Direkt ve ters matrisin determinantları arasında nasıl bir ilişki vardır? Çamuru çözmek için matris yöntemi: ters matris kullanan bir çözüm örneği

Matris cebiri - Ters matris

ters matris

Ters matris belirli bir matrisle hem sağdan hem de soldan çarpıldığında birim matrisi veren bir matristir.
Matrisin ters matrisini gösterelim A aracılığıyla, tanıma göre şunu elde ederiz:

Nerede e– kimlik matrisi.
Kare matris isminde özel değil (dejenere olmayan) eğer determinantı sıfır değilse. Aksi halde denir özel (dejenere) veya tekil.

Teorem şunları tutar: Tekil olmayan her matrisin bir ters matrisi vardır.

Ters matris bulma işlemine denir çekici matrisler. Matris ters çevirme algoritmasını ele alalım. Tekil olmayan bir matris verilsin N-inci sıra:

burada Δ = det A ≠ 0.

Bir elemanın cebirsel eklenmesi matrisler N-inci sıra A belirli bir işaretle alınan bir matrisin determinantı denir ( N–1)'inci sıra silinerek elde edilir Ben-inci satır ve J inci matris sütunu A:

Hadi sözde yaratalım ekli matris:

matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları nerede A.
Matris satır elemanlarının cebirsel toplamalarının A matrisin ilgili sütunlarına yerleştirilir à yani matris aynı anda transpoze edilir.
Matrisin tüm elemanlarını bölerek Ã Δ ile – matris determinantının değeri A sonuç olarak ters matrisi elde ederiz:

Ters matrisin bazı özel özelliklerine dikkat edelim:
1) belirli bir matris için A onun ters matrisi tek olanıdır;
2) eğer ters bir matris varsa, o zaman sağa geri Ve sola ters matrisler onunla çakışıyor;
3) tekil (tekil) bir kare matrisin ters matrisi yoktur.

Ters bir matrisin temel özellikleri:
1) ters matrisin determinantı ile orijinal matrisin determinantı karşılıklıdır;
2) kare matrislerin çarpımının ters matrisi, ters sırayla alınan faktörlerin ters matrisinin çarpımına eşittir:

3) aktarılan ters matris, verilen aktarılan matrisin ters matrisine eşittir:

ÖRNEK Verilen matrisin tersini hesaplayın.

1. Orijinal matrisin determinantını bulun. Eğer ise matris tekildir ve ters matris yoktur. Eğer öyleyse, dejenere olmayan ve ters bir matris vardır.

2. Transpoze edilen matrisi bulun.

3. Elemanların cebirsel tamamlayıcılarını bulun ve bunlardan ek matrisi oluşturun.

4. Formülü kullanarak ters matrisi oluşturuyoruz.

5. Ters matris hesaplamasının doğruluğunu tanımına göre kontrol ediyoruz:.

Örnek. Bunun tersinin matrisini bulun: .

Çözüm.

1) Matris determinantı

.

2) Matris elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulun ve bunlardan birleşik matrisi oluşturun:

3) Ters matrisi hesaplayın:

,

4) Kontrol edin:

№4Matris sıralaması. Matris satırlarının doğrusal bağımsızlığı

Bir takım matematiksel ve uygulamalı problemleri çözmek ve incelemek için matris sıralaması kavramı önemlidir.

Bir boyut matrisinde, herhangi bir satır ve sütunu silerek, . dereceden kare alt matrisleri izole edebilirsiniz. Bu tür alt matrislerin determinantlarına denir. matris düzeninin küçükleri .

Örneğin matrislerden 1., 2. ve 3. dereceden alt matrisler elde edebilirsiniz.

Tanım. Bir matrisin derecesi, o matrisin sıfır olmayan küçüklerinin en yüksek mertebesidir. Tanım: veya.

Tanımdan şu sonuç çıkıyor:

1) Matrisin sıralaması, boyutlarından küçük olanı aşmaz;

2) ancak ve ancak matrisin tüm elemanları sıfıra eşitse, yani.

3) N'inci dereceden bir kare matris için ancak ve ancak matris tekil değilse.

En büyük boyuttan başlayarak matrisin tüm olası küçüklerini doğrudan numaralandırmak zor olduğundan (zaman alıcı), matrisin sırasını koruyan temel matris dönüşümlerini kullanırlar.

Temel matris dönüşümleri:

1) Sıfır satırını (sütununu) atıyoruz.

2) Bir satırın (sütun) tüm elemanlarını bir sayıyla çarpmak.

3) Matrisin satırlarının (sütunlarının) sırasının değiştirilmesi.

4) Bir satırın (sütun) her bir öğesine, başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerini herhangi bir sayıyla çarparak eklemek.

5) Matris aktarımı.

Tanım. Temel dönüşümler kullanılarak bir matristen elde edilen bir matrise eşdeğer denir ve gösterilir A İÇİNDE.

Teorem. Temel matris dönüşümleri sırasında matrisin sırası değişmez.

Temel dönüşümleri kullanarak, sıralamasını hesaplamak zor olmadığında matrisi adım formuna indirgeyebilirsiniz.

Bir matris aşağıdaki forma sahipse basamak olarak adlandırılır:

Açıkçası, bir adım matrisinin sırası sıfır olmayan satırların sayısına eşittir, çünkü sıfıra eşit olmayan küçük bir sıra var:

.

Örnek. Temel dönüşümleri kullanarak bir matrisin rütbesini belirleyin.

Matrisin sırası sıfır olmayan satırların sayısına eşittir, yani. .

№5Matris satırlarının doğrusal bağımsızlığı

Bir boyut matrisi verildiğinde

Matrisin satırlarını şu şekilde gösterelim:

İki satır denir eşit karşılık gelen elemanları eşitse. .

Bir dizgeyi bir sayıyla çarpma ve dizgeleri ekleme işlemlerini eleman eleman yapılan işlemler olarak tanıtalım:

Tanım. Bir satır, bu satırların çarpımlarının keyfi gerçek sayılarla (herhangi bir sayı) toplamına eşitse, bir matrisin satırlarının doğrusal birleşimi olarak adlandırılır:

Tanım. Matrisin satırlarına denir doğrusal bağımlı , matris satırlarının doğrusal birleşimi sıfır satırına eşit olacak şekilde aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa:

Nerede . (1.1)

Matris satırlarının doğrusal bağımlılığı, matrisin en az 1 satırının geri kalanların doğrusal bir kombinasyonu olduğu anlamına gelir.

Tanım. Satırların (1.1) doğrusal birleşimi sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm katsayılar varsa, o zaman satırlara çağrılır. Doğrusal bağımsız .

Matris sıralama teoremi . Bir matrisin sırası, diğer tüm satırların (sütunların) doğrusal olarak ifade edildiği doğrusal olarak bağımsız satır veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

Teorem matris analizinde, özellikle doğrusal denklem sistemlerinin incelenmesinde temel bir rol oynar.

№6Bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemleri ekonomide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Değişkenli doğrusal denklem sistemi şu şekildedir:

,

burada () isteğe bağlı sayılar çağrılır değişkenler için katsayılar Ve Denklemlerin serbest terimleri , sırasıyla.

Kısa giriş: ().

Tanım. Sistemin çözümü, sistemin her denkleminin gerçek bir eşitliğe dönüştüğü ikame üzerine böyle bir değerler kümesidir.

1) Denklem sisteminin adı eklem yeri En az bir çözümü varsa ve ortak olmayan, eğer hiçbir çözümü yoksa.

2) Eşzamanlı denklem sistemine denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz birden fazla çözümü varsa.

3) İki denklem sistemine denir eş değer (eş değer ) , eğer aynı çözüm kümesine sahiplerse (örneğin, tek bir çözüm).

Bu konu öğrenciler arasında en nefret edilen konulardan biridir. Daha da kötüsü, muhtemelen elemeler.

İşin püf noktası, ters eleman kavramının (ve sadece matrislerden bahsetmiyorum) bizi çarpma işlemine göndermesidir. Okul müfredatında bile çarpma işlemi karmaşık bir işlem olarak kabul edilir ve matrislerin çarpımı genellikle ayrı bir konudur ve buna bütün bir paragraf ve video dersim ayrılmıştır.

Bugün matris hesaplamalarının detaylarına girmeyeceğiz. Şimdi şunu hatırlayalım: Matrislerin nasıl belirlendiğini, nasıl çarpıldığını ve bundan ne çıkacağını.

İnceleme: Matris Çarpımı

Öncelikle notasyon konusunda anlaşalım. $\left[ m\times n \right]$ boyutunda bir $A$ matrisi, tam olarak $m$ satırları ve $n$ sütunları olan bir sayı tablosudur:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Yanlışlıkla satır ve sütunların karıştırılmasını önlemek için (inanın bana, bir sınavda bazı satırları bırakın, bir ile ikiyi bile karıştırabilirsiniz), resme bakmanız yeterli:

Matris hücreleri için endekslerin belirlenmesi

Ne oluyor? Standart koordinat sistemi $OXY$'ı sol üst köşeye yerleştirirseniz ve eksenleri tüm matrisi kaplayacak şekilde yönlendirirseniz, bu matrisin her hücresi benzersiz bir şekilde $\left(x;y \right)$ koordinatlarıyla ilişkilendirilebilir. - bu satır numarası ve sütun numarası olacaktır.

Koordinat sistemi neden sol üst köşeye yerleştirildi? Evet, çünkü oradan herhangi bir metni okumaya başlıyoruz. Hatırlamak çok kolaydır.

$x$ ekseni neden sağa değil de aşağıya doğru yönlendiriliyor? Yine basit: standart bir koordinat sistemi alın ($x$ ekseni sağa gider, $y$ ekseni yukarı çıkar) ve onu matrisi kaplayacak şekilde döndürün. Bu saat yönünde 90 derecelik bir dönüştür - sonucu resimde görüyoruz.

Genel olarak matris elemanlarının indekslerinin nasıl belirleneceğini bulduk. Şimdi çarpma işlemine bakalım.

Tanım. $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$ matrisleri, ilkindeki sütun sayısı ikincideki satır sayısıyla çakıştığında, tutarlı denir.

Tam olarak bu sırayla. Kafanız karışabilir ve $A$ ve $B$ matrislerinin $\left(A;B \right)$ sıralı bir çift oluşturduğu söylenebilir: eğer bunlar bu sırada tutarlıysa, o zaman $B'nin olması hiç de gerekli değildir. $ ve $A$ bunlar. $\left(B;A \right)$ çifti de tutarlıdır.

Yalnızca eşleşen matrisler çarpılabilir.

Tanım. Eşleşen $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$ matrislerinin çarpımı yeni $C=\left[ m\times k \right matrisidir ]$ , öğeleri $((c)_(ij))$ aşağıdaki formüle göre hesaplanır:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Başka bir deyişle: $C=A\cdot B$ matrisinin $((c)_(ij))$ öğesini elde etmek için, ilk matrisin $i$-satırını, yani $j$'ı almanız gerekir. ikinci matrisin -'inci sütununu bulun ve ardından bu satır ve sütundaki öğeleri çiftler halinde çarpın. Sonuçları toplayın.

Evet, bu çok sert bir tanım. Bundan hemen birkaç gerçek çıkıyor:

1. Genel anlamda matris çarpımı değişmeli değildir: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Ancak çarpma ilişkiseldir: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Ve hatta dağıtıcı olarak: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Ve bir kez daha dağıtımsal olarak: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Çarpma işleminin değişmezliği nedeniyle, çarpmanın dağılımının sol ve sağ toplam faktörü için ayrı ayrı tanımlanması gerekiyordu.

$A\cdot B=B\cdot A$ olduğu ortaya çıkarsa, bu tür matrislere değişmeli matrisler denir.

Orada bir şeyle çarpılan tüm matrisler arasında özel olanlar var - herhangi bir $A$ matrisiyle çarpıldığında tekrar $A$ verenler:

Tanım. $A\cdot E=A$ veya $E\cdot A=A$ ise, $E$ matrisine özdeşlik adı verilir. $A$ kare matris durumunda şunu yazabiliriz:

Birim matrisi, matris denklemlerini çözerken sık sık misafir edilir. Ve genel olarak matris dünyasına sık sık misafir oluyoruz. :)

Ve bu $E$ yüzünden birisi bundan sonra yazılacak tüm saçmalıkları ortaya attı.

Ters matris nedir

Matris çarpımı çok emek yoğun bir işlem olduğundan (bir grup satırı ve sütunu çarpmanız gerekir), ters matris kavramının da pek de önemsiz olmadığı ortaya çıkar. Ve biraz açıklama gerektiriyor.

Anahtar Tanımı

Artık gerçeği öğrenmenin zamanı geldi.

Tanım. Bir $B$ matrisine $A$ matrisinin tersi denir, eğer

Ters matris $((A)^(-1))$ ile gösterilir (dereceyle karıştırılmamalıdır!), dolayısıyla tanım aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Görünüşe göre her şey son derece basit ve açık. Ancak bu tanımı analiz ederken hemen birkaç soru ortaya çıkıyor:

1. Ters matris her zaman var mıdır? Ve her zaman değilse, o zaman nasıl belirlenir: ne zaman var ve ne zaman yok?
2. Peki böyle bir matrisin tam olarak var olduğunu kim söyledi? Peki ya $A$ başlangıç ​​matrisi için bir sürü tersler varsa?
3. Bütün bu “geri dönüşler” neye benziyor? Peki bunları tam olarak nasıl saymalıyız?

Hesaplama algoritmalarına gelince, bundan biraz sonra bahsedeceğiz. Ancak geri kalan soruları hemen cevaplayacağız. Bunları ayrı ifadeler-lemmalar şeklinde formüle edelim.

Temel özellikler

$A$ matrisinin, $((A)^(-1))$'ın var olması için prensip olarak nasıl görünmesi gerektiği ile başlayalım. Şimdi bu matrislerin her ikisinin de kare ve aynı boyutta olduğundan emin olacağız: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. $A$ matrisi ve bunun tersi $((A)^(-1))$ verildiğinde. O zaman bu matrislerin her ikisi de karedir ve aynı $n$ mertebesindedir.

Kanıt. Basit. $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ matrisi olsun. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ çarpımı tanım gereği mevcut olduğundan, $A$ ve $((A)^(-1))$ matrisleri gösterilen sırayla tutarlıdır:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( hizala)\]

Bu, matris çarpım algoritmasının doğrudan bir sonucudur: $n$ ve $a$ katsayıları “geçişlidir” ve eşit olmalıdır.

Aynı zamanda ters çarpma da tanımlanır: $((A)^(-1))\cdot A=E$, dolayısıyla $((A)^(-1))$ ve $A$ matrisleri şu şekildedir: ayrıca belirtilen sırada tutarlı:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( hizala)\]

Dolayısıyla, genelliği kaybetmeden $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ olduğunu varsayabiliriz. Bununla birlikte, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ tanımına göre, bu nedenle matrislerin boyutları kesinlikle çakışmaktadır:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Böylece, üç matrisin de - $A$, $((A)^(-1))$ ve $E$ - $\left[ n\times n \right]$ boyutunda kare matrisler olduğu ortaya çıktı. Lemma kanıtlanmıştır.

Bu zaten iyi. Yalnızca kare matrislerin tersinin alınabildiğini görüyoruz. Şimdi ters matrisin daima aynı olduğundan emin olalım.

Lema 2. $A$ matrisi ve bunun tersi $((A)^(-1))$ verildiğinde. O zaman bu ters matris tektir.

Kanıt. Çelişkiden gidelim: $A$ matrisinin en az iki tersi olsun - $B$ ve $C$. O halde tanıma göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(hizala)\]

Lemma 1'den dört matrisin tamamının - $A$, $B$, $C$ ve $E$ - aynı düzende kareler olduğu sonucuna varıyoruz: $\left[ n\times n \right]$. Bu nedenle ürün şu şekilde tanımlanır:

Matris çarpımı ilişkisel olduğundan (ancak değişmeli değil!), şunu yazabiliriz:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(hizala)\]

Mümkün olan tek seçeneğe sahibiz: Ters matrisin iki kopyası eşittir. Lemma kanıtlanmıştır.

Yukarıdaki argümanlar, tüm $b\ne 0$ gerçek sayıları için ters elemanın benzersizliğinin kanıtını neredeyse kelimesi kelimesine tekrarlıyor. Tek önemli ekleme matrislerin boyutunun dikkate alınmasıdır.

Ancak her kare matrisin tersinir olup olmadığı konusunda hala hiçbir şey bilmiyoruz. Burada determinant yardımımıza koşuyor; bu, tüm kare matrisler için temel bir özelliktir.

Lema 3. $A$ matrisi verildi. Ters matrisi $((A)^(-1))$ mevcutsa, orijinal matrisin determinantı sıfırdan farklıdır:

\[\sol| A\right|\ne 0\]

Kanıt. $A$ ve $((A)^(-1))$'nin $\left[ n\times n \right]$ boyutunda kare matrisler olduğunu zaten biliyoruz. Dolayısıyla her biri için determinantı hesaplayabiliriz: $\left| A\right|$ ve $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Ancak bir çarpımın determinantı, determinantların çarpımına eşittir:

\[\sol| A\cdot B \sağ|=\sol| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \sağ|\]

Ancak tanıma göre, $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ve $E$'ın determinantı her zaman 1'e eşittir, yani

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sol| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\sağ|; \\ & \sol| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(hizala)\]

İki sayının çarpımı ancak bu sayıların her biri sıfırdan farklıysa bire eşittir:

\[\sol| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Yani $\left| olduğu ortaya çıktı A \right|\ne 0$. Lemma kanıtlanmıştır.

Aslında bu gereklilik oldukça mantıklıdır. Şimdi ters matrisi bulmaya yönelik algoritmayı analiz edeceğiz - ve neden sıfır determinantlı bir ters matrisin prensipte var olamayacağı tamamen açıklığa kavuşacak.

Ama önce bir “yardımcı” tanım formüle edelim:

Tanım. Tekil bir matris, determinantı sıfır olan $\left[ n\times n \right]$ boyutunda bir kare matristir.

Böylece her tersinir matrisin tekil olmadığını iddia edebiliriz.

Bir matrisin tersi nasıl bulunur

Şimdi ters matrisleri bulmak için evrensel bir algoritmayı ele alacağız. Genel olarak genel kabul görmüş iki algoritma vardır ve bugün ikincisini de ele alacağız.

Şimdi tartışılacak olan $\left[ 2\times 2 \right]$ ve - kısmen - $\left[ 3\times 3 \right]$ boyutundaki matrisler için çok etkilidir. Ancak $\left[ 4\times 4 \right]$ boyutundan başlayarak onu kullanmamak daha iyidir. Neden - şimdi her şeyi kendin anlayacaksın.

Cebirsel eklemeler

Hazırlanmak. Şimdi acı olacak. Hayır endişelenmeyin: etekli, dantelli çoraplı güzel bir hemşire yanınıza gelip kalçanızdan enjeksiyon yapmayacak. Her şey çok daha sıradan: cebirsel eklemeler ve Majesteleri “Birlik Matrisi” size geliyor.

Ana şeyle başlayalım. $A=\left[ n\times n \right]$ boyutunda, elemanları $((a)_(ij))$ olarak adlandırılan bir kare matris olsun. O halde bu tür elemanların her biri için cebirsel bir tümleyen tanımlayabiliriz:

Tanım. $((A)_(ij))$ öğesinin $((a)_(ij))$ öğesinin cebirsel tamamlayıcısı, $A=\left[ matrisinin $i$th satırında ve $j$th sütununda yer alır. n \times n \right]$ formun bir yapısıdır

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Burada $M_(ij)^(*)$, aynı $i$th satırı ve $j$th sütunu silinerek orijinal $A$'dan elde edilen matrisin determinantıdır.

Tekrar. $\left(i;j \right)$ koordinatlarına sahip bir matris öğesinin cebirsel tamamlayıcısı $((A)_(ij))$ olarak gösterilir ve şemaya göre hesaplanır:

1. İlk olarak, orijinal matristen $i$-satırını ve $j$-th sütununu sileriz. Yeni bir kare matris elde ediyoruz ve onun determinantını $M_(ij)^(*)$ olarak gösteriyoruz.
2. Daha sonra bu determinantı $((\left(-1 \right))^(i+j))$ ile çarpıyoruz - ilk başta bu ifade akıllara durgunluk verici görünebilir, ancak özünde sadece önündeki işareti buluyoruz $M_(ij)^(*) $.
3. Belirli bir sayıyı sayarız ve alırız. Onlar. cebirsel toplama tam olarak bir sayıdır, yeni bir matris vb. değil.

$M_(ij)^(*)$ matrisinin kendisi, $((a)_(ij))$ öğesine ek bir küçük olarak adlandırılır. Ve bu anlamda, cebirsel tümleyenin yukarıdaki tanımı daha karmaşık bir tanımın özel bir durumudur - determinantla ilgili derste buna baktık.

Önemli Not. Aslında “yetişkin” matematiğinde cebirsel toplamalar şu şekilde tanımlanır:

1. Bir kare matriste $k$ satır ve $k$ sütun alıyoruz. Bunların kesişme noktasında $\left[ k\times k \right]$ büyüklüğünde bir matris elde ederiz - bunun determinantına $k$ mertebesinden küçük denir ve $((M)_(k))$ ile gösterilir.
2. Daha sonra bu "seçilen" $k$ satırların ve $k$ sütunların üzerini çizeriz. Bir kez daha bir kare matris elde edersiniz - bunun determinantına ek bir küçük denir ve $M_(k)^(*)$ ile gösterilir.
3. $M_(k)^(*)$ ile $((\left(-1 \right))^(t))$ ile çarpın; burada $t$ (şimdi dikkat!) seçilen tüm satırların sayılarının toplamıdır ve sütunlar. Bu cebirsel ekleme olacak.

Üçüncü adıma bakın: Aslında toplam 2 bin $ terimi var! Başka bir şey de, $k=1$ için yalnızca 2 terim alacağız - bunlar aynı $i+j$ olacaktır - bizim için kullandığımız $((a)_(ij))$ öğesinin "koordinatları" cebirsel bir tamamlayıcı arıyorum.

Yani bugün biraz basitleştirilmiş bir tanım kullanıyoruz. Ancak daha sonra göreceğimiz gibi, fazlasıyla yeterli olacaktır. Şu şey çok daha önemli:

Tanım. $S$ ile $A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisinin müttefik matrisi $\left[ n\times n \right]$ boyutunda yeni bir matristir ve $A$'dan elde edilir. $(( a)_(ij))$ yerine cebirsel eklemeler yaparak $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Bu tanımın farkına varıldığı anda ortaya çıkan ilk düşünce “ne kadar sayılması gerekecek!” Rahat olun: saymanız gerekecek ama o kadar da değil. :)

Peki bunların hepsi çok güzel ama neden gerekli? Ama neden.

Ana teorem

Biraz geriye gidelim. Unutmayın, Lemma 3'te ters çevrilebilir $A$ matrisinin her zaman tekil olmadığı (yani determinantının sıfırdan farklı olduğu: $\left| A \right|\ne 0$) belirtildiğini unutmayın.

Yani bunun tersi de doğrudur: Eğer $A$ matrisi tekil değilse, o zaman her zaman tersinirdir. Hatta $((A)^(-1))$ için bir arama şeması bile var. Buna bir bak:

Ters matris teoremi. $A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisi verilsin ve onun determinantı sıfırdan farklı olsun: $\left| A \right|\ne 0$. O halde $((A)^(-1))$ ters matrisi mevcuttur ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Ve şimdi - her şey aynı, ancak okunaklı bir el yazısıyla. Ters matrisi bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Belirleyiciyi hesaplayın $\left| Bir \right|$ ve sıfır olmadığından emin olun.
2. $S$ birleşim matrisini oluşturun; 100500 cebirsel eklemeyi $((A)_(ij))$ sayın ve bunları $((a)_(ij))$ yerine yerleştirin.
3. Bu matrisin transpozesini yapın $S$ ve sonra bunu bir sayıyla çarpın $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Bu kadar! Ters matris $((A)^(-1))$ bulundu. Örneklere bakalım:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Çözüm. Tersinirliği kontrol edelim. Determinantını hesaplayalım:

\[\sol| A\sağ|=\sol| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant sıfırdan farklıdır. Bu, matrisin tersinir olduğu anlamına gelir. Birleşim matrisi oluşturalım:

Cebirsel toplamaları hesaplayalım:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \sağ|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \sağ|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \sağ|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\sağ|=3. \\ \end(hizala)\]

Lütfen dikkat: belirleyiciler |2|, |5|, |1| ve |3| modüllerin değil, $\left[ 1\times 1 \right]$ boyutundaki matrislerin determinantlarıdır. Onlar. Determinantlarda negatif sayılar varsa “eksi”yi kaldırmaya gerek yoktur.

Toplamda, birleşim matrisimiz şuna benzer:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (dizi)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

Tamam artık her şey bitti. Problem çözüldü.

Cevap. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Görev. Ters matrisi bulun:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Çözüm. Determinantını tekrar hesaplıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant sıfırdan farklıdır; matris tersinirdir. Ama şimdi bu gerçekten zor olacak: 9'a kadar (dokuz, orospu çocuğu!) cebirsel toplama saymamız gerekiyor. Ve bunların her biri $\left[ 2\times 2 \right]$ determinantını içerecektir. Uçtu:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matris)\]

Kısaca birleşim matrisi şöyle görünecektir:

Bu nedenle ters matris şöyle olacaktır:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(dizi) \sağ]\]

Bu kadar. İşte cevap.

Cevap. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Gördüğünüz gibi her örneğin sonunda bir kontrol gerçekleştirdik. Bu bağlamda önemli bir not:

Kontrol etmek için tembel olmayın. Orijinal matrisi bulunan ters matrisle çarpın - $E$ elde etmelisiniz.

Bu kontrolü gerçekleştirmek, örneğin bir matris denklemini çözerken daha sonraki hesaplamalarda hata aramaktan çok daha kolay ve hızlıdır.

Alternatif yol

Söylediğim gibi, ters matris teoremi $\left[ 2\times 2 \right]$ ve $\left[ 3\times 3 \right]$ boyutları için harika çalışıyor (ikinci durumda, o kadar da "harika" değil " ), ancak daha büyük matrisler için üzüntü başlar.

Ancak endişelenmeyin: $\left[ 10\times 10 \right]$ matrisi için bile tersini rahatlıkla bulabileceğiniz alternatif bir algoritma var. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, bu algoritmayı ele almak için biraz teorik girişe ihtiyacımız var.

Temel dönüşümler

Tüm olası matris dönüşümleri arasında birkaç özel dönüşüm vardır - bunlara temel denir. Bu tür tam olarak üç dönüşüm var:

1. Çarpma işlemi. $i$'inci satırı (sütun) alıp herhangi bir sayıyla çarpabilirsiniz $k\ne 0$;
2. Ek. $i$-th satırına (sütununa) herhangi bir $j$-th satırını (sütununu) herhangi bir sayıyla çarparak ekleyin $k\ne 0$ (tabii ki $k=0$ yapabilirsiniz, ancak ne olur) önemli olan? Hiçbir şey değişmeyecek).
3. Yeniden düzenleme. $i$th ve $j$th satırlarını (sütunlarını) alın ve yer değiştirin.

Bu dönüşümlere neden temel deniyor (büyük matrisler için o kadar da basit görünmüyorlar) ve neden bunlardan sadece üçü var - bu sorular bugünkü dersin kapsamı dışındadır. Bu nedenle ayrıntılara girmeyeceğiz.

Başka bir şey daha önemli: Bütün bu saptırmaları ek matris üzerinde yapmamız gerekiyor. Evet evet: doğru duydunuz. Şimdi bir tanım daha olacak - bugünkü dersteki son tanım.

ek matris

Elbette okulda denklem sistemlerini toplama yöntemini kullanarak çözdünüz. İşte, bir satırdan bir tane daha çıkarın, bir satırı bir sayıyla çarpın - hepsi bu.

Yani: şimdi her şey aynı olacak, ancak "yetişkinlere uygun" bir şekilde. Hazır?

Tanım. $A=\left[ n\times n \right]$ matrisi ve aynı boyutta $n$ boyutunda bir $E$ birim matrisi verilsin. Daha sonra ek matris $\left[ A\left| Tamam. \right]$, $\left[ n\times 2n \right]$ boyutunda yeni bir matristir ve şuna benzer:

\[\sol[ A\sol| Tamam. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Kısacası, $A$ matrisini alıyoruz, sağ tarafta ona gerekli boyuttaki $E$ birim matrisini atadık, güzellik için bunları dikey bir çubukla ayırıyoruz - işte burada ek var. :)

Amaç ne? İşte şu:

Teorem. $A$ matrisinin tersi alınabilir olsun. $\left[ A\left| ek matrisini düşünün Tamam. \right]$. Kullanıyorsanız temel dize dönüşümleri$\left[ E\left| biçimine getirin Parlak. \right]$, yani $A$'dan sağdaki $E$ matrisini elde etmek için satırları çarparak, çıkararak ve yeniden düzenleyerek, solda elde edilen $B$ matrisi $A$'ın tersi olur:

\[\sol[ A\sol| Tamam. \sağ]\to \sol[ E\left| Parlak. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Bu kadar basit! Kısacası, ters matrisi bulma algoritması şöyle görünür:

1. Eş matrisi yazın $\left[ A\left| Tamam. \sağ]$;
2. $A$ yerine $E$ görünene kadar temel dize dönüşümlerini gerçekleştirin;
3. Tabii ki, solda da bir şey görünecek - belirli bir $B$ matrisi. Bu tam tersi olacak;
4. KÂR!:)

Elbette bunu söylemek yapmaktan çok daha kolaydır. Şimdi birkaç örneğe bakalım: $\left[ 3\times 3 \right]$ ve $\left[ 4\times 4 \right]$ boyutları için.

Görev. Ters matrisi bulun:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Çözüm. Ek matrisi oluşturuyoruz:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(dizi) \sağ]\]

Orijinal matrisin son sütunu birlerle dolu olduğundan, ilk satırı diğerlerinden çıkarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

İlk satır dışında başka birim yok. Ancak ona dokunmuyoruz, aksi takdirde yeni kaldırılan birimler üçüncü sütunda "çoğalmaya" başlayacak.

Ancak ikinci satırı sonuncusundan iki kez çıkarabiliriz - sol alt köşede bir tane elde ederiz:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Artık son satırı birinciden ve ikinciden iki kez çıkarabiliriz - bu şekilde ilk sütunu "sıfırlarız":

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ \sola[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

İkinci satırı -1 ile çarpın, ardından ilkinden 6 kez çıkarın ve sonuncuya 1 kez ekleyin:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(dizi)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Geriye kalan tek şey 1. ve 3. satırları değiştirmek:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Hazır! Sağda gerekli ters matris var.

Cevap. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Görev. Ters matrisi bulun:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \sağ]\]

Çözüm. Ek parçayı tekrar oluşturuyoruz:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Biraz ağlayalım, artık ne kadar saymamız gerektiğine üzülelim... ve saymaya başlayalım. Öncelikle, 2. ve 3. satırlardan 1. satırı çıkararak ilk sütunu "sıfırlayalım":

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(dizi) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

2-4. satırlarda çok fazla “eksiler” görüyoruz. Üç satırın tamamını -1 ile çarpın ve ardından 3. satırı diğerlerinden çıkararak üçüncü sütunu yakın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sol| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sol| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \sola[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Şimdi orijinal matrisin son sütununu "kızartma" zamanı: 4. satırı diğerlerinden çıkarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Son atış: 2. satırı 1. ve 3. satırlardan çıkararak ikinci sütunu “yakın”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( dizi) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ve yine birim matris solda yani tersi sağda. :)

Cevap. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Tamam artık her şey bitti. Kontrolü kendin yap, mahvoldum. :)

$A^(-1)$ matrisine $A$ kare matrisinin tersi denir, eğer $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ koşulu sağlanırsa, burada $E $, sırası $A$ matrisinin sırasına eşit olan birim matristir.

Tekil olmayan bir matris, determinantı sıfıra eşit olmayan bir matristir. Buna göre tekil bir matris, determinantı sıfıra eşit olan bir matristir.

Ters matris $A^(-1)$ ancak ve ancak $A$ matrisinin tekil olmaması durumunda mevcuttur. Eğer $A^(-1)$ ters matrisi mevcutsa, bu benzersizdir.

Bir matrisin tersini bulmanın birkaç yolu vardır ve biz bunlardan ikisine bakacağız. Bu sayfada çoğu yüksek matematik dersinde standart olarak kabul edilen birleşik matris yöntemi tartışılacaktır. Gauss yöntemini veya Gauss-Jordan yöntemini kullanmayı içeren ters matrisi bulmanın ikinci yöntemi (temel dönüşümler yöntemi) ikinci bölümde tartışılmaktadır.

Birleşik matris yöntemi

$A_(n\times n)$ matrisi verilsin. $A^(-1)$ ters matrisini bulmak için üç adım gereklidir:

1. $A$ matrisinin determinantını bulun ve $\Delta A\neq 0$ olduğundan emin olun; A matrisi tekil değildir.
2. $A$ matrisinin her bir elemanının cebirsel tamamlayıcılarını $A_(ij)$ oluşturun ve bulunan cebirden $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ matrisini yazın tamamlar.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü dikkate alarak ters matrisi yazın.

$(A^(*))^T$ matrisine genellikle $A$ matrisine ek (karşılıklı, müttefik) adı verilir.

Çözüm manuel olarak yapılırsa, ilk yöntem yalnızca nispeten küçük dereceli matrisler için iyidir: ikinci (), üçüncü (), dördüncü (). Daha yüksek dereceli bir matrisin tersini bulmak için başka yöntemler kullanılır. Örneğin ikinci bölümde tartışılan Gauss yöntemi.

Örnek No.1

$A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 matrisinin tersini bulun & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dördüncü sütunun tüm elemanları sıfıra eşit olduğundan $\Delta A=0$ (yani $A$ matrisi tekildir). $\Delta A=0$ olduğundan, $A$ matrisinin ters matrisi yoktur.

Cevap: $A^(-1)$ matrisi mevcut değil.

Örnek No.2

$A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ matrisinin tersini bulun. Kontrol gerçekleştirin.

Ek matris yöntemini kullanıyoruz. Öncelikle verilen $A$ matrisinin determinantını bulalım:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ olduğuna göre ters matris mevcut olduğundan çözüme devam edeceğiz. Cebirsel tamamlayıcıları bulma

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Cebirsel toplamalardan oluşan bir matris oluşturuyoruz: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Ortaya çıkan matrisin yerini değiştiririz: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the ortaya çıkan matrise genellikle $A$ matrisine ek veya müttefik matris adı verilir. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Böylece ters matris bulunur: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\sağ) $. Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için eşitliklerden birinin doğruluğunu kontrol etmek yeterlidir: $A^(-1)\cdot A=E$ veya $A\cdot A^(-1)=E$. $A^(-1)\cdot A=E$ eşitliğini kontrol edelim. Kesirlerle daha az çalışmak için, $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 biçiminde değil) değiştireceğiz & 5/103 \ end(array)\right)$ ve $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & biçiminde -5 \end(dizi )\sağ)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( dizi)\sağ)\cdot\left(\begin(dizi) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(dizi)\sağ) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\sağ) =E $$

Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Örnek No.3

$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ matrisinin ters matrisini bulun . Kontrol gerçekleştirin.

$A$ matrisinin determinantını hesaplayarak başlayalım. Yani $A$ matrisinin determinantı:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ olduğuna göre ters matris mevcut olduğundan çözüme devam edeceğiz. Belirli bir matrisin her elemanının cebirsel tamamlayıcılarını buluruz:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(hizalanmış) $$

Cebirsel eklemelerden oluşan bir matris oluşturuyoruz ve onu değiştiriyoruz:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Yani $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Sonucun doğruluğunu kontrol etmek için eşitliklerden birinin doğruluğunu kontrol etmek yeterlidir: $A^(-1)\cdot A=E$ veya $A\cdot A^(-1)=E$. $A\cdot A^(-1)=E$ eşitliğini kontrol edelim. Kesirlerle daha az çalışmak için, $A^(-1)$ matrisini $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ biçiminde olmayan bir şekilde değiştireceğiz. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ve $\frac(1)(26 biçiminde) )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (dizi) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Kontrol başarılı oldu, $A^(-1)$ ters matrisi doğru bulundu.

Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Örnek No. 4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 matrisinin tersini bulun & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Dördüncü dereceden bir matris için cebirsel toplamaları kullanarak ters matrisi bulmak biraz zordur. Ancak test kağıtlarında bu tür örneklere rastlanmaktadır.

Bir matrisin tersini bulmak için öncelikle $A$ matrisinin determinantını hesaplamanız gerekir. Bu durumda bunu yapmanın en iyi yolu determinantı bir satır (sütun) boyunca ayrıştırmaktır. Herhangi bir satır veya sütunu seçiyoruz ve seçilen satır veya sütunun her bir öğesinin cebirsel tümleyenlerini buluyoruz.

Örneğin, ilk satır için şunu elde ederiz:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

$A$ matrisinin determinantı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(hizalanmış) $$

Cebirsel tümleyenlerin matrisi: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Birleşik matris: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Ters matris:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

İstenirse kontrol önceki örneklerde olduğu gibi yapılabilir.

Cevap: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

İkinci bölümde, ters matrisi bulmanın Gauss yönteminin veya Gauss-Jordan yönteminin dönüşümlerinin kullanımını içeren başka bir yolunu ele alacağız.

Ters matris bulma yöntemleri. Bir kare matris düşünün

Δ = det A'yı gösterelim.

A kare matrisi denir dejenere olmayan, veya özel değil determinantı sıfırdan farklı ise ve dejenere, veya özel, EğerΔ = 0.

Bir kare matris B, eğer çarpımları A B = B A = E ise, aynı dereceden bir kare matris A içindir; burada E, A ve B matrisleriyle aynı dereceden birim matristir.

Teorem . A matrisinin ters matris olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir.

A matrisinin ters matrisi, A ile gösterilir- 1, yani B = A - 1 ve formülle hesaplanır

, (1)

burada A i j, A matrisinin a i j elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarıdır.

Yüksek dereceli matrisler için formül (1)'i kullanarak A -1'i hesaplamak çok emek yoğundur, dolayısıyla pratikte A -1'i temel dönüşümler (ET) yöntemini kullanarak bulmak uygundur. Tekil olmayan herhangi bir A matrisi, birim matrise yalnızca sütunların (veya yalnızca satırların) uygulanmasıyla birim matris E'ye indirgenebilir.A matrisi üzerindeki mükemmel dönüşümler, birim matris E'ye aynı sırayla uygulanırsa, sonuç ters bir matris olacaktır. A ve E matrisleri üzerinde aynı anda EP gerçekleştirmek, her iki matrisi bir çizgi boyunca yan yana yazmak uygundur. Bir matrisin kanonik formunu ararken onu bulmak için satır ve sütun dönüşümlerini kullanabileceğinizi bir kez daha belirtelim. Bir matrisin tersini bulmanız gerekiyorsa dönüştürme işlemi sırasında yalnızca satırları veya yalnızca sütunları kullanmalısınız.

örnek 1. Matris için A-1'i bulun.

Çözüm.İlk önce A matrisinin determinantını buluyoruz
Bu, ters matrisin var olduğu ve onu aşağıdaki formülü kullanarak bulabileceğimiz anlamına gelir: , burada A i j (i,j=1,2,3) orijinal matrisin a i j elemanlarının cebirsel toplamlarıdır.

Nerede .

Örnek 2. Temel dönüşüm yöntemini kullanarak matris için A -1'i bulun: A = .

Çözüm.Sağdaki orijinal matrise aynı mertebeden bir birim matris atarız: . Sütunların temel dönüşümlerini kullanarak, soldaki "yarıyı" özdeşliğe indirgeyeceğiz ve aynı dönüşümleri sağ matris üzerinde aynı anda gerçekleştireceğiz.
Bunu yapmak için birinci ve ikinci sütunları değiştirin: ~ . Üçüncü sütuna birinciyi, ikinciyi - birinciyi -2 ile çarparak ekliyoruz: . İlk sütundan ikinciyi iki katına çıkarıyoruz ve üçüncüsünden ikinciyi 6 ile çarpıyoruz; . Üçüncü sütunu birinci ve ikinciye ekleyelim: . Son sütunu -1 ile çarpın: . Dikey çubuğun sağında elde edilen kare matris, verilen A matrisinin ters matrisidir. Yani,
.