,j,k) sahip olduğunu varsayalım. 3 koordinatlar (bir 1 , A 2 , A 3 ) ve B 1 B 2 ,B 3 ) sırasıyla. Daha sonraab = (A 1 ben+A 2 j+A 3 k)(b 1 ben+b 2 j+b 3 k) = bir 1 B 1 Ben 2 +bir 2 B 2 J 2 +bir 3 B 3 k 2 +bir 1 B 2 ij+a 1 B 3 tamam+a 2 B 1 ji+a 2 B 3 jk+a 3 B 1 ki+a 3 B 2 kj = a 1 B 1 +bir 2 B 2 +bir 3 B 3 . a(a) vektörlerinin skaler çarpımının formülünü bu şekilde elde ederiz. 1 ,A 2 ,A 3 ) ve b(b 1 ,B 2 ,B 3 ), V uzayının ortonormal bazındaki koordinatları tarafından verilir 3 :

(5.10) ab = a 1 B 1 +bir 2 B 2 +bir 3 B 3 .

a(a) vektörleri için 1 ,A 2 ) ve b(b 1 ,B 2 ), koordinatları vektör düzleminde ortonormal bazda verildiğinde, şu forma sahiptir:

(5.11) ab = a 1 B 1 +bir 2 B 2 .

Formül (5.10)'da b = a'yı değiştirelim. Ortonormal temelde bir 2 = bir 1 2 + bir 2 2 + bir 3 2 . beri 2 = |bir| 2 a(a) vektörünün uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü elde ederiz. 1 ,A 2 ,A 3 ), V uzayının ortonormal bazındaki koordinatları tarafından verilir 3 :

(5.12) |a| =
.

Vektör düzleminde (5.11)’den dolayı şu formu alır:

(5.13) |a| =
.

b = i, b = j, b = k'yi formül (5.10)'da yerine koyarsak, üç kullanışlı eşitlik daha elde ederiz:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Vektörlerin skaler çarpımını ve vektörün uzunluğunu bulmak için koordinat formüllerinin basitliği, ortonormal tabanların ana avantajıdır. Ortonormal olmayan bazlar için bu formüller genel olarak yanlıştır ve bu durumda bunların kullanılması büyük bir hatadır.

5. Yön kosinüsleri. V uzayının ortonormal tabanını (i,j,k) alalım 3 vektör a(a) 1 ,A 2 ,A 3 ). Daha sonraai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a,i).Öte yandan ai = a 1 formül 5.14'e göre. Şekline dönüştü

(5.15)a 1 = |a|çünkü (a,i).

ve benzer şekilde,

A 2 = |a|çünkü (a,j) ve 3 = |a|çünkü (a,k).

Eğer a vektörü birim ise, bu üç eşitlik özellikle basit bir biçim alır:

(5.16) A 1 =çünkü (a,i),A 2 =çünkü (a,j),A 3 =çünkü (a,k).

Bir vektörün ortonormal tabanlı vektörlerle oluşturduğu açıların kosinüslerine, bu vektörün bu tabandaki yön kosinüsleri denir. Formül 5.16'nın gösterdiği gibi, birim vektörün ortonormal bazdaki koordinatları, yön kosinüslerine eşittir.

5.15'ten şu sonuç çıkıyor: 1 2 + bir 2 2 + bir 3 2 = |bir| 2 (çünkü 2  (a,i)+çünkü 2  (a,j) +çünkü 2  (a,k)). Öte yandan, bir 1 2 + bir 2 2 + bir 3 2 = |bir| 2 . Şekline dönüştü

(5.17) sıfır olmayan bir vektörün yön kosinüslerinin karelerinin toplamı 1'e eşittir.

Bu gerçek bazı sorunların çözümünde faydalı olabilir.

(5.18) Sorun. Dikdörtgen bir paralel yüzün köşegeni, iki kenarı aynı tepe noktasından çıkan 60 derecelik açılar oluşturur. . Bu tepe noktasından çıkan üçüncü kenarla hangi açıyı oluşturuyor?

 V uzayının ortonormal tabanını düşünün 3 vektörleri, belirli bir tepe noktasından uzanan bir paralel yüzün kenarlarıyla gösterilir. Köşegen vektör bu tabanın iki vektörüyle 60 derecelik açı oluşturduğundan , üç yönlü kosinüslerinden ikisinin kareleri cos'a eşittir 2 60  = 1/4. Dolayısıyla üçüncü kosinüsün karesi 1/2'ye eşittir ve bu kosinüsün kendisi de 1/'ye eşittir.
. Bu, gerekli açının 45 olduğu anlamına gelir . 

Vektörler arasındaki açı

Verilen iki $\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörünü düşünün. $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ ve $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ vektörlerini keyfi olarak seçilmiş bir $O$ noktasından çıkaralım, o zaman $AOB$ açısına denir $\overrightarrow( a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörleri arasındaki açı (Şekil 1).

Resim 1.

Burada $\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörlerinin eş yönlü olması veya bunlardan birinin sıfır vektörü olması durumunda, vektörler arasındaki açının $0^0$ olacağını unutmayın.

Gösterim: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektörlerin nokta çarpımı kavramı

Matematiksel olarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:

Nokta çarpımı iki durumda sıfır olabilir:

Vektörlerden biri sıfır vektör ise (O zamandan beri uzunluğu sıfırdır).

Vektörler karşılıklı olarak dik ise (yani $cos(90)^0=0$).

Ayrıca, bu vektörler arasındaki açı dar ise skaler çarpımın sıfırdan büyük olduğuna dikkat edin (çünkü $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) ve bu vektörler arasındaki açı genişse sıfırdan küçüktür (çünkü $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Skaler çarpım kavramıyla ilgili olarak skaler kare kavramı da vardır.

Tanım 2

Bir $\overrightarrow(a)$ vektörünün skaler karesi, bu vektörün kendisiyle skaler çarpımıdır.

Skaler karenin şuna eşit olduğunu buluyoruz:

Vektör koordinatlarından nokta çarpımı hesaplama

Tanımdan çıkan skaler çarpımın değerini bulmanın standart yoluna ek olarak başka bir yol daha var.

Bunu düşünelim.

$\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörlerinin sırasıyla $\left(a_1,b_1\right)$ ve $\left(a_2,b_2\right)$ koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım.

Teorem 1

$\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörlerinin skaler çarpımı, karşılık gelen koordinatların çarpımlarının toplamına eşittir.

Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Kanıt.

Teorem kanıtlandı.

Bu teoremin birkaç sonucu vardır:

Sonuç 1: $\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörleri ancak ve ancak $a_1a_2+b_1b_2=0$ olması durumunda diktir

Sonuç 2: Vektörler arasındaki açının kosinüsü şuna eşittir: $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektörlerin skaler çarpımının özellikleri

Herhangi üç vektör ve bir $k$ gerçek sayısı için aşağıdakiler doğrudur:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Bu özellik, skaler karenin tanımından kaynaklanmaktadır (Tanım 2).

Seyahat hukuku:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Bu özellik, skaler çarpımın tanımından kaynaklanmaktadır (Tanım 1).

Dağıtım kanunu:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(numaralandır)

Teorem 1'e göre:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Kombinasyon yasası:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(numaralandır)

Teorem 1'e göre:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektörlerin skaler çarpımının hesaplanmasına yönelik bir problem örneği

örnek 1

$\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ if $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ ve $\left|\overrightarrow(b)\right vektörlerinin skaler çarpımını bulun |= 2$ ve aralarındaki açı $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$'a eşittir.

Çözüm.

Tanım 1'i kullanarak şunu elde ederiz:

$(30)^0 için:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0 için:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0 için:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0 için:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ sağ)=-3\sqrt(2)\]

Düzlem problemi durumunda, a = (a x; a y) ve b = (b x; b y) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

a b = a x b x + a y b y

Uzaysal problemler için vektörlerin skaler çarpımı formülü

Uzamsal bir problem durumunda, a = (a x; a y; a z) ve b = (b x; b y; b z) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

N boyutlu vektörlerin skaler çarpımı için formül

N boyutlu bir uzay durumunda, a = (a 1; a 2; ...; a n) ve b = (b 1; b 2; ...; b n) vektörlerinin skaler çarpımı şu şekilde bulunabilir: aşağıdaki formül:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektörlerin skaler çarpımının özellikleri

1. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir:

2. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı ancak ve ancak vektör sıfır vektörüne eşitse sıfıra eşittir:

a · a = 0<=>bir = 0

3. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı, modülünün karesine eşittir:

4. Skaler çarpma işlemi iletişimseldir:

5. Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı sıfıra eşitse, bu vektörler diktir:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴b

6. (αa) b = α(a b)

7. Skaler çarpımın işlemi dağılımlıdır:

(a + b) c = a c + b c

Vektörlerin skaler çarpımının hesaplanmasına yönelik problem örnekleri

Düzlem problemleri için vektörlerin skaler çarpımını hesaplama örnekleri

a = (1; 2) ve b = (4; 8) vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Çözüm: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

A ve b vektörlerinin uzunlukları |a| ise skaler çarpımını bulun. = 3, |b| = 6 ve vektörler arasındaki açı 60˚'dir.

Çözüm: a · b = |a| · |b| çünkü α = 3 · 6 · çünkü 60˚ = 9.

p = a + 3b ve q = 5a - 3 b vektörlerinin uzunlukları |a| ise skaler çarpımını bulun. = 3, |b| = 2 ve a ile b vektörleri arasındaki açı 60˚'dir.

Çözüm:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |bir| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 çünkü 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Uzamsal problemler için vektörlerin skaler çarpımının hesaplanmasına bir örnek

a = (1; 2; -5) ve b = (4; 8; 1) vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Çözüm: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

N boyutlu vektörler için nokta çarpımın hesaplanmasına bir örnek

a = (1; 2; -5; 2) ve b = (4; 8; 1; -2) vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Çözüm: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Vektörlerin ve bir vektörün çarpımına denir üçüncü vektör , aşağıdaki gibi tanımlanır:

2) dik, dik. (1"")

3) vektörler tüm uzayın tabanıyla aynı şekilde yönlendirilir (pozitif veya negatif).

Atamak: .

Vektör çarpımının fiziksel anlamı

— O noktasına göre kuvvet momenti; - yarıçap - kuvvet uygulama noktasının vektörü, o zaman

Üstelik eğer onu O noktasına taşırsak, o zaman üçlünün temel vektör olarak yönlendirilmesi gerekir.

Vektörlerin skaler çarpımı (bundan sonra SP olarak anılacaktır). Sevgili arkadaşlar! Matematik sınavı vektörlerin çözümüne ilişkin bir grup problem içerir. Zaten bazı sorunları değerlendirdik. Bunları “Vektörler” kategorisinde görebilirsiniz. Genel olarak vektör teorisi karmaşık değildir, asıl önemli olan onu tutarlı bir şekilde incelemektir. Okul matematik dersinde vektörlerle yapılan hesaplamalar ve işlemler basittir, formüller karmaşık değildir. Şuna baksana. Bu yazıda vektörlerin SP'si (Birleşik Devlet Sınavına dahil) ile ilgili sorunları analiz edeceğiz. Şimdi teoriye “daldırma”:

H Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, sonunun koordinatlarından çıkarmanız gerekir.kökeninin karşılık gelen koordinatları

Ve ilerisi:

*Vektör uzunluğu (modül) aşağıdaki şekilde belirlenir:

Bu formüller unutulmamalı!!!

Vektörler arasındaki açıyı gösterelim:

0 ila 180 0 arasında değişebileceği açıktır.(veya 0'dan Pi'ye kadar radyan cinsinden).

Skaler çarpımın işareti hakkında bazı sonuçlar çıkarabiliriz. Vektörlerin uzunlukları pozitif bir değere sahiptir, bu açıktır. Bu, skaler çarpımın işaretinin, vektörler arasındaki açının kosinüsüne bağlı olduğu anlamına gelir.

Olası durumlar:

1. Vektörler arasındaki açı dar ise (0 0'dan 90 0'a kadar), açının kosinüsü pozitif bir değere sahip olacaktır.

2. Vektörler arasındaki açı genişse (90 0'dan 180 0'a kadar), açının kosinüsü negatif bir değere sahip olacaktır.

*Sıfır derecede yani vektörler aynı yöne sahip olduğunda kosinüs bire eşit olur ve dolayısıyla sonuç pozitif olur.

180o'de, yani vektörler zıt yönlere sahip olduğunda kosinüs eksi bire eşittir,ve buna göre sonuç negatif olacaktır.

Şimdi ÖNEMLİ NOKTA!

90°'de, yani vektörler birbirine dik olduğunda kosinüs sıfıra eşittir ve dolayısıyla SP sıfıra eşittir. Bu gerçek (sonuç, sonuç), matematik görevlerinin açık bankasında yer alan problemler de dahil olmak üzere, vektörlerin göreceli konumu hakkında konuştuğumuz birçok problemin çözümünde kullanılır.

İfadeyi formüle edelim: Skaler çarpım, ancak ve ancak bu vektörlerin dik çizgiler üzerinde yer alması durumunda sıfıra eşittir.

Yani, SP vektörleri için formüller:

Vektörlerin koordinatları veya başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açıyı her zaman bulabiliriz:

Görevleri ele alalım:

27724 a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Vektörlerin skaler çarpımını iki formülden birini kullanarak bulabiliriz:

Vektörler arasındaki açı bilinmiyor ancak vektörlerin koordinatlarını kolaylıkla bulup ilk formülü kullanabiliriz. Her iki vektörün orijini koordinatların orijini ile çakıştığı için bu vektörlerin koordinatları uçlarının koordinatlarına eşittir, yani

Bir vektörün koordinatlarının nasıl bulunacağı bölümünde açıklanmaktadır.

Hesaplıyoruz:

Cevap: 40

Vektörlerin koordinatlarını bulalım ve formülü kullanalım:

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıcının karşılık gelen koordinatlarını vektörün bitişinin koordinatlarından çıkarmak gerekir; bu şu anlama gelir:

Skaler çarpımı hesaplıyoruz:

Cevap: 40

a ve b vektörleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Vektörlerin koordinatları şu şekilde olsun:

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanırız:

Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Buradan:

Bu vektörlerin koordinatları eşittir:

Bunları formülde yerine koyalım:

Vektörler arasındaki açı 45 derecedir.

Cevap: 45

Eğer problemde hem vektörlerin uzunlukları hem de aralarındaki açı “gümüş bir tepside” sunuluyorsa, problemin durumu ve çözümü şöyle görünür:

Örnek 1. Vektörler verilmiştir. Vektörlerin uzunlukları ve aralarındaki açı aşağıdaki değerlerle temsil ediliyorsa, vektörlerin skaler çarpımını bulun:

Başka bir tanım da geçerlidir ve tanım 1'e tamamen eşdeğerdir.

Tanım 2. Vektörlerin skaler çarpımı, bu vektörlerden birinin uzunluğunun çarpımına ve başka bir vektörün bu vektörlerden birincisi tarafından belirlenen eksene izdüşümünün çarpımına eşit bir sayıdır (skaler). Tanım 2'ye göre formül:

Bir sonraki önemli teorik noktadan sonra bu formülü kullanarak sorunu çözeceğiz.

Vektörlerin skaler çarpımının koordinat cinsinden tanımı

Çarpılan vektörlere koordinatları verilirse aynı sayı elde edilebilir.

Tanım 3. Vektörlerin nokta çarpımı, karşılık gelen koordinatlarının ikili çarpımlarının toplamına eşit bir sayıdır.

Yüzeyde

Düzlemdeki iki vektör bunların ikisiyle tanımlanmışsa Kartezyen dikdörtgen koordinatlar

bu durumda bu vektörlerin skaler çarpımı, karşılık gelen koordinatlarının ikili çarpımlarının toplamına eşittir:

Örnek 2. Vektörün, vektöre paralel eksene izdüşümünün sayısal değerini bulun.

Çözüm. Vektörlerin skaler çarpımını, koordinatlarının ikili çarpımlarını toplayarak buluruz:

Şimdi ortaya çıkan skaler çarpımı, vektörün uzunluğunun çarpımına ve vektörün vektöre paralel bir eksene izdüşümüne (formüle uygun olarak) eşitlememiz gerekiyor.

Vektörün uzunluğunu, koordinatlarının kareleri toplamının karekökü olarak buluruz:

Bir denklem oluşturup çözüyoruz:

Cevap. Gerekli sayısal değer eksi 8'dir.

Boşlukta

Uzayda iki vektör, onların üç Kartezyen dikdörtgen koordinatlarıyla tanımlanırsa

o zaman bu vektörlerin skaler çarpımı da karşılık gelen koordinatlarının ikili çarpımlarının toplamına eşittir, yalnızca zaten üç koordinat vardır:

Ele alınan yöntemi kullanarak skaler çarpımı bulma görevi, skaler çarpımın özelliklerinin analiz edilmesinden sonradır. Çünkü problemde çarpılan vektörlerin hangi açıyı oluşturduğunu belirlemeniz gerekecek.

Vektörlerin skaler çarpımının özellikleri

Cebirsel özellikler

1. (değişme özelliği: çarpılan vektörlerin yerlerinin tersine çevrilmesi, bunların skaler çarpımının değerini değiştirmez).

2. (sayısal bir faktöre göre ilişkisel özellik: Bir vektörün belirli bir faktörle ve başka bir vektörle çarpılan skaler çarpımı, bu vektörlerin aynı faktörle çarpılan skaler çarpımına eşittir).

3. (vektörlerin toplamına göre dağılım özelliği: iki vektörün üçüncü vektöre göre toplamının skaler çarpımı, birinci vektörün üçüncü vektöre ve ikinci vektörün üçüncü vektöre göre skaler çarpımlarının toplamına eşittir.

4. (sıfırdan büyük vektörün skaler karesi), if sıfırdan farklı bir vektördür ve , if bir sıfır vektörüdür.

Geometrik özellikler

İncelenen işlemin tanımlarında iki vektör arasındaki açı kavramına daha önce değinmiştik. Bu kavramı açıklığa kavuşturmanın zamanı geldi.

Yukarıdaki şekilde ortak bir orijine getirilen iki vektörü görebilirsiniz. Dikkat etmeniz gereken ilk şey bu vektörler arasında iki açının olmasıdır. φ 1 Ve φ 2 . Vektörlerin skaler çarpımının tanımlarında ve özelliklerinde bu açılardan hangisi yer alır? Dikkate alınan açıların toplamı 2'dir π dolayısıyla bu açıların kosinüsleri eşittir. Bir nokta çarpımın tanımı, açının ifadesinin değerini değil, yalnızca açının kosinüsünü içerir. Ancak özellikler yalnızca bir açıyı dikkate alır. Bu da iki açıdan geçmeyendir. π yani 180 derece. Şekilde bu açı şu şekilde gösterilmiştir: φ 1 .

1. İki vektör çağrılır dikey Ve bu vektörler arasındaki açı düzdür (90 derece veya π /2), eğer bu vektörlerin skaler çarpımı sıfırdır :

Vektör cebirinde diklik, iki vektörün dikliğidir.

2. Sıfırdan farklı iki vektör oluşur keskin köşe (0'dan 90 dereceye kadar veya aynısı - daha az π nokta çarpımı pozitif .

3. Sıfırdan farklı iki vektör oluşur geniş açı (90'dan 180 dereceye kadar veya aynısı - daha fazla π /2) ancak ve ancak onlar nokta çarpımı negatif .

Örnek 3. Koordinatlar vektörler tarafından verilmektedir:

Verilen vektörlerin tüm çiftlerinin skaler çarpımlarını hesaplayın. Bu vektör çiftleri hangi açıyı (dar, dik, geniş) oluşturuyor?

Çözüm. Karşılık gelen koordinatların çarpımlarını toplayarak hesaplayacağız.

Negatif bir sayımız var, dolayısıyla vektörler geniş bir açı oluşturuyor.

Pozitif bir sayımız var, yani vektörler dar açı oluşturuyor.

Elimizde sıfır var, dolayısıyla vektörler dik açı oluşturuyor.

Pozitif bir sayımız var, yani vektörler dar açı oluşturuyor.

Kendi kendine test için kullanabilirsiniz çevrimiçi hesap makinesi Vektörlerin nokta çarpımı ve aralarındaki açının kosinüsü .

Örnek 4.İki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı göz önüne alındığında:

Ve vektörlerinin hangi sayı değerinde dik (dik) olduğunu belirleyin.

Çözüm. Polinomları çarpma kuralını kullanarak vektörleri çarpalım:

Şimdi her terimi hesaplayalım:

Bir denklem oluşturalım (çarpım sıfıra eşittir), benzer terimleri toplayalım ve denklemi çözelim:

Cevap: değeri aldık λ = 1,8, burada vektörler diktir.

Örnek 5. vektör olduğunu kanıtlayın vektöre dik (dik)

Çözüm. Dikliği kontrol etmek için vektörleri ve polinomları çarparız, bunun yerine problem ifadesinde verilen ifadeyi koyarız:

Bunu yapmak için, ilk polinomun her terimini (terimini) ikincinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen ürünleri eklemeniz gerekir:

Ortaya çıkan sonuçta kesir azaltılır. Aşağıdaki sonuç elde edilir:

Sonuç: Çarpma sonucunda sıfır elde ettik, dolayısıyla vektörlerin dikliği (dikliği) kanıtlandı.

Sorunu kendiniz çözün ve ardından çözüme bakın

Örnek 6. Ve vektörlerinin uzunlukları verilmiştir ve bu vektörler arasındaki açı π /4 . Hangi değerde olduğunu belirleyin μ vektörler ve karşılıklı olarak diktirler.

Kendi kendine test için kullanabilirsiniz çevrimiçi hesap makinesi Vektörlerin nokta çarpımı ve aralarındaki açının kosinüsü .

Vektörlerin nokta çarpımının ve n boyutlu vektörlerin çarpımının matris gösterimi

Bazen çarpılan iki vektörün matris biçiminde temsil edilmesi netlik açısından avantajlı olabilir. Daha sonra ilk vektör bir satır matrisi, ikincisi ise bir sütun matrisi olarak temsil edilir:

O zaman vektörlerin skaler çarpımı şöyle olacaktır: bu matrislerin çarpımı :

Sonuç, daha önce ele aldığımız yöntemle elde edilenle aynıdır. Tek bir sayımız var ve bir satır matrisinin bir sütun matrisiyle çarpımı da tek bir sayıdır.

Soyut n boyutlu vektörlerin çarpımını matris biçiminde göstermek uygundur. Böylece, iki dört boyutlu vektörün çarpımı, dört elemanlı bir satır matrisinin, yine dört elemanlı bir sütun matrisinin ürünü olacak, iki beş boyutlu vektörün çarpımı, beş elemanlı bir satır matrisinin çarpımı olacaktır. yine beş öğeli bir sütun matrisi vb.

Örnek 7. Vektör çiftlerinin skaler çarpımlarını bulun

matris gösterimini kullanma.

Çözüm. İlk vektör çifti. İlk vektörü satır matrisi, ikincisini ise sütun matrisi olarak temsil ediyoruz. Bu vektörlerin skaler çarpımını bir satır matrisi ile bir sütun matrisinin çarpımı olarak buluruz:

Benzer şekilde ikinci çifti de temsil ediyoruz ve şunu buluyoruz:

Gördüğünüz gibi sonuçlar örnek 2'deki aynı çiftlerle aynıydı.

İki vektör arasındaki açı

İki vektör arasındaki açının kosinüsü formülünün türetilmesi çok güzel ve özlüdür.

Vektörlerin nokta çarpımını ifade etmek için

(1)

Koordinat formunda öncelikle birim vektörlerin skaler çarpımını buluruz. Tanım gereği bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı:

Yukarıdaki formülde yazılanlar şu anlama gelir: bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı uzunluğunun karesine eşittir. Sıfırın kosinüsü bire eşittir, dolayısıyla her birimin karesi bire eşit olacaktır: