W jaki sposób powiązane są wyznaczniki macierzy bezpośredniej i odwrotnej? Metoda macierzowa rozwiązywania sloughu: przykład rozwiązania z wykorzystaniem macierzy odwrotnej

Algebra macierzy - macierz odwrotna

odwrotna macierz

Odwrotna macierz jest macierzą, która pomnożona zarówno po prawej, jak i po lewej stronie przez daną macierz daje macierz jednostkową.
Oznaczmy macierz odwrotną macierzy A poprzez , to zgodnie z definicją otrzymujemy:

Gdzie mi- macierz jednostkowa.
Macierz kwadratowa zwany nie specjalne (niezdegenerowany), jeśli jego wyznacznik nie jest zerem. Inaczej się to nazywa specjalny (zdegenerowany) Lub pojedynczy.

Twierdzenie głosi: Każda macierz nieosobliwa ma macierz odwrotną.

Nazywa się operację znajdowania macierzy odwrotnej odwołanie matryce. Rozważmy algorytm inwersji macierzy. Niech będzie dana macierz nieosobliwa N-ta kolejność:

gdzie Δ = det A ≠ 0.

Algebraiczne dodawanie elementu matryce N-ta kolejność A nazywa się wyznacznikiem macierzy wziętej z pewnym znakiem ( N–1) zamówienie uzyskane poprzez skreślenie I-ta linia i J kolumna macierzy A:

Stwórzmy tzw przyłączony matryca:

gdzie są uzupełnieniami algebraicznymi odpowiednich elementów macierzy A.
Należy pamiętać, że algebraiczne dodawanie elementów wiersza macierzy A umieszczone są w odpowiednich kolumnach macierzy à , czyli macierz jest transponowana w tym samym czasie.
Dzieląc wszystkie elementy macierzy à przez Δ – wartość wyznacznika macierzy A, w rezultacie otrzymujemy macierz odwrotną:

Zwróćmy uwagę na szereg specjalnych właściwości macierzy odwrotnej:
1) dla danej macierzy A jej macierz odwrotna jest jedyny;
2) jeśli istnieje macierz odwrotna, to prawy tył I lewy bieg wsteczny macierze pokrywają się z nim;
3) pojedyncza (pojedyncza) macierz kwadratowa nie ma macierzy odwrotnej.

Podstawowe własności macierzy odwrotnej:
1) wyznacznik macierzy odwrotnej i wyznacznik macierzy pierwotnej są odwrotnością;
2) macierz odwrotna iloczynu macierzy kwadratowych jest równa iloczynowi odwrotnej macierzy czynników, w odwrotnej kolejności:

3) transponowana macierz odwrotna jest równa macierzy odwrotnej danej transponowanej macierzy:

PRZYKŁAD Oblicz odwrotność podanej macierzy.

1. Znajdź wyznacznik macierzy wyjściowej. Jeśli , to macierz jest pojedyncza i nie ma macierzy odwrotnej. Jeżeli, to istnieje macierz niezdegenerowana i odwrotna.

2. Znajdź macierz transponowaną do.

3. Znajdź uzupełnienia algebraiczne elementów i utwórz z nich macierz dołączoną.

4. Tworzymy macierz odwrotną za pomocą wzoru.

5. Sprawdzamy poprawność obliczenia macierzy odwrotnej na podstawie jej definicji:

Przykład. Znajdź macierz odwrotną tego: .

Rozwiązanie.

1) Wyznacznik macierzy

.

2) Znajdź uzupełnienia algebraiczne elementów macierzy i utwórz z nich macierz dołączoną:

3) Oblicz macierz odwrotną:

,

4) Sprawdź:

№4Ranga matrycy. Liniowa niezależność wierszy macierzy

Do rozwiązywania i badania szeregu problemów matematycznych i stosowanych ważna jest koncepcja rangi macierzy.

W macierzy wielkości, usuwając dowolne wiersze i kolumny, można wyodrębnić kwadratowe podmacierze th rzędu, gdzie. Wyznaczniki takich podmacierzy nazywane są drugorzędne rzędu macierzowego .

Na przykład z macierzy można uzyskać podmacierze pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu.

Definicja. Rząd macierzy jest najwyższym rzędem niezerowych drugorzędnych tej macierzy. Oznaczenie: lub.

Z definicji wynika:

1) Ranga macierzy nie przekracza mniejszego z jej wymiarów, tj.

2) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy są równe zeru, tj.

3) Dla macierzy kwadratowej n-tego rzędu wtedy i tylko wtedy, gdy macierz nie jest osobliwa.

Ponieważ bezpośrednie wyliczenie wszystkich możliwych drugorzędnych macierzy, zaczynając od największego rozmiaru, jest trudne (czasochłonne), stosują elementarne przekształcenia macierzy, które zachowują rangę macierzy.

Elementarne przekształcenia macierzy:

1) Odrzucenie zerowego wiersza (kolumny).

2) Mnożenie wszystkich elementów wiersza (kolumny) przez liczbę.

3) Zmiana kolejności wierszy (kolumn) macierzy.

4) Dodanie do każdego elementu jednego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonego przez dowolną liczbę.

5) Transpozycja macierzy.

Definicja. Macierz otrzymaną z macierzy za pomocą przekształceń elementarnych nazywamy równoważną i oznaczamy A W.

Twierdzenie. Ranga macierzy nie zmienia się podczas elementarnych przekształceń macierzy.

Stosując przekształcenia elementarne można sprowadzić macierz do tzw. postaci schodkowej, gdy obliczenie jej rangi nie jest trudne.

Macierz nazywa się rzutem, jeśli ma postać:

Oczywiście ranga macierzy schodkowej jest równa liczbie niezerowych wierszy, ponieważ istnieje rząd mniejszy, który nie jest równy zero:

.

Przykład. Wyznaczanie rangi macierzy za pomocą przekształceń elementarnych.

Ranga macierzy jest równa liczbie niezerowych wierszy, tj. .

№5Liniowa niezależność wierszy macierzy

Biorąc pod uwagę macierz rozmiarów

Oznaczmy wiersze macierzy następująco:

Obie linie nazywają się równy , jeśli odpowiadające im elementy są równe. .

Przedstawmy operacje mnożenia ciągu przez liczbę i dodawania ciągów jako operacje wykonywane element po elemencie:

Definicja. Wiersz nazywa się liniową kombinacją wierszy macierzy, jeśli jest równy sumie iloczynów tych wierszy przez dowolne liczby rzeczywiste (dowolne liczby):

Definicja. Nazywa się wiersze macierzy liniowo zależne , jeśli istnieją liczby, które nie są jednocześnie równe zeru, tak że liniowa kombinacja wierszy macierzy jest równa wierszowi zerowemu:

Gdzie . (1.1)

Liniowa zależność wierszy macierzy oznacza, że ​​co najmniej 1 wiersz macierzy jest liniową kombinacją pozostałych.

Definicja. Jeśli liniowa kombinacja wierszy (1.1) jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie współczynniki wynoszą , wówczas wiersze nazywa się liniowo niezależny .

Twierdzenie o rangach macierzy . Ranga macierzy jest równa maksymalnej liczbie jej liniowo niezależnych wierszy lub kolumn, przez które wyrażane są liniowo wszystkie pozostałe wiersze (kolumny).

Twierdzenie odgrywa zasadniczą rolę w analizie macierzy, w szczególności w badaniu układów równań liniowych.

№6Rozwiązywanie układu równań liniowych z niewiadomymi

Układy równań liniowych są szeroko stosowane w ekonomii.

Układ równań liniowych ze zmiennymi ma postać:

,

gdzie () to wywoływane dowolne liczby współczynniki dla zmiennych I swobodne składniki równań odpowiednio.

Krótki wpis: ().

Definicja. Rozwiązaniem układu jest taki zbiór wartości, po podstawieniu którego każde równanie układu zamienia się w prawdziwą równość.

1) Nazywa się układ równań wspólny , jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, oraz nie wspólne, jeśli nie ma rozwiązań.

2) Nazywa się równoczesny układ równań niektórzy , jeśli ma unikalne rozwiązanie, oraz niepewny , jeśli ma więcej niż jedno rozwiązanie.

3) Nazywa się dwa układy równań równowartość (równowartość ) , jeśli mają ten sam zestaw rozwiązań (na przykład jedno rozwiązanie).

Temat ten jest jednym z najbardziej znienawidzonych wśród studentów. Gorzej prawdopodobnie są kwalifikacje.

Rzecz w tym, że samo pojęcie elementu odwrotnego (i nie mówię tylko o macierzach) odsyła nas do operacji mnożenia. Nawet w programie szkolnym mnożenie uważane jest za operację złożoną, a mnożenie macierzy to generalnie odrębny temat, któremu poświęciłem cały akapit i lekcję wideo.

Dziś nie będziemy wdawać się w szczegóły obliczeń macierzowych. Pamiętajmy tylko: jak wyznacza się macierze, jak się je mnoży i co z tego wynika.

Przegląd: Mnożenie macierzy

Przede wszystkim uzgodnijmy notację. Macierz $A$ o rozmiarze $\left[ m\times n \right]$ jest po prostu tabelą liczb zawierającą dokładnie $m$ wierszy i $n$ kolumn:

\=\underbrace(\left[ \begin(macierz) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(macierz) \right])_(n)\]

Aby uniknąć przypadkowego pomieszania wierszy i kolumn (uwierz mi, na egzaminie można pomylić jedynkę z dwójką, nie mówiąc już o niektórych wierszach), spójrz tylko na obrazek:

Wyznaczanie wskaźników dla komórek macierzy

Co się dzieje? Jeśli umieścisz standardowy układ współrzędnych $OXY$ w lewym górnym rogu i skierujesz osie tak, aby obejmowały całą macierz, to każda komórka tej macierzy będzie mogła być jednoznacznie powiązana ze współrzędnymi $\left(x;y \right)$ - będzie to numer wiersza i numer kolumny.

Dlaczego układ współrzędnych jest umieszczony w lewym górnym rogu? Tak, bo to od niego zaczynamy czytać dowolne teksty. Bardzo łatwo to zapamiętać.

Dlaczego oś $x$ jest skierowana w dół, a nie w prawo? Znowu to proste: weź standardowy układ współrzędnych (oś $x$ idzie w prawo, oś $y$ idzie w górę) i obróć go tak, aby zakrył macierz. Jest to obrót o 90 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara - efekt widzimy na zdjęciu.

Ogólnie rzecz biorąc, wymyśliliśmy, jak określić indeksy elementów macierzy. Teraz spójrzmy na mnożenie.

Definicja. Macierze $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, gdy liczba kolumn w pierwszej pokrywa się z liczbą wierszy w drugiej, to nazywany konsekwentnym.

Dokładnie w tej kolejności. Można się pomylić i powiedzieć, że macierze $A$ i $B$ tworzą uporządkowaną parę $\left(A;B \right)$: jeśli są spójne w tej kolejności, to wcale nie jest konieczne, aby $B $ i $A$ te. para $\left(B;A \right)$ jest również spójna.

Można mnożyć tylko dopasowane macierze.

Definicja. Iloczyn dopasowanych macierzy $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ to nowa macierz $C=\left[ m\times k \right ]$ , którego elementy $((c)_(ij))$ oblicza się według wzoru:

\[((c)_(ij))=\suma\limity_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Innymi słowy: aby otrzymać element $((c)_(ij))$ macierzy $C=A\cdot B$, musisz wziąć wiersz $i$ pierwszej macierzy, czyli $j$ -tą kolumnę drugiej macierzy, a następnie pomnóż parami elementy z tego wiersza i kolumny. Dodaj wyniki.

Tak, to bardzo ostra definicja. Wynika z niego bezpośrednio kilka faktów:

1. Mnożenie macierzy, ogólnie rzecz biorąc, jest nieprzemienne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Jednak mnożenie jest łączne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. A nawet rozdzielnie: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. I jeszcze raz rozdzielnie: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Rozdzielność mnożenia musiała być opisana oddzielnie dla lewego i prawego współczynnika sumy właśnie ze względu na nieprzemienność operacji mnożenia.

Jeżeli okaże się, że $A\cdot B=B\cdot A$, to takie macierze nazywamy przemiennymi.

Wśród wszystkich macierzy, które są tam mnożone przez coś, są specjalne - takie, które pomnożone przez dowolną macierz $A$ ponownie dają $A$:

Definicja. Macierz $E$ nazywa się tożsamością, jeżeli $A\cdot E=A$ lub $E\cdot A=A$. W przypadku macierzy kwadratowej $A$ możemy napisać:

Macierz tożsamości jest częstym gościem przy rozwiązywaniu równań macierzowych. I w ogóle częsty gość w świecie matryc. :)

I przez to $E$ ktoś wymyślił te wszystkie bzdury, które będą pisane dalej.

Co to jest macierz odwrotna

Ponieważ mnożenie macierzy jest operacją bardzo pracochłonną (trzeba pomnożyć kilka wierszy i kolumn), koncepcja macierzy odwrotnej również okazuje się nietrywialna. I wymagające wyjaśnień.

Definicja klucza

Cóż, czas poznać prawdę.

Definicja. Macierz $B$ nazywa się odwrotnością macierzy $A$ if

Macierz odwrotna jest oznaczona przez $((A)^(-1))$ (nie mylić ze stopniem!), zatem definicję można przepisać w następujący sposób:

Wydawać by się mogło, że wszystko jest niezwykle proste i przejrzyste. Ale analizując tę ​​definicję, od razu pojawia się kilka pytań:

1. Czy zawsze istnieje macierz odwrotna? A jeśli nie zawsze, to jak ustalić: kiedy istnieje, a kiedy nie?
2. A kto powiedział, że istnieje dokładnie jedna taka macierz? A co jeśli dla jakiejś macierzy początkowej $A$ istnieje cała masa odwrotności?
3. Jak wyglądają te wszystkie „odwroty”? A jak dokładnie powinniśmy je policzyć?

Jeśli chodzi o algorytmy obliczeniowe, porozmawiamy o tym nieco później. Ale na pozostałe pytania odpowiemy już teraz. Sformułujmy je w formie odrębnych twierdzeń-lematów.

Podstawowe właściwości

Zacznijmy od tego jak w zasadzie powinna wyglądać macierz $A$, aby dla niej istniała $((A)^(-1))$. Teraz upewnimy się, że obie te macierze muszą być kwadratowe i mieć ten sam rozmiar: $\left[ n\times n \right]$.

Lemat 1. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy obie te macierze są kwadratowe i tego samego rzędu $n$.

Dowód. To proste. Niech macierz $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Ponieważ iloczyn $A\cdot ((A)^(-1))=E$ istnieje z definicji, macierze $A$ i $((A)^(-1))$ są spójne w pokazanej kolejności:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( wyrównywać)\]

Jest to bezpośrednia konsekwencja algorytmu mnożenia macierzy: współczynniki $n$ i $a$ są „przejściowe” i muszą być równe.

Jednocześnie definiuje się także odwrotne mnożenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, zatem macierze $((A)^(-1))$ i $A$ są również spójne w określonej kolejności:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( wyrównywać)\]

Zatem bez utraty ogólności możemy założyć, że $A=\lewo[ m\razy n \prawo]$, $((A)^(-1))=\lewo[ n\razy m \prawo]$. Jednak zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ zatem rozmiary macierzy są ściśle zgodne:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Okazuje się więc, że wszystkie trzy macierze - $A$, $((A)^(-1))$ i $E$ - są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Lemat został udowodniony.

No to już dobrze. Widzimy, że odwracalne są tylko macierze kwadratowe. Teraz upewnijmy się, że macierz odwrotna jest zawsze taka sama.

Lemat 2. Biorąc pod uwagę macierz $A$ i jej odwrotność $((A)^(-1))$. Wtedy ta macierz odwrotna jest jedyna.

Dowód. Przejdźmy przez sprzeczność: niech macierz $A$ ma co najmniej dwie odwrotności - $B$ i $C$. Zatem zgodnie z definicją prawdziwe są następujące równości:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Z Lematu 1 wnioskujemy, że wszystkie cztery macierze - $A$, $B$, $C$ i $E$ - są kwadratami tego samego rzędu: $\left[ n\times n \right]$. Dlatego produkt jest zdefiniowany:

Ponieważ mnożenie macierzy jest łączne (ale nie przemienne!), możemy napisać:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Strzałka w prawo B=C. \\ \end(align)\]

Mamy jedyną możliwą opcję: dwie kopie macierzy odwrotnej są równe. Lemat został udowodniony.

Powyższe argumenty powtarzają niemal dosłownie dowód niepowtarzalności elementu odwrotnego dla wszystkich liczb rzeczywistych $b\ne 0$. Jedynym istotnym dodatkiem jest uwzględnienie wymiaru macierzy.

Nadal jednak nie wiemy nic na temat tego, czy każda macierz kwadratowa jest odwracalna. Tutaj z pomocą przychodzi nam wyznacznik - jest to kluczowa cecha wszystkich macierzy kwadratowych.

Lemat 3. Biorąc pod uwagę macierz $A$. Jeżeli istnieje jej macierz odwrotna $((A)^(-1))$, to wyznacznik macierzy pierwotnej jest różny od zera:

\[\lewo| A\prawo|\ne 0\]

Dowód. Wiemy już, że $A$ i $((A)^(-1))$ są macierzami kwadratowymi o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$. Dlatego dla każdego z nich możemy obliczyć wyznacznik: $\left| A\prawo|$ i $\lewo| ((A)^(-1)) \right|$. Jednakże wyznacznik iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników:

\[\lewo| A\cdot B \prawo|=\lewo| A \right|\cdot \left| B \right|\Strzałka w prawo \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|\]

Ale zgodnie z definicją $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a wyznacznik $E$ jest zawsze równy 1, więc

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \w lewo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\prawo|; \\ & \w lewo| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \prawo|=1. \\ \end(align)\]

Iloczyn dwóch liczb jest równy jeden tylko wtedy, gdy każda z tych liczb jest różna od zera:

\[\lewo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Okazuje się, że $\left| A \right|\ne 0$. Lemat został udowodniony.

W rzeczywistości wymóg ten jest dość logiczny. Teraz przeanalizujemy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej - i stanie się całkowicie jasne, dlaczego przy zerowym wyznaczniku w zasadzie nie może istnieć żadna macierz odwrotna.

Ale najpierw sformułujmy definicję „pomocniczą”:

Definicja. Macierz pojedyncza to macierz kwadratowa o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, której wyznacznikiem jest zero.

Możemy zatem twierdzić, że każda macierz odwracalna jest nieosobliwa.

Jak znaleźć odwrotność macierzy

Teraz rozważymy uniwersalny algorytm znajdowania macierzy odwrotnych. Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwa ogólnie przyjęte algorytmy i dzisiaj rozważymy również drugi.

Ten, który zostanie teraz omówiony, jest bardzo efektywny dla macierzy o rozmiarze $\left[ 2\times 2 \right]$ i - częściowo - size $\left[ 3\times 3 \right]$. Ale zaczynając od rozmiaru $\left[ 4\times 4 \right]$ lepiej go nie używać. Dlaczego - teraz sam wszystko zrozumiesz.

Dodatki algebraiczne

Przygotuj się. Teraz będzie ból. Nie, nie martw się: piękna pielęgniarka w spódniczce, koronkowych pończochach nie przyjdzie do Ciebie i nie zrobi Ci zastrzyku w pośladek. Wszystko jest o wiele bardziej prozaiczne: przychodzą do ciebie dodatki algebraiczne i Jej Wysokość „Macierz Unii”.

Zacznijmy od najważniejszej rzeczy. Niech istnieje macierz kwadratowa o rozmiarze $A=\left[ n\times n \right]$, której elementy nazywane są $((a)_(ij))$. Następnie dla każdego takiego elementu możemy zdefiniować dopełnienie algebraiczne:

Definicja. Dopełnienie algebraiczne $((A)_(ij))$ do elementu $((a)_(ij))$ znajdującego się w $i$tym ​​wierszu i $j$th kolumnie macierzy $A=\left[ n \times n \right]$ jest konstrukcją formy

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Gdzie $M_(ij)^(*)$ jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z pierwotnego $A$ poprzez usunięcie tego samego $i$tego wiersza i $j$tej kolumny.

Ponownie. Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy o współrzędnych $\left(i;j \right)$ oznaczamy jako $((A)_(ij))$ i obliczamy według schematu:

1. Najpierw usuwamy wiersz $i$ i kolumnę $j$ z oryginalnej macierzy. Otrzymujemy nową macierz kwadratową i oznaczamy jej wyznacznik jako $M_(ij)^(*)$.
2. Następnie mnożymy ten wyznacznik przez $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na początku to wyrażenie może wydawać się oszałamiające, ale w istocie po prostu szukamy znaku przed $M_(ij)^(*) $.
3. Liczymy i otrzymujemy konkretną liczbę. Te. dodawanie algebraiczne jest dokładnie liczbą, a nie jakąś nową macierzą itp.

Sama macierz $M_(ij)^(*)$ nazywana jest dodatkowym mollem elementu $((a)_(ij))$. I w tym sensie powyższa definicja dopełnienia algebraicznego jest szczególnym przypadkiem bardziej złożonej definicji - o czym pisaliśmy na lekcji o wyznaczniku.

Ważna uwaga. Właściwie w matematyce „dla dorosłych” dodawanie algebraiczne definiuje się w następujący sposób:

1. W macierzy kwadratowej bierzemy $k$ wierszy i $k$ kolumn. Na ich przecięciu otrzymujemy macierz o rozmiarze $\left[ k\times k \right]$ - jej wyznacznik nazywamy mollem rzędu $k$ i oznaczamy $((M)_(k))$.
2. Następnie skreślamy te „wybrane” wiersze i kolumny $k$. Ponownie otrzymujemy macierz kwadratową, której wyznacznik nazywamy dodatkowym mollem i oznaczamy $M_(k)^(*)$.
3. Pomnóż $M_(k)^(*)$ przez $((\left(-1 \right))^(t))$, gdzie $t$ to (uwaga!) suma liczb wszystkich zaznaczonych wierszy i kolumny. To będzie dodawanie algebraiczne.

Spójrz na trzeci krok: w rzeczywistości istnieje suma warunków o wartości 2 tys. $! Inna sprawa, że ​​dla $k=1$ otrzymamy tylko 2 wyrazy - będą to te same $i+j$ - „współrzędne” elementu $((a)_(ij))$ dla którego jesteśmy szukam dopełnienia algebraicznego.

Dlatego dzisiaj używamy nieco uproszczonej definicji. Ale jak zobaczymy później, będzie to więcej niż wystarczające. O wiele ważniejsze jest to, co następuje:

Definicja. Macierz pokrewna $S$ macierzy kwadratowej $A=\left[ n\times n \right]$ jest nową macierzą o rozmiarze $\left[ n\times n \right]$, którą otrzymujemy z $A$ zastępując $((a)_(ij))$ dodatkami algebraicznymi $((A)_(ij))$:

\\Strzałka w prawo S=\left[ \begin(macierz) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(macierz) \right]\]

Pierwsza myśl, która pojawia się w momencie realizacji tej definicji, brzmi: „ile trzeba będzie policzyć!” Spokojnie: będziesz musiał policzyć, ale nie aż tak. :)

Cóż, wszystko to jest bardzo miłe, ale dlaczego jest to konieczne? Ale dlaczego.

Główne twierdzenie

Cofnijmy się trochę. Przypomnijmy, w Lemacie 3 stwierdzono, że macierz odwracalna $A$ jest zawsze nieosobliwa (tzn. jej wyznacznik jest niezerowy: $\left| A \right|\ne 0$).

Zatem jest też odwrotnie: jeśli macierz $A$ nie jest osobliwa, to zawsze jest odwracalna. Istnieje nawet schemat wyszukiwania $((A)^(-1))$. Sprawdź to:

Twierdzenie o macierzy odwrotnej. Niech zostanie podana macierz kwadratowa $A=\left[ n\times n \right]$, której wyznacznik jest różny od zera: $\left| A \right|\ne 0$. Wówczas istnieje macierz odwrotna $((A)^(-1))$, którą oblicza się ze wzoru:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

A teraz - wszystko jest takie samo, ale czytelnym pismem. Aby znaleźć macierz odwrotną, potrzebujesz:

1. Oblicz wyznacznik $\left| A \right|$ i upewnij się, że jest różny od zera.
2. Skonstruuj macierz sumy $S$, tj. policz 100500 dodatków algebraicznych $((A)_(ij))$ i umieść je w miejscu $((a)_(ij))$.
3. Transponuj tę macierz $S$, a następnie pomnóż ją przez pewną liczbę $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To wszystko! Znaleziono macierz odwrotną $((A)^(-1))$. Spójrzmy na przykłady:

\[\left[ \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right]\]

Rozwiązanie. Sprawdźmy odwracalność. Obliczmy wyznacznik:

\[\lewo| A\prawo|=\lewo| \begin(macierz) 3 i 1 \\ 5 i 2 \\\end(macierz) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Wyznacznik jest różny od zera. Oznacza to, że macierz jest odwracalna. Stwórzmy macierz unii:

Obliczmy dodawanie algebraiczne:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \prawo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \prawo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \prawo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\prawo|=3. \\ \end(align)\]

Uwaga: wyznaczniki |2|, |5|, |1| i |3| są wyznacznikami macierzy rozmiaru $\left[ 1\times 1 \right]$, a nie modułami. Te. Jeżeli w wyznacznikach były liczby ujemne, nie ma potrzeby usuwania „minusu”.

W sumie nasza macierz unii wygląda następująco:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 i -5 \\ -1 i 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (tablica)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(tablica) \right]\]

OK, wszystko już skończone. Problem jest rozwiązany.

Odpowiedź. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 i -1 \\ -5 i 3 \\\end(array) \right]$

Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:

\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \]

Rozwiązanie. Ponownie obliczamy wyznacznik:

\[\begin(align) & \left| \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i -1 i 2 \\ 0 i 2 i -1 \\ 1 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right|=\begin(macierz ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Wyznacznik jest niezerowy – macierz jest odwracalna. Ale teraz będzie naprawdę ciężko: musimy policzyć aż 9 (dziewięć, skurwielu!) dodatków algebraicznych. I każdy z nich będzie zawierał wyznacznik $\left[ 2\times 2 \right]$. Latał:

\[\begin(macierz) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(macierz) 2 i -1 \\ 0 i 1 \\\end(macierz) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i -1 \\ 1 i 1 \\\end(macierz) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(macierz) 0 i 2 \\ 1 i 0 \\\end(macierz) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(macierz) 1 i -1 \\ 0 i 2 \\\end(macierz) \right|=2; \\ \end(macierz)\]

W skrócie macierz unii będzie wyglądać następująco:

Zatem macierz odwrotna będzie miała postać:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(macierz) 2 i -1 i -2 \\ 1 i -1 i -1 \\ -3 i 1 i 2 \\\end(macierz) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 i 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 i 1 i -2 \\\end(tablica) \right]\]

Otóż ​​to. Oto odpowiedź.

Odpowiedź. $\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) -2 i -1 i 3 \\ 1 i 1 i -1 \\ 2 i 1 i -2 \\\end(array) \right ]$

Jak widać, na końcu każdego przykładu przeprowadziliśmy kontrolę. W związku z tym ważna uwaga:

Nie bądź leniwy, aby sprawdzić. Pomnóż pierwotną macierz przez znalezioną macierz odwrotną - powinieneś otrzymać $E$.

Wykonanie tego sprawdzenia jest znacznie łatwiejsze i szybsze niż szukanie błędu w dalszych obliczeniach, gdy na przykład rozwiązuje się równanie macierzowe.

Alternatywny sposób

Jak powiedziałem, twierdzenie o odwrotnej macierzy działa świetnie dla rozmiarów $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (w tym drugim przypadku nie jest już tak „świetnie” " ), ale przy większych matrycach zaczyna się smutek.

Ale nie martwcie się: istnieje alternatywny algorytm, dzięki któremu spokojnie znajdziecie odwrotność nawet dla macierzy $\left[ 10\times 10 \right]$. Ale, jak to często bywa, aby rozważyć ten algorytm, potrzebujemy trochę podstaw teoretycznych.

Transformacje elementarne

Wśród wszystkich możliwych transformacji macierzy jest kilka specjalnych - nazywane są one elementarnymi. Istnieją dokładnie trzy takie transformacje:

1. Mnożenie. Możesz wziąć $i$ty wiersz (kolumnę) i pomnożyć go przez dowolną liczbę $k\ne 0$;
2. Dodatek. Dodaj do $i$-tego wiersza (kolumny) dowolny inny $j$-ty wiersz (kolumna) pomnożony przez dowolną liczbę $k\ne 0$ (możesz oczywiście zrobić $k=0$, ale co to jest punkt? Nic się nie zmieni).
3. Przegrupowanie. Weź $i$th i $j$th wiersze (kolumny) i zamień miejscami.

Dlaczego te przekształcenia nazywane są elementarnymi (dla dużych macierzy nie wyglądają one już tak elementarnie) i dlaczego są tylko trzy - te pytania wykraczają poza zakres dzisiejszej lekcji. Dlatego nie będziemy wdawać się w szczegóły.

Ważna jest jeszcze jedna rzecz: wszystkie te perwersje musimy wykonać na macierzy sprzężonej. Tak, tak: dobrze słyszałeś. Teraz będzie jeszcze jedna definicja - ostatnia w dzisiejszej lekcji.

Macierz sprzężona

Z pewnością w szkole rozwiązywaliście układy równań metodą dodawania. Cóż, odejmij kolejną od jednej linii, pomnóż jakąś linię przez liczbę - to wszystko.

A więc: teraz wszystko będzie po staremu, ale w „dorosłym” wydaniu. Gotowy?

Definicja. Niech zostanie podana macierz $A=\left[ n\times n \right]$ i macierz jednostkowa $E$ o tej samej wielkości $n$. Następnie macierz przylegająca $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$ to nowa macierz o rozmiarze $\left[ n\times 2n \right]$, która wygląda następująco:

\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

W skrócie bierzemy macierz $A$, po prawej stronie przypisujemy do niej macierz jednostkową $E$ o wymaganej wielkości, dla urody oddzielamy je pionową kreską - tu mamy łącznik. :)

Jaki jest haczyk? Oto co:

Twierdzenie. Niech macierz $A$ będzie odwracalna. Rozważmy macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \prawo]$. Jeśli używasz konwersje ciągów elementarnych sprowadź go do postaci $\left[ E\left| Jasny. \right]$, tj. mnożąc, odejmując i przestawiając wiersze, aby otrzymać z $A$ macierz $E$ po prawej stronie, wówczas macierz $B$ uzyskana po lewej stronie jest odwrotnością $A$:

\[\lewy[ A\lewy| E\ prawda. \right]\to \left[ E\left| Jasny. \right]\Strzałka w prawo B=((A)^(-1))\]

To takie proste! W skrócie algorytm znajdowania macierzy odwrotnej wygląda następująco:

1. Zapisz macierz połączoną $\left[ A\left| E\ prawda. \right]$;
2. Wykonuj podstawowe konwersje ciągów znaków, aż zamiast $A$ pojawi się $E$;
3. Oczywiście po lewej stronie też pojawi się coś - pewna macierz $B$. To będzie odwrotnie;
4. ZYSK!:)

Oczywiście znacznie łatwiej to powiedzieć, niż zrobić. Spójrzmy więc na kilka przykładów: dla rozmiarów $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.

Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:

\[\left[ \begin(tablica)(*(35)(r)) 1 i 5 i 1 \\ 3 i 2 i 1 \\ 6 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\ ]

Rozwiązanie. Tworzymy macierz sprzężoną:

\[\left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 3 i 2 i 1 i 0 i 1 i 0 \\ 6 i -2 i 1 i 0 & 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\]

Ponieważ ostatnia kolumna oryginalnej macierzy jest wypełniona jedynkami, odejmij pierwszy wiersz od pozostałych:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 i 1 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 i -7 i 0 i -1 i 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Nie ma już jednostek poza pierwszą linią. Ale nie dotykamy tego, w przeciwnym razie nowo usunięte jednostki zaczną „mnożyć się” w trzeciej kolumnie.

Ale drugą linię możemy odjąć dwukrotnie od ostatniej - otrzymamy jedną w lewym dolnym rogu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \left [ \begin(tablica)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Teraz możemy odjąć ostatni wiersz od pierwszego i dwukrotnie od drugiego - w ten sposób „zerujemy” pierwszą kolumnę:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 i 5 i 1 i 1 i 0 i 0 \\ 2 i -3 i 0 i -1 i 1 i 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \ do \left[ \begin(tablica)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \\ 1 i -1 i 0 & 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Pomnóż drugą linię przez -1, a następnie odejmij ją 6 razy od pierwszej i dodaj 1 raz do ostatniej:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 i 6 i 1 i 0 i 2 i -1 \\ 0 i -1 i 0 i -3 i 5 i -2 \ \ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 i -5 i 2 \\ 1 i -1 i 0 i 1 i -2 i 1 \\\end(array) \right]\begin(macierz) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 i 0 i 0 i 4 i -7 i 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Pozostaje tylko zamienić linie 1 i 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 i 32 i -13 \\\end(tablica) \right]\]

Gotowy! Po prawej stronie znajduje się wymagana macierz odwrotna.

Odpowiedź. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 i -7 i 3 \\ 3 i -5 i 2 \\ -18 i 32 i -13 \\\end(array) \right ]$

Zadanie. Znajdź macierz odwrotną:

\[\left[ \begin(macierz) 1 i 4 i 2 i 3 \\ 1 i -2 i 1 i -2 \\ 1 i -1 i 1 i 1 \\ 0 i -10 i -2 i -5 \\\end(macierz) \right]\]

Rozwiązanie. Ponownie tworzymy dodatek:

\[\left[ \begin(tablica)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right]\]

Popłaczmy trochę, posmućmy się, ile mamy teraz doliczyć... i zacznijmy liczyć. Najpierw „wyzerujmy” pierwszą kolumnę, odejmując wiersz 1 od wierszy 2 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i -2 i 1 i -2 i 0 & 1 i 0 i 0 \\ 1 i -1 i 1 i 1 i 0 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(tablica) \right]\begin(macierz) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i -1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 & 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Widzimy zbyt wiele „minusów” w wierszach 2-4. Pomnóż wszystkie trzy wiersze przez -1, a następnie wypal trzecią kolumnę, odejmując wiersz 3 od reszty:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i 4 i 2 i 3 i 1 i 0 i 0 i 0 \\ 0 i -6 i -1 i -5 i - 1 i 1 i 0 i 0 \\ 0 i -5 i -1 i -2 i -1 i 0 i 1 i 0 \\ 0 i -10 i -2 i -5 i 0 i 0 i 0 i 1 \\ \end(tablica) \right]\begin(macierz) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \po lewej| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \po lewej| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 i 1 i -1 i 0 i 0 \\ 0 i 5 i 1 i 2 i 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 10 i 2 i 5 i 0 i 0 i 0 i -1 \\ \end (tablica) \right]\begin(macierz) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(tablica)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 i 0 i -1 i 0 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Teraz czas na „usmażenie” ostatniej kolumny oryginalnej macierzy: od reszty odejmij linię 4:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(macierz) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(macierz)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 i -6 i 0 i 0 i -3 i 0 i 4 i -1 \\ 0 i 1 i 0 i 0 i 6 i -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 & -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ostatni rzut: „wypal” drugą kolumnę, odejmując linię 2 od linii 1 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 i -5 i 3 \\ 0 i 5 i 1 i 0 i 5 i 0 i -5 i 2 \\ 0 i 0 i 0 i 1 i -2 i 0 i 2 i -1 \\\end( array) \right]\begin(macierz) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

I znowu macierz jednostkowa jest po lewej stronie, czyli odwrotność jest po prawej. :)

Odpowiedź. $\left[ \begin(macierz) 33 i -6 i -26 i 17 \\ 6 i -1 i -5 i 3 \\ -25 i 5 i 20 i -13 \\ -2 i 0 i 2 i - 1 \\\end(macierz) \right]$

OK, wszystko już skończone. Sprawdź sam - mam przerąbane. :)

Macierz $A^(-1)$ nazywa się odwrotnością macierzy kwadratowej $A$, jeżeli spełniony jest warunek $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdzie $E $ jest macierzą jednostkową, której rząd jest równy rządowi macierzy $A$.

Macierz nieosobliwa to macierz, której wyznacznik nie jest równy zero. Odpowiednio macierz osobliwa to taka, której wyznacznik jest równy zero.

Macierz odwrotna $A^(-1)$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy macierz $A$ nie jest osobliwa. Jeśli istnieje macierz odwrotna $A^(-1)$, to jest ona unikalna.

Istnieje kilka sposobów znajdowania odwrotności macierzy, a my przyjrzymy się dwóm z nich. Na tej stronie omówiona zostanie metoda macierzy sprzężonych, która jest uważana za standard na większości kursów z matematyki wyższej. W drugiej części omówiono drugą metodę wyznaczania macierzy odwrotnej (metodę przekształceń elementarnych), która polega na wykorzystaniu metody Gaussa lub metody Gaussa-Jordana.

Metoda macierzy sprzężonych

Niech będzie podana macierz $A_(n\times n)$. Aby znaleźć macierz odwrotną $A^(-1)$, należy wykonać trzy kroki:

1. Znajdź wyznacznik macierzy $A$ i upewnij się, że $\Delta A\neq 0$, tj. że macierz A nie jest osobliwa.
2. Utwórz dopełnienia algebraiczne $A_(ij)$ każdego elementu macierzy $A$ i zapisz macierz $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ ze znalezionej algebraicznej uzupełnia.
3. Zapisz macierz odwrotną uwzględniając wzór $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Macierz $(A^(*))^T$ nazywa się często sprzężoną (odwrotną, sprzymierzoną) z macierzą $A$.

Jeśli rozwiązanie odbywa się ręcznie, to pierwsza metoda jest dobra tylko dla macierzy stosunkowo małych rzędów: druga (), trzecia (), czwarta (). Aby znaleźć odwrotność macierzy wyższego rzędu, stosuje się inne metody. Na przykład metoda Gaussa, o której mowa w drugiej części.

Przykład nr 1

Znajdź odwrotność macierzy $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Ponieważ wszystkie elementy czwartej kolumny są równe zeru, to $\Delta A=0$ (czyli macierz $A$ jest liczbą pojedynczą). Ponieważ $\Delta A=0$, nie ma macierzy odwrotnej do macierzy $A$.

Odpowiedź: macierz $A^(-1)$ nie istnieje.

Przykład nr 2

Znajdź odwrotność macierzy $A=\left(\begin(array) (cc) -5 i 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Wykonaj kontrolę.

Stosujemy metodę macierzy sprzężonych. Najpierw znajdźmy wyznacznik danej macierzy $A$:

$$ \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (cc) -5 i 7\\ 9 i 8 \end(tablica)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Ponieważ $\Delta A \neq 0$, to istnieje macierz odwrotna, dlatego będziemy kontynuować rozwiązanie. Znajdowanie uzupełnień algebraicznych

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\\end(wyrównane)

Tworzymy macierz dodawania algebraicznego: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponujemy otrzymaną macierz: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the wynikową macierz często nazywa się macierzą przylegającą lub pokrewną do macierzy $A$). Korzystając ze wzoru $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ mamy:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(tablica) (cc) 8 i -7\\ -9 i -5 \end(tablica)\right) =\left(\begin(tablica) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array)\right) $$

Znaleziono więc macierz odwrotną: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array )\po prawej) $. Aby sprawdzić prawdziwość wyniku, wystarczy sprawdzić prawdziwość jednej z równości: $A^(-1)\cdot A=E$ lub $A\cdot A^(-1)=E$. Sprawdźmy równość $A^(-1)\cdot A=E$. Aby mniej pracować z ułamkami, podstawimy macierz $A^(-1)$ nie w postaci $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ i w postaci $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(tablica )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(tablica) (cc) 8 i -7\\ -9 i -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 i 7 \\ 9 i 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(tablica) (cc) -103 i 0 \\ 0 i -103 \end(tablica)\right) =\left(\begin(tablica) (cc) 1 i 0 \\ 0 i 1 \end(tablica )\right) =E $$

Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (cc) -8/103 i 7/103\\ 9/103 i 5/103 \end(array)\right)$.

Przykład nr 3

Znajdź macierz odwrotną macierzy $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Wykonaj kontrolę.

Zacznijmy od obliczenia wyznacznika macierzy $A$. Zatem wyznacznikiem macierzy $A$ jest:

$$ \Delta A=\lewo| \begin(tablica) (ccc) 1 i 7 i 3 \\ -4 i 9 i 4 \\ 0 i 3 i 2\end(tablica) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Ponieważ $\Delta A\neq 0$, to istnieje macierz odwrotna, dlatego będziemy kontynuować rozwiązanie. Znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu danej macierzy:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 i 4\\ 3 i 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) -4 &4 \\ 0 i 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) -4 i 9\\ 0 i 3\end(tablica)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) 7 i 3\\ 3 i 2\end(tablica)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) 1 i 3\\ 0 i 2\end(tablica)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) 1 i 7\\ 0 i 3\end(tablica)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) 7 i 3\\ 9 i 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) 1 i 3\\ -4 i 4\end(tablica)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(tablica)(cc) 1 i 7\\ -4 i 9\end(tablica)\right|=37. \end(wyrównane) $$

Tworzymy macierz dodatków algebraicznych i transponujemy ją:

$$ A^*=\left(\begin(tablica) (ccc) 6 i 8 i -12 \\ -5 i 2 i -3 \\ 1 i -16 i 37\end(tablica) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right) . $$

Korzystając ze wzoru $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ otrzymujemy:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i - 3 i 37\end(tablica) \right)= \left(\begin(tablica) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \ \ -6/13 i -3/26 i 37/26 \end(tablica) \right) $$

Zatem $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ - 6 /13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$. Aby sprawdzić prawdziwość wyniku, wystarczy sprawdzić prawdziwość jednej z równości: $A^(-1)\cdot A=E$ lub $A\cdot A^(-1)=E$. Sprawdźmy równość $A\cdot A^(-1)=E$. Aby mniej pracować z ułamkami, podstawimy macierz $A^(-1)$ nie w postaci $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ -6/13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$ i w postaci $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(tablica) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\end(tablica) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(tablica)(ccc) 1 i 7 i 3 \\ -4 i 9 i 4\\ 0 i 3 i 2\end(tablica) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 i -5 i 1 \\ 8 i 2 i -16 \\ -12 i -3 i 37\ end(tablica) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(tablica) (ccc) 26 i 0 i 0 \\ 0 i 26 i 0 \\ 0 i 0 i 26\end (tablica) \right) =\left(\begin(tablica) (ccc) 1 i 0 i 0 \\ 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1\end(tablica) \right) =E $$

Sprawdzenie wypadło pomyślnie, macierz odwrotna $A^(-1)$ została znaleziona poprawnie.

Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (ccc) 3/13 i -5/26 i 1/26 \\ 4/13 i 1/13 i -8/13 \\ -6 /13 i -3/26 i 37/26 \end(array) \right)$.

Przykład nr 4

Znajdź macierz odwrotną macierzy $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 i -3 \end(array) \right)$.

W przypadku macierzy czwartego rzędu znalezienie macierzy odwrotnej za pomocą dodawania algebraicznego jest dość trudne. Jednakże takie przykłady zdarzają się w dokumentach testowych.

Aby znaleźć odwrotność macierzy, należy najpierw obliczyć wyznacznik macierzy $A$. Najlepszym sposobem na osiągnięcie tego w tej sytuacji jest rozłożenie wyznacznika wzdłuż wiersza (kolumny). Wybieramy dowolny wiersz lub kolumnę i znajdujemy uzupełnienia algebraiczne każdego elementu wybranego wiersza lub kolumny.

Na przykład dla pierwszej linii otrzymujemy:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 i 5 i 2\\ 5 i 3 i 7\\ 8 i -8 i -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 i 5 i 2\\ 7 i 3 i 7 \\ -4 i -8 i -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\lewo|\begin(tablica)(ccc) 9 i 7 i 2\\ 7 i 5 i 7\\ -4 i 8 i -3 \end(tablica)\prawo|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 i 7 i 5\\ 7 i 5 i 3\\ -4 i 8 i -8 \end(array)\right|=-112. $$

Wyznacznik macierzy $A$ oblicza się ze wzoru:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(wyrównane) $$

Macierz uzupełnień algebraicznych: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 i -250 i -463 i -96\end(tablica)\right)$.

Macierz przylegająca: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 i -463\\ -112 i 4 i 36 i -96\end(tablica)\right)$.

Odwrotna macierz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(tablica) (cccc) 556 i -77 i -93 i 473\\ -300 i 50 i 50 i -250 \\ -536 i 87 i 83 i -463\\ -112 i 4 i 36 i -96 \end(tablica) \right)= \left(\begin(tablica) (cccc) 139/25 i -77/100 & -93/100 i 473/100 \\ -3 i 1/2 i 1/2 i -5/2 \\ -134/25 i 87/100 i 83/100 i -463/100 \\ -28/ 25 i 1/25 i 9/25 i -24/25 \end(array) \right) $$

W razie potrzeby kontrolę można wykonać w taki sam sposób, jak w poprzednich przykładach.

Odpowiedź: $A^(-1)=\left(\begin(tablica) (cccc) 139/25 i -77/100 i -93/100 i 473/100 \\ -3 i 1/2 i 1/2 & -5/2 \\ -134/25 i 87/100 i 83/100 i -463/100 \\ -28/25 i 1/25 i 9/25 i -24/25 \end(tablica) \right) $.

W drugiej części rozważymy inny sposób znalezienia macierzy odwrotnej, który polega na wykorzystaniu transformacji metody Gaussa lub metody Gaussa-Jordana.

Metody znajdowania macierzy odwrotnej. Rozważmy macierz kwadratową

Oznaczmy Δ = det A.

Nazywa się macierz kwadratową A niezdegenerowany, Lub nie specjalne, jeśli jego wyznacznik jest różny od zera, oraz zdegenerowany, Lub specjalny, JeśliΔ = 0.

Macierz kwadratowa B dotyczy macierzy kwadratowej A tego samego rzędu, jeśli jej iloczynem jest A B = B A = E, gdzie E jest macierzą jednostkową tego samego rzędu co macierze A i B.

Twierdzenie . Aby macierz A miała macierz odwrotną, konieczne i wystarczające jest, aby jej wyznacznik był różny od zera.

Odwrotna macierz macierzy A, oznaczona jako A- 1, więc B = A - 1 i oblicza się według wzoru

, (1)

gdzie A i j są dopełnieniami algebraicznymi elementów a i j macierzy A..

Obliczanie A -1 ze wzoru (1) dla macierzy wyższego rzędu jest bardzo pracochłonne, dlatego w praktyce wygodnie jest znaleźć A -1 metodą przekształceń elementarnych (ET). Dowolną nieosobliwą macierz A można sprowadzić do macierzy jednostkowej E, stosując do macierzy jednostkowej tylko kolumny (lub tylko wiersze). Jeżeli transformacje doskonałe na macierzy A zostaną zastosowane w tej samej kolejności do macierzy jednostkowej E, wynikiem będzie macierz odwrotna. Wygodnie jest wykonać EP jednocześnie na macierzach A i E, zapisując obie macierze obok siebie w linii. Jeszcze raz zauważmy, że szukając postaci kanonicznej macierzy, aby ją znaleźć, można skorzystać z przekształceń wierszy i kolumn. Jeśli chcesz znaleźć odwrotność macierzy, w procesie transformacji powinieneś używać tylko wierszy lub tylko kolumn.

Przykład 1. Dla matrixa znajdź A-1.

Rozwiązanie.Najpierw znajdujemy wyznacznik macierzy A
Oznacza to, że istnieje macierz odwrotna i możemy ją znaleźć korzystając ze wzoru: , gdzie A i j (i,j=1,2,3) są algebraicznymi dodatkami elementów a ij macierzy pierwotnej.

Gdzie .

Przykład 2. Korzystając z metody przekształceń elementarnych, znajdź A -1 dla macierzy: A = .

Rozwiązanie.Do pierwotnej macierzy po prawej stronie przypisujemy macierz tożsamości tego samego rzędu: . Stosując elementarne przekształcenia kolumn, sprowadzimy lewą „połówkę” do tożsamości, wykonując jednocześnie dokładnie te same przekształcenia na prawej macierzy.
Aby to zrobić, zamień pierwszą i drugą kolumnę: ~ . Do trzeciej kolumny dodajemy pierwszą, a do drugiej pierwszą, pomnożoną przez -2: . Od pierwszej kolumny odejmujemy drugą podwojoną, a od trzeciej drugą pomnożoną przez 6; . Dodajmy trzecią kolumnę do pierwszej i drugiej: . Pomnóż ostatnią kolumnę przez -1: . Macierz kwadratowa uzyskana na prawo od pionowej kreski jest macierzą odwrotną danej macierzy A. Zatem
.