etnonauka

Iloczyn skalarny wektorów względem współrzędnych. Iloczyn skalarny wektorów

1. Definicja i najprostsze właściwości. Weźmy niezerowe wektory aib i wykreślmy je z dowolnego punktu O: OA = a i OB = b. Wielkość kąta AOB nazywana jest kątem pomiędzy wektorami aib i jest oznaczana (a, b). Jeśli co najmniej jeden z dwóch wektorów ma wartość zero, wówczas kąt między nimi z definicji uważa się za prosty. Należy pamiętać, że z definicji kąt między wektorami jest nie mniejszy niż 0 i nie większy niż . Co więcej, kąt między dwoma niezerowymi wektorami jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są współkierunkowe i równe wtedy i tylko wtedy, gdy są one w przeciwnych kierunkach.

Sprawdźmy, czy kąt między wektorami nie zależy od wyboru punktu O. Jest to oczywiste, jeśli wektory są współliniowe. W przeciwnym razie odłożymy z dowolnego punktu O 1 wektory O 1 A 1 = a i O 1 W 1 = b i zauważ, że trójkąty AOB i A 1 O 1 W 1 równe z trzech stron, ponieważ |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 W 1 | = |b|, |AB| = |A 1 W 1 | = |b–a|. Zatem kąty AOB i A 1 O 1 W 1 są równe.

Teraz możemy podać główny punkt tego akapitu

(5.1) Definicja. Iloczyn skalarny dwóch wektorów aib (oznaczonych ab) jest liczbą 6 równy iloczynowi długości tych wektorów i cosinusowi kąta między wektorami. Krótko mówiąc:

ab = |a||b|cos (a, b).

Operację znajdowania iloczynu skalarnego nazywamy mnożeniem wektora skalarnego. Iloczyn skalarny aa wektora sam w sobie nazywany jest kwadratem skalarnym tego wektora i oznaczany a 2 .

(5.2) Kwadrat skalarny wektora jest równy kwadratowi jego długości.

 Jeśli |a|  0, zatem (a, a) = 0, skąd a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Jeśli a = 0, to a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Nierówność Cauchy'ego. Moduł iloczynu skalarnego dwóch wektorów nie przekracza iloczynu modułów współczynników: |ab| |a||b|. W tym przypadku równość zostaje osiągnięta wtedy i tylko wtedy, gdy wektory aib są współliniowe.

 Z definicji |ab| = ||a||b|bo (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Dowodzi to samej nierówności Cauchy'ego. Teraz zauważmy. że dla niezerowych wektorów aib równość jest osiągnięta wtedy i tylko wtedy, gdy |cos (a,b)| = 1, tj. Na (a, b) = 0 lub (a, b) =  . To ostatnie jest równoznaczne z faktem, że wektory a i b są skierowane wspólnie lub przeciwnie, tj. współliniowy. Jeśli przynajmniej jeden z wektorów a i b ma wartość zero, to są one współliniowe i |ab| = |a||b| = 0. 

2. Podstawowe własności mnożenia przez skalar. Należą do nich:

(SU1) ab = ba (przemienność);

(SU2) (xa)b = x(ab) (łączność);

(SU3) a(b+c) = ab + ac (rozdzielność).

Przemienność tutaj jest oczywista, ponieważ ok =  ba. Łączność przy x = 0 jest również oczywista. Jeśli x > 0, to

(ha)b = |ha||b|kos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

Do (xa,b) = (a,b) (ze współkierunków wektorów xa i a - rys. 21). Jeśli x< 0, zatem

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

Do (xa,b) = –  (a,b) (z kierunku przeciwnego do wektorów xa i a - rys. 22). W ten sposób udowodniono również asocjatywność.

Udowodnienie rozdzielności jest trudniejsze. Do tego potrzebujemy takich

(5.4) Lemat. Niech a będzie niezerowym wektorem równoległym do prostej l, a b dowolnym wektorem. Następnie rzut ortogonalnyB" wektora b do prostej l jest równe
.



Jeśli b = 0, toB" = 0 i ab = 0, więc w tym przypadku lemat jest prawdziwy. W dalszej części założymy, że wektor b" jest niezerowy. W tym przypadku z dowolnego punktu O prostej l wykreślamy wektory OA = a i OB = b, a także obniżamy prostopadłą BB" z punktu B do prostej l. Z definicjiOB" = B" I (a, b) =  AOB. Oznaczmy AOB przez i udowodnij lemat osobno dla każdego z trzech przypadków:

1)  <  /2. Następnie wektory a i współkierowany (ryc. 23) i

B" = =
=
.

2)  >  /2. Następnie wektory a iB” są skierowane przeciwnie (ryc. 24) i

B" = – = –
= .

3)  =  /2. NastępnieB" = 0 i ok = 0, skądB" =
= 0. 

Teraz udowodnimy rozdzielność (SU3). Jest oczywiste, jeśli wektor a wynosi zero. Niech a  0. Następnie rysujemy linię prostą l || a i oznacz przezB" IC" rzuty ortogonalne wektorów b i c na niego i na wylotD" jest rzutem ortogonalnym wektora d = b+c na ten wektor. Zgodnie z Twierdzeniem 3.5D" = B"+ C„Stosując Lemat 5.4 do ostatniej równości, otrzymujemy równość
=
. Skalarnie mnożąc to przez a, znajdujemy to 2 =
, skąd ad = ab+ac, co należało udowodnić.

Udowodniliśmy, że właściwości mnożenia skalarnego wektorów są podobne do odpowiednich właściwości mnożenia liczb. Ale nie wszystkie właściwości mnożenia liczb można przenieść na skalarne mnożenie wektorów. Oto typowe przykłady:

) Jeśli ab = 0, to nie oznacza to, że a = 0 lub b = 0. Przykład: dwa niezerowe wektory tworzące kąt prosty.

2) Jeżeli ab = ac, to nie oznacza to, że b = c, nawet jeśli wektor a jest niezerowy. Przykład: b i c to dwa różne wektory o tej samej długości, tworzące z wektorem a kąty równe (ryc. 25).

3) Nie jest prawdą, że a(bc) = (ab)c jest zawsze prawdziwe: choćby dlatego, że ważność takiej równości dla bc, ab 0 oznacza kolinearność wektorów a i c.

3. Ortogonalność wektorów. Dwa wektory nazywamy ortogonalnymi, jeśli kąt między nimi jest prosty. Ortogonalność wektorów jest oznaczona ikoną .

Kiedy wyznaczaliśmy kąt między wektorami, zgodziliśmy się uważać kąt między wektorem zerowym a dowolnym innym wektorem za prosty. Dlatego wektor zerowy jest ortogonalny do dowolnego. Niniejsza umowa pozwala nam to udowodnić

(5.5) Test ortogonalności dwóch wektorów. Dwa wektory są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi 0.

 Niech a i b będą dowolnymi wektorami. Jeżeli chociaż jedno z nich ma wartość zero, to są one ortogonalne, a ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zatem w tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy teraz, że oba te wektory są niezerowe. Z definicji ab = |a||b|cos (a, b). Ponieważ zgodnie z naszym założeniem liczby |a| i |b| nie są równe 0, wówczas ab = 0 sałata (a, b) = 0  (a, b) = /2, co należało udowodnić.

Do określenia ortogonalności wektorów często przyjmuje się równość ab = 0.

(5.6) Wniosek. Jeśli wektor a jest ortogonalny do każdego z wektorów a 1 , …, A P , to jest ortogonalny do dowolnej ich kombinacji liniowej.

 Wystarczy zauważyć, że z równości aa 1 = ... = aa P = 0 wynika z równości a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (aha 1 ) + … + x P (aha P ) = 0. 

Z Wniosku 5.6 możemy łatwo wyprowadzić szkolne kryterium prostopadłości prostej i płaszczyzny. Faktycznie, niech jakaś prosta MN będzie prostopadła do dwóch przecinających się prostych AB i AC. Wtedy wektor MN jest ortogonalny do wektorów AB i AC. Weźmy dowolną prostą DE w płaszczyźnie ABC. Wektor DE jest współpłaszczyznowy z niewspółliniowymi wektorami AB i AC i dlatego rozszerza się wzdłuż nich. Ale wtedy jest także ortogonalny do wektora MN, czyli proste MN i DE są prostopadłe. Okazuje się, że prosta MN jest prostopadła do dowolnej prostej wychodzącej z płaszczyzny ABC, co należało udowodnić.

4. Bazy ortonormalne. (5.7) Definicja. Bazę przestrzeni wektorowej nazywamy ortonormalną, jeżeli, po pierwsze, wszystkie jej wektory mają długość jednostkową, a po drugie, dowolne dwa jej wektory są ortogonalne.

Wektory bazy ortonormalnej w przestrzeni trójwymiarowej oznacza się zwykle literami i, j i k, a w płaszczyźnie wektora literami i oraz j. Uwzględniając znak ortogonalności dwóch wektorów oraz równość kwadratu skalarnego wektora do kwadratu jego długości, warunki ortonormalności podstawy (i,j,k) przestrzeni V 3 można zapisać w ten sposób:

(5.8) tj 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ik = jk = 0,

oraz podstawę (i,j) płaszczyzny wektorowej - w ten sposób:

(5.9)tj 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Niech wektory aib mają bazę ortonormalną (i,j,k) przestrzeni V 3 współrzędne (a 1 , A 2 , A 3 ) oraz b 1 B 2 ,B 3 ) odpowiednio. Następnieab = (A 1 ja+A 2 j+A 3 k)(ur 1 ja+b 2 j+b 3 k) = a 1 B 1 I 2 +a 2 B 2 J 2 +a 3 B 3 k 2 +a 1 B 2 ij+a 1 B 3 ik+a 2 B 1 ji+a 2 B 3 jk+a 3 B 1 ki+a 3 B 2 kj = a 1 B 1 +a 2 B 2 +a 3 B 3 . W ten sposób otrzymujemy wzór na iloczyn skalarny wektorów a(a 1 ,A 2 ,A 3 ) i b(b 1 ,B 2 ,B 3 ), podane przez ich współrzędne w ortonormalnej bazie przestrzeni V 3 :

(5.10) ab = a 1 B 1 +a 2 B 2 +a 3 B 3 .

Dla wektorów a(a 1 ,A 2 ) i b(b 1 ,B 2 ), dane przez ich współrzędne w bazie ortonormalnej na płaszczyźnie wektora, ma postać

(5.11) ab = a 1 B 1 +a 2 B 2 .

Podstawmy b = a do wzoru (5.10). Okazuje się, że w bazie ortonormalnej a 2 = za 1 2 + za 2 2 + za 3 2 . Ponieważ 2 = |a| 2 , otrzymujemy następujący wzór na znalezienie długości wektora a(a 1 ,A 2 ,A 3 ), podane przez jego współrzędne w ortonormalnej bazie przestrzeni V 3 :

(5.12) |a| =
.

Na płaszczyźnie wektorowej, zgodnie z (5.11), przyjmuje ona postać

(5.13) |a| =
.

Podstawiając b = i, b = j, b = k do wzoru (5.10), otrzymujemy jeszcze trzy przydatne równości:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Główną zaletą baz ortonormalnych jest prostota wzorów na współrzędne służące do znajdowania iloczynu skalarnego wektorów i długości wektora. Dla baz nieortonormalnych wzory te są, ogólnie rzecz biorąc, niepoprawne, a ich użycie w tym przypadku jest rażącym błędem.

5. Cosinusy kierunkowe. Weźmy bazę ortonormalną (i,j,k) przestrzeni V 3 wektor a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Następnieai = |a||i|cos (a,i) = |a|kos (a, ja).Z drugiej strony ai = a 1 według wzoru 5.14. Okazało się, że

(5.15) 1 = |a|cos (a, ja).

i podobnie,

A 2 = |a|cos (a, j) i 3 = |a|cos (a, k).

Jeśli wektor a jest jednością, te trzy równości przyjmują szczególnie prostą postać:

(5.16) A 1 =co (a, ja),A 2 =co (a, j),A 3 =co (a, k).

Cosinusy kątów utworzonych przez wektor z wektorami podstawy ortonormalnej nazywane są na tej podstawie cosinusami kierunku tego wektora. Jak pokazują wzory 5.16, współrzędne wektora jednostkowego w bazie ortonormalnej są równe jego cosinusom kierunkowym.

Z 5.15 wynika, że a 1 2 + za 2 2 + za 3 2 = |a| 2 (sałata 2  (a,i)+cos 2  (a,j) +cos 2  (a, k)). Z drugiej strony A 1 2 + za 2 2 + za 3 2 = |a| 2 . Okazało się, że

(5.17) suma kwadratów cosinusów kierunku niezerowego wektora jest równa 1.

Fakt ten może być przydatny do rozwiązania niektórych problemów.

(5.18) Problem. Przekątna równoległościanu prostokątnego tworzy kąty 60 stopni, a jego dwie krawędzie wychodzą z tego samego wierzchołka. . Jaki kąt tworzy trzecia krawędź wychodząca z tego wierzchołka?

 Rozważmy bazę ortonormalną przestrzeni V 3 , którego wektory są przedstawione przez krawędzie równoległościanu wychodzącego z danego wierzchołka. Ponieważ wektor przekątny tworzy kąty 60 z dwoma wektorami tej podstawy , kwadraty dwóch z trzech cosinusów kierunkowych są równe cos 2 60  = 1/4. Dlatego kwadrat trzeciego cosinusa jest równy 1/2, a sam cosinus jest równy 1/
. Oznacza to, że wymagany kąt wynosi 45 . 

Kąt między wektorami

Rozważmy dwa wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$. Odejmijmy wektory $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ i $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ od dowolnie wybranego punktu $O$, wtedy kąt $AOB$ nazywamy kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow( a)$ i $\overrightarrow(b)$ (ryc. 1).

Obrazek 1.

Zauważ, że jeśli wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są współkierunkowe lub jeden z nich jest wektorem zerowym, to kąt między wektorami wynosi $0^0$.

Notacja: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Pojęcie iloczynu skalarnego wektorów

Matematycznie definicję tę można zapisać w następujący sposób:

Iloczyn skalarny może wynosić zero w dwóch przypadkach:

Jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym (od tego momentu jego długość wynosi zero).

Jeśli wektory są wzajemnie prostopadłe (tzn. $cos(90)^0=0$).

Należy również zauważyć, że iloczyn skalarny jest większy od zera, jeśli kąt pomiędzy tymi wektorami jest ostry (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) i mniejszy od zera, jeśli kąt pomiędzy tymi wektorami jest rozwarty (ponieważ $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Z koncepcją iloczynu skalarnego powiązane jest pojęcie kwadratu skalarnego.

Definicja 2

Kwadrat skalarny wektora $\overrightarrow(a)$ jest iloczynem skalarnym tego wektora samego siebie.

Stwierdzamy, że kwadrat skalarny jest równy

Obliczanie iloczynu skalarnego ze współrzędnych wektorowych

Oprócz standardowego sposobu znajdowania wartości iloczynu skalarnego, który wynika z definicji, istnieje inny sposób.

Rozważmy to.

Niech wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ mają współrzędne odpowiednio $\left(a_1,b_1\right)$ i $\left(a_2,b_2\right)$.

Twierdzenie 1

Iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych.

Matematycznie można to zapisać w następujący sposób

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dowód.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie to ma kilka konsekwencji:

Wniosek 1: Wektory $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1a_2+b_1b_2=0$

Wniosek 2: Cosinus kąta między wektorami jest równy $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Własności iloczynu skalarnego wektorów

Dla dowolnych trzech wektorów i liczby rzeczywistej $k$ prawdziwe jest:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Właściwość ta wynika z definicji kwadratu skalarnego (Definicja 2).

Prawo podróżne:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Właściwość ta wynika z definicji iloczynu skalarnego (Definicja 1).

Prawo rozdzielcze:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(wyliczyć)

Z Twierdzenia 1 mamy:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Prawo kombinowane:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(wyliczyć)

Z Twierdzenia 1 mamy:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Przykład zadania obliczenia iloczynu skalarnego wektorów

Przykład 1

Znajdź iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow(a)$ i $\overrightarrow(b)$ if $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ i $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, a kąt między nimi wynosi $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Rozwiązanie.

Korzystając z definicji 1, otrzymujemy

Za (30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Za (45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Za (90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Za (135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ prawo)=-3\sqrt(2)\]

W przypadku problemu płaskiego iloczyn skalarny wektorów a = (a x; a y) i b = (b x; b y) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

za b = za x b x + za y b y

Wzór na iloczyn skalarny wektorów dla problemów przestrzennych

W przypadku problemu przestrzennego iloczyn skalarny wektorów a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) można znaleźć za pomocą następującego wzoru:

za b = za x b x + za y b y + a z b z

Wzór na iloczyn skalarny wektorów n-wymiarowych

W przypadku przestrzeni n-wymiarowej iloczyn skalarny wektorów a = (a 1; a 2; ...; a n) i b = (b 1; b 2; ...; b n) można znaleźć za pomocą następującą formułę:

za b = za 1 b 1 + za 2 b 2 + ... + za n b n

Własności iloczynu skalarnego wektorów

1. Iloczyn skalarny wektora sam w sobie jest zawsze większy lub równy zero:

2. Iloczyn skalarny wektora sam w sobie jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektor jest równy wektorowi zerowemu:

a · a = 0<=>a = 0

3. Iloczyn skalarny wektora sam w sobie jest równy kwadratowi jego modułu:

4. Operacja mnożenia przez skalar jest komunikatywna:

5. Jeżeli iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zeru, to wektory te są ortogonalne:

za ≠ 0, b ≠ 0, za b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operacja mnożenia przez skalar jest rozdzielna:

(a + b) do = za do + b do

Przykłady problemów obliczania iloczynu skalarnego wektorów

Przykłady obliczania iloczynu skalarnego wektorów dla zagadnień płaskich

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a = (1; 2) i b = (4; 8).

Rozwiązanie: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów aib, jeśli ich długości |a| = 3, |b| = 6, a kąt między wektorami wynosi 60˚.

Rozwiązanie: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Znajdź iloczyn skalarny wektorów p = a + 3b i q = 5a - 3 b, jeśli ich długości |a| = 3, |b| = 2, a kąt między wektorami a i b wynosi 60˚.

Rozwiązanie:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 sałata 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Przykład obliczania iloczynu skalarnego wektorów dla zagadnień przestrzennych

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a = (1; 2; -5) i b = (4; 8; 1).

Rozwiązanie: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Przykład obliczenia iloczynu skalarnego dla wektorów n-wymiarowych

Znajdź iloczyn skalarny wektorów a = (1; 2; -5; 2) i b = (4; 8; 1; -2).

Rozwiązanie: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Nazywa się iloczynem krzyżowym wektorów i wektora trzeci wektor , zdefiniowany w następujący sposób:

2) prostopadły, prostopadły. (1"")

3) wektory są zorientowane w taki sam sposób, jak podstawa całej przestrzeni (dodatnia lub ujemna).

Wyznaczyć: .

Fizyczne znaczenie produktu wektorowego

— moment siły względem punktu O; - promień - wówczas wektor punktu przyłożenia siły

Co więcej, jeśli przesuniemy go do punktu O, wówczas trójka powinna być zorientowana jako wektor bazowy.

Iloczyn skalarny wektorów (zwany dalej SP). Drodzy przyjaciele! Egzamin z matematyki obejmuje grupę zadań dotyczących rozwiązywania wektorów. Rozważaliśmy już pewne problemy. Można je zobaczyć w kategorii „Wektory”. Ogólnie rzecz biorąc, teoria wektorów nie jest skomplikowana, najważniejsze jest jej konsekwentne studiowanie. Obliczenia i operacje na wektorach na szkolnym kursie matematyki są proste, wzory nie są skomplikowane. Spojrzeć na. W tym artykule przeanalizujemy problemy dotyczące SP wektorów (uwzględnionych w Unified State Examination). Teraz „zanurzenie” w teorię:

H Aby znaleźć współrzędne wektora, należy odjąć od współrzędnych jego końcaodpowiednie współrzędne jego pochodzenia

I dalej:

*Długość wektora (moduł) określa się w następujący sposób:

Te formuły trzeba zapamiętać!!!

Pokażmy kąt między wektorami:

Oczywiste jest, że może zmieniać się od 0 do 180 0(lub w radianach od 0 do Pi).

Możemy wyciągnąć pewne wnioski dotyczące znaku iloczynu skalarnego. Długości wektorów mają wartość dodatnią, to jest oczywiste. Oznacza to, że znak iloczynu skalarnego zależy od wartości cosinusa kąta między wektorami.

Możliwe przypadki:

1. Jeśli kąt między wektorami jest ostry (od 0 0 do 90 0), wówczas cosinus kąta będzie miał wartość dodatnią.

2. Jeżeli kąt między wektorami jest rozwarty (od 90 0 do 180 0), wówczas cosinus kąta będzie miał wartość ujemną.

*Przy zerowych stopniach, czyli gdy wektory mają ten sam kierunek, cosinus jest równy jeden i odpowiednio wynik będzie dodatni.

Przy 180 o, czyli gdy wektory mają przeciwne kierunki, cosinus jest równy minus jeden,i odpowiednio wynik będzie negatywny.

Teraz WAŻNY PUNKT!

To znaczy przy 90 o, gdy wektory są do siebie prostopadłe, cosinus jest równy zero, a zatem SP jest równe zero. Fakt ten (konsekwencja, wniosek) wykorzystywany jest przy rozwiązywaniu wielu problemów, gdy mówimy o względnym położeniu wektorów, także w zadaniach wchodzących w skład otwartego banku zadań matematycznych.

Sformułujmy stwierdzenie: iloczyn skalarny jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te leżą na prostych prostopadłych.

Zatem wzory na wektory SP:

Jeśli znane są współrzędne wektorów lub współrzędne punktów ich początków i końców, to zawsze możemy znaleźć kąt między wektorami:

Rozważmy zadania:

27724 Znajdź iloczyn skalarny wektorów aib.

Iloczyn skalarny wektorów możemy znaleźć za pomocą jednego z dwóch wzorów:

Kąt między wektorami jest nieznany, ale możemy łatwo znaleźć współrzędne wektorów, a następnie skorzystać z pierwszego wzoru. Ponieważ początki obu wektorów pokrywają się z początkiem współrzędnych, współrzędne tych wektorów są równe współrzędnym ich końców, czyli

Jak znaleźć współrzędne wektora opisano w.

Obliczamy:

Odpowiedź: 40

Znajdźmy współrzędne wektorów i skorzystajmy ze wzoru:

Aby znaleźć współrzędne wektora, należy odjąć odpowiednie współrzędne jego początku od współrzędnych końca wektora, co oznacza

Obliczamy iloczyn skalarny:

Odpowiedź: 40

Znajdź kąt między wektorami a i b. Podaj odpowiedź w stopniach.

Niech współrzędne wektorów mają postać:

Aby znaleźć kąt między wektorami, używamy wzoru na iloczyn skalarny wektorów:

Cosinus kąta między wektorami:

Stąd:

Współrzędne tych wektorów są równe:

Podstawmy je do wzoru:

Kąt między wektorami wynosi 45 stopni.

Odpowiedź: 45

Jeśli w zadaniu zarówno długości wektorów, jak i kąt między nimi zostaną podane „na srebrnej tacy”, wówczas stan problemu i jego rozwiązanie wyglądają następująco:

Przykład 1. Podano wektory. Znajdź iloczyn skalarny wektorów, jeśli ich długości i kąt między nimi są reprezentowane przez następujące wartości:

Obowiązuje także inna definicja, całkowicie równoważna definicji 1.

Definicja 2. Iloczynem skalarnym wektorów jest liczba (skalar) równa iloczynowi długości jednego z tych wektorów i rzutu innego wektora na oś wyznaczoną przez pierwszy z tych wektorów. Wzór według definicji 2:

Za pomocą tego wzoru rozwiążemy problem po kolejnym ważnym punkcie teoretycznym.

Definicja iloczynu skalarnego wektorów w funkcji współrzędnych

Tę samą liczbę można otrzymać, jeśli mnożonym wektorom zostaną podane współrzędne.

Definicja 3. Iloczyn skalarny wektorów to liczba równa sumie iloczynów parami odpowiadających im współrzędnych.

Na powierzchni

Jeśli dwa wektory i na płaszczyźnie są określone przez ich dwa Współrzędne prostokątne kartezjańskie

wówczas iloczyn skalarny tych wektorów jest równy sumie iloczynów parami odpowiadających im współrzędnych:

Przykład 2. Znajdź wartość liczbową rzutu wektora na oś równoległą do wektora.

Rozwiązanie. Iloczyn skalarny wektorów znajdujemy dodając produkty parami ich współrzędnych:

Teraz musimy przyrównać powstały iloczyn skalarny do iloczynu długości wektora i rzutu wektora na oś równoległą do wektora (zgodnie ze wzorem).

Długość wektora obliczamy jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:

Tworzymy równanie i rozwiązujemy je:

Odpowiedź. Wymagana wartość liczbowa to minus 8.

W kosmosie

Jeśli dwa wektory i w przestrzeni są określone przez ich trzy prostokątne współrzędne kartezjańskie

wówczas iloczyn skalarny tych wektorów jest również równy sumie iloczynów parami odpowiadających im współrzędnych, tyle że są już trzy współrzędne:

Zadanie znalezienia iloczynu skalarnego rozważaną metodą następuje po przeanalizowaniu właściwości iloczynu skalarnego. Ponieważ w zadaniu trzeba będzie określić, pod jakim kątem tworzą się pomnożone wektory.

Własności iloczynu skalarnego wektorów

Właściwości algebraiczne

1. (własność przemienna: odwrócenie miejsc pomnożonych wektorów nie powoduje zmiany wartości ich iloczynu skalarnego).

2. (właściwość asocjacji w odniesieniu do czynnika numerycznego: iloczyn skalarny wektora pomnożony przez pewien współczynnik i inny wektor jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów pomnożonemu przez ten sam współczynnik).

3. (właściwość rozdzielcza względem sumy wektorów: iloczyn skalarny sumy dwóch wektorów przez trzeci wektor jest równy sumie iloczynów skalarnych pierwszego wektora przez trzeci wektor i drugiego wektora przez trzeci wektor).

4. (skalarny kwadrat wektora większy od zera), jeśli jest wektorem niezerowym i , jeśli jest wektorem zerowym.

Właściwości geometryczne

W definicjach badanej operacji poruszyliśmy już pojęcie kąta między dwoma wektorami. Czas wyjaśnić to pojęcie.

Na powyższym rysunku widać dwa wektory sprowadzone do wspólnego początku. Pierwszą rzeczą, na którą musisz zwrócić uwagę, jest to, że między tymi wektorami istnieją dwa kąty - φ 1 I φ 2 . Który z tych kątów występuje w definicjach i właściwościach iloczynu skalarnego wektorów? Suma rozważanych kątów wynosi 2 π i dlatego cosinusy tych kątów są równe. Definicja iloczynu skalarnego uwzględnia jedynie cosinus kąta, a nie wartość jego wyrażenia. Ale właściwości uwzględniają tylko jeden kąt. I to jest jeden z dwóch kątów, który nie przekracza π czyli o 180 stopni. Na rysunku ten kąt jest oznaczony jako φ 1 .

1. Wywoływane są dwa wektory prostokątny I kąt między tymi wektorami jest prosty (90 stopni lub π /2 ), jeśli iloczyn skalarny tych wektorów wynosi zero :

Ortogonalność w algebrze wektorowej to prostopadłość dwóch wektorów.

2. Tworzą się dwa niezerowe wektory ostry róg (od 0 do 90 stopni lub, co jest takie samo - mniej π iloczyn kropkowy jest dodatni .

3. Tworzą się dwa niezerowe wektory kąt rozwarty (od 90 do 180 stopni lub, co jest takie samo - więcej π /2) wtedy i tylko wtedy, gdy oni iloczyn kropkowy jest ujemny .

Przykład 3. Współrzędne są podane przez wektory:

Oblicz iloczyny skalarne wszystkich par danych wektorów. Jaki kąt (ostry, prosty, rozwarty) tworzą te pary wektorów?

Rozwiązanie. Obliczymy, dodając iloczyny odpowiednich współrzędnych.

Mamy liczbę ujemną, więc wektory tworzą kąt rozwarty.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

Mamy zero, więc wektory tworzą kąt prosty.

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, więc wektory tworzą kąt ostry.

Do autotestu możesz użyć kalkulator online Iloczyn skalarny wektorów i cosinus kąta między nimi .

Przykład 4. Biorąc pod uwagę długości dwóch wektorów i kąt między nimi:

Określ, przy jakiej wartości liczby wektory i są ortogonalne (prostopadłe).

Rozwiązanie. Pomnóżmy wektory korzystając z zasady mnożenia wielomianów:

Teraz obliczmy każdy wyraz:

Stwórzmy równanie (iloczyn jest równy zero), dodajmy wyrazy podobne i rozwiążmy równanie:

Odpowiedź: otrzymaliśmy wartość λ = 1,8, przy czym wektory są ortogonalne.

Przykład 5. Udowodnić, że wektor ortogonalne (prostopadłe) do wektora

Rozwiązanie. Aby sprawdzić ortogonalność, mnożymy wektory i jako wielomiany, zastępując wyrażenie podane w opisie problemu:

Aby to zrobić, należy pomnożyć każdy wyraz (wyraz) pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane produkty:

W wynikowym wyniku ułamek jest zmniejszany o. Otrzymuje się następujący wynik:

Wniosek: w wyniku mnożenia otrzymaliśmy zero, zatem udowodniono ortogonalność (prostopadłość) wektorów.

Rozwiąż problem sam, a potem zobacz rozwiązanie

Przykład 6. Podano długości wektorów i oraz kąt między tymi wektorami π /4 . Określ przy jakiej wartości μ wektory i są wzajemnie prostopadłe.

Do autotestu możesz użyć kalkulator online Iloczyn skalarny wektorów i cosinus kąta między nimi .

Reprezentacja macierzowa iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu wektorów n-wymiarowych

Czasami dla przejrzystości korzystne jest przedstawienie dwóch pomnożonych wektorów w postaci macierzy. Następnie pierwszy wektor jest reprezentowany jako macierz wierszowa, a drugi jako macierz kolumnowa:

Wtedy będzie iloczyn skalarny wektorów iloczyn tych macierzy :

Wynik jest taki sam, jak uzyskany metodą, którą już rozważaliśmy. Otrzymaliśmy jedną liczbę, a iloczyn macierzy wierszowej przez macierz kolumnową również jest jedną liczbą.

Wygodnie jest przedstawić iloczyn abstrakcyjnych wektorów n-wymiarowych w postaci macierzowej. Zatem iloczyn dwóch czterowymiarowych wektorów będzie iloczynem macierzy rzędowej z czterema elementami przez macierz kolumnową również z czterema elementami, iloczyn dwóch pięciowymiarowych wektorów będzie iloczynem macierzy rzędowej z pięcioma elementami przez macierz kolumnowa również z pięcioma elementami i tak dalej.

Przykład 7. Znajdź iloczyny skalarne par wektorów

przy użyciu reprezentacji macierzowej.

Rozwiązanie. Pierwsza para wektorów. Pierwszy wektor reprezentujemy jako macierz wierszową, a drugi jako macierz kolumnową. Iloczyn skalarny tych wektorów znajdujemy jako iloczyn macierzy wierszowej i macierzy kolumnowej:

Podobnie reprezentujemy drugą parę i znajdujemy:

Jak widać, wyniki były takie same, jak dla tych samych par z przykładu 2.

Kąt między dwoma wektorami

Wyprowadzenie wzoru na cosinus kąta między dwoma wektorami jest bardzo piękne i zwięzłe.

Aby wyrazić iloczyn skalarny wektorów

(1)

w formie współrzędnych najpierw znajdujemy iloczyn skalarny wektorów jednostkowych. Iloczyn skalarny wektora z samym sobą z definicji:

To, co jest napisane w powyższym wzorze, oznacza: iloczyn skalarny wektora sam w sobie jest równy kwadratowi jego długości. Cosinus zera jest równy jeden, więc kwadrat każdej jednostki będzie równy jeden: