समान शक्तींनी संख्यांचा गुणाकार करणे शक्य आहे का? विविध घातांकांसह शक्ती, शक्तींचा गुणाकार कसा करायचा

प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन कधीकधी लिहिण्यासाठी खूप त्रासदायक बनते आणि ते ते सोपे करण्याचा प्रयत्न करतात. हे एकेकाळी ऍडिशन ऑपरेशनच्या बाबतीत होते. लोकांना समान प्रकार वारंवार जोडणे आवश्यक होते, उदाहरणार्थ, शंभर पर्शियन कार्पेट्सची किंमत मोजण्यासाठी, ज्याची किंमत प्रत्येकासाठी 3 सोन्याची नाणी आहे. 3+3+3+…+3 = 300. त्याच्या अवघड स्वभावामुळे, नोटेशन 3 * 100 = 300 असे लहान करण्याचा निर्णय घेण्यात आला. खरं तर, "तीन वेळा शंभर" म्हणजे तुम्हाला एक घेणे आवश्यक आहे. शंभर तीन आणि त्यांना एकत्र जोडा. गुणाकार पकडला आणि सामान्य लोकप्रियता मिळवली. परंतु जग स्थिर राहिले नाही आणि मध्ययुगात त्याच प्रकारचे वारंवार गुणाकार करण्याची गरज निर्माण झाली. मला एका ऋषीबद्दलचे एक जुने भारतीय कोडे आठवते ज्याने केलेल्या कामाचे बक्षीस म्हणून खालील प्रमाणात गव्हाचे धान्य मागितले: पहिल्या सेलसाठी चेसबोर्डत्याने एक धान्य मागितले, दुसऱ्यासाठी - दोन, तिसऱ्यासाठी - चार, पाचव्यासाठी - आठ, इत्यादी. अशा प्रकारे शक्तींचा पहिला गुणाकार दिसून आला, कारण धान्यांची संख्या सेल नंबरच्या बळाच्या दोन इतकी होती. उदाहरणार्थ, शेवटच्या सेलवर 2*2*2*...*2 = 2^63 ग्रेन असतील, जे 18 अक्षरांच्या लांबीच्या संख्येइतके आहे, जे खरे तर कोडेचा अर्थ आहे.

घातांकाचे कार्य झपाट्याने पूर्ण झाले आणि शक्तींची बेरीज, वजाबाकी, भागाकार आणि गुणाकार करण्याची आवश्यकता देखील त्वरीत निर्माण झाली. नंतरचे अधिक तपशीलवार विचार करणे योग्य आहे. शक्ती जोडण्याची सूत्रे सोपी आणि लक्षात ठेवण्यास सोपी आहेत. याव्यतिरिक्त, पॉवर ऑपरेशन गुणाकाराने बदलले असल्यास ते कोठून येतात हे समजणे खूप सोपे आहे. परंतु प्रथम तुम्हाला काही मूलभूत शब्दावली समजून घेणे आवश्यक आहे. a^b अभिव्यक्ती ("a to b च्या घात" वाचा) म्हणजे a संख्या स्वतः b ने गुणाकार केली पाहिजे, "a" ला घाताचा आधार आणि "b" घातांक म्हटला पाहिजे. जर अंशांचे आधार समान असतील तर सूत्रे अगदी सोप्या पद्धतीने काढली जातात. विशिष्ट उदाहरण: अभिव्यक्ती 2^3 * 2^4 चे मूल्य शोधा. काय झाले पाहिजे हे जाणून घेण्यासाठी, आपण उपाय सुरू करण्यापूर्वी संगणकावर उत्तर शोधावे. कोणत्याही ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरमध्ये, शोध इंजिनमध्ये, “वेगवेगळ्या बेस आणि समान असलेल्या गुणाकार शक्ती” किंवा गणिताच्या पॅकेजमध्ये ही अभिव्यक्ती प्रविष्ट केल्यास, आउटपुट 128 होईल. आता ही अभिव्यक्ती लिहू: 2^3 = 2*2*2, आणि 2^4 = 2 *2*2*2. असे दिसून आले की 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . सह शक्ती उत्पादन की बाहेर वळते समान आधारमागील दोन शक्तींच्या बेरजेच्या बरोबरीच्या बळावर पायाच्या समान.

तुम्हाला वाटेल की हा अपघात आहे, पण नाही: इतर कोणतेही उदाहरण फक्त पुष्टी करू शकते हा नियम. अशा प्रकारे, मध्ये सामान्य दृश्यसूत्र खालीलप्रमाणे आहे: a^n * a^m = a^(n+m) . असाही नियम आहे की शून्य शक्तीची कोणतीही संख्या एक असते. येथे आपण नकारात्मक शक्तींचा नियम लक्षात ठेवला पाहिजे: a^(-n) = 1 / a^n. म्हणजेच, जर 2^3 = 8, तर 2^(-3) = 1/8. हा नियम वापरून, तुम्ही a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( या समानतेची वैधता सिद्ध करू शकता. n) , a^ (n) कमी केले जाऊ शकते आणि एक राहते. इथून नियम व्युत्पन्न केला जातो की समान पाया असलेल्या शक्तींचा भाग या पायाशी समान असतो आणि लाभांश आणि विभाजकाच्या भागाच्या बरोबरीचा असतो: a^n: a^m = a^(n-m) . उदाहरण: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) अभिव्यक्ती सुलभ करा. गुणाकार एक कम्युटेटिव्ह ऑपरेशन आहे, म्हणून, तुम्ही प्रथम गुणाकार घातांक जोडणे आवश्यक आहे: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. पुढे तुम्हाला विभाजनास सामोरे जावे लागेल नकारात्मक पदवी. लाभांशाच्या घातांकातून भाजकाचा घातांक वजा करणे आवश्यक आहे: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. असे दिसून आले की ऋण अंशाने भागाकार करण्याची क्रिया समान धनात्मक घातांकाने गुणाकार करण्याच्या क्रियाप्रमाणे असते. तर अंतिम उत्तर 8 आहे.

अशी उदाहरणे आहेत जिथे शक्तींचा गैर-प्रामाणिक गुणाकार होतो. वेगवेगळ्या आधारांसह शक्तींचा गुणाकार करणे हे बरेचदा कठीण आणि कधीकधी अशक्यही असते. काही वेगळी उदाहरणे आहेत संभाव्य तंत्र. उदाहरण: अभिव्यक्ती 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 सोपी करा. स्पष्टपणे, वेगवेगळ्या आधारांसह शक्तींचा गुणाकार आहे. परंतु हे लक्षात घेतले पाहिजे की सर्व कारणे आहेत विविध अंशतीन ९ = ३^२.१ = ३^४.३ = ३^५.९ = ३^६. (a^n) ^m = a^(n*m) हा नियम वापरून, तुम्ही अभिव्यक्ती अधिकमध्ये पुन्हा लिहावी. सोयीस्कर फॉर्म: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12-10+6) = 3^(11) . उत्तर: 3^11. भिन्न पाया असलेल्या प्रकरणांमध्ये, a^n * b^n = (a*b) ^n हा नियम समान निर्देशकांसाठी कार्य करतो. उदाहरणार्थ, 3^3 * 7^3 = 21^3. अन्यथा, जेव्हा पाया आणि घातांक भिन्न असतात तेव्हा पूर्ण गुणाकार करता येत नाही. काहीवेळा आपण अंशतः सरलीकृत करू शकता किंवा संगणक तंत्रज्ञानाचा सहारा घेऊ शकता.

शेवटच्या व्हिडिओ धड्यात, आम्ही शिकलो की विशिष्ट बेसची डिग्री ही एक अभिव्यक्ती आहे जी स्वतःच बेसचे उत्पादन दर्शवते, घातांकाच्या बरोबरीने घेतलेली असते. आता थोडा अभ्यास करूया सर्वात महत्वाचे गुणधर्मआणि डिग्रीचे ऑपरेशन्स.

उदाहरणार्थ, दोन गुणाकार करू विविध अंशत्याच बेससह:

चला हे कार्य संपूर्णपणे सादर करूया:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

या अभिव्यक्तीच्या मूल्याची गणना केल्यावर, आपल्याला 32 ही संख्या मिळते. दुसरीकडे, त्याच उदाहरणावरून पाहिल्याप्रमाणे, 32 हे समान आधार (दोन) चे गुणाकार म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, 5 वेळा घेतले. आणि खरंच, जर तुम्ही ते मोजले तर:

अशा प्रकारे, आम्ही आत्मविश्वासाने असा निष्कर्ष काढू शकतो की:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

हा नियम कोणत्याही निर्देशक आणि कोणत्याही कारणांसाठी यशस्वीरित्या कार्य करतो. पॉवर गुणाकाराचा हा गुणधर्म उत्पादनातील परिवर्तनादरम्यान अभिव्यक्तीचा अर्थ जतन केला जातो या नियमानुसार होतो. कोणत्याही बेस a साठी, दोन अभिव्यक्ती (a)x आणि (a)y चे गुणाकार a(x + y) च्या बरोबरीचे असतात. दुसर्‍या शब्दांत, जेव्हा समान आधार असलेली कोणतीही अभिव्यक्ती तयार केली जाते, तेव्हा परिणामी मोनोमियलमध्ये पहिल्या आणि द्वितीय अभिव्यक्तींच्या अंश जोडून एकूण पदवी तयार होते.

अनेक अभिव्यक्ती गुणाकार करताना सादर केलेला नियम देखील उत्कृष्ट कार्य करतो. मुख्य अट अशी आहे की प्रत्येकाचे आधार समान आहेत. उदाहरणार्थ:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

अंश जोडणे आणि अभिव्यक्तीच्या दोन घटकांसह कोणतीही शक्ती-आधारित संयुक्त क्रिया करणे अशक्य आहे जर त्यांचे तळ वेगळे असतील.
आमच्या व्हिडिओमध्ये दाखवल्याप्रमाणे, गुणाकार आणि भागाकाराच्या प्रक्रियेच्या समानतेमुळे, उत्पादनामध्ये शक्ती जोडण्याचे नियम पूर्णपणे भागाकार प्रक्रियेमध्ये हस्तांतरित केले जातात. या उदाहरणाचा विचार करा:

मध्ये अभिव्यक्तीचे टर्म-दर-टर्म रूपांतर करूया पूर्ण दृश्यआणि लाभांश आणि विभाजक मधील समान घटक कमी करा:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

या उदाहरणाचा अंतिम परिणाम इतका मनोरंजक नाही, कारण आधीच ते सोडवण्याच्या प्रक्रियेत हे स्पष्ट आहे की अभिव्यक्तीचे मूल्य दोनच्या वर्गाइतके आहे. आणि पहिल्याच्या अंशातून दुसर्‍या अभिव्यक्तीची डिग्री वजा करून ते दोन आहेत.

भागांकाची डिग्री निश्चित करण्यासाठी, लाभांशाच्या अंशातून विभाजकाची डिग्री वजा करणे आवश्यक आहे. सर्व मूल्यांसाठी आणि सर्वांसाठी आधार समान असल्यास नियम कार्य करतो नैसर्गिक अंश. अमूर्त स्वरूपात आमच्याकडे आहे:

(a) x / (a) y = (a) x - y

समान आधारांना अंशांसह विभाजित करण्याच्या नियमावरून, शून्य पदवीची व्याख्या खालीलप्रमाणे आहे. अर्थात, खालील अभिव्यक्ती असे दिसते:

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

दुसरीकडे, जर आपण विभागणी अधिक दृश्य पद्धतीने केली तर आपल्याला मिळेल:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

अपूर्णांकातील सर्व दृश्यमान घटक कमी करताना, 1/1 ही अभिव्यक्ती नेहमी प्राप्त होते, म्हणजेच एक. म्हणून, हे सामान्यतः स्वीकारले जाते की शून्य पॉवरपर्यंत वाढवलेला कोणताही आधार एक समान असतो:

ए चे मूल्य कितीही असो.

तथापि, जर 0 (जे अजूनही कोणत्याही गुणाकारासाठी 0 देते) एकाच्या समान असेल तर ते मूर्खपणाचे होईल, म्हणून (0) 0 (शून्य ते शून्य पॉवर) ची अभिव्यक्ती फक्त अर्थ नाही आणि सूत्र ( a) 0 = 1 एक अट जोडा: "जर a 0 च्या समान नसेल."

चला व्यायाम सोडवू. चला अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधूया:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

बेस सर्वत्र समान असल्याने आणि 34 च्या समान असल्याने, अंतिम मूल्याचा पदवीसह समान आधार असेल (वरील नियमांनुसार):

दुसऱ्या शब्दात:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

उत्तर: अभिव्यक्ती एक समान आहे.

पदवी सूत्रेकपात आणि सरलीकरण प्रक्रियेत वापरले जाते जटिल अभिव्यक्ती, समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी.

क्रमांक cआहे n-संख्येची वी पॉवर aकधी:

डिग्रीसह ऑपरेशन्स.

1. समान बेससह अंशांचा गुणाकार करून, त्यांचे निर्देशक जोडले जातात:

आहे· a n = a m + n .

2. समान पायासह अंशांचे विभाजन करताना, त्यांचे घातांक वजा केले जातात:

3. 2 च्या उत्पादनाची शक्ती किंवा अधिकघटक या घटकांच्या शक्तींच्या गुणाकाराच्या समान आहेत:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. अपूर्णांकाची पदवी लाभांश आणि विभाजक यांच्या अंशांच्या गुणोत्तरासारखी असते:

(a/b) n = a n /b n .

5. घातांक वाढवून, घातांकांचा गुणाकार केला जातो:

(a m) n = a m n .

वरील प्रत्येक सूत्र डावीकडून उजवीकडे आणि त्याउलट दिशानिर्देशांमध्ये सत्य आहे.

उदाहरणार्थ. (२ ३ ५/१५)² = २² ३² ५²/१५² = ९००/२२५ = ४.

मुळे सह ऑपरेशन्स.

1. अनेक घटकांच्या उत्पादनाचे मूळ या घटकांच्या मुळांच्या गुणाकाराइतके असते:

2. गुणोत्तराचे मूळ लाभांश आणि मुळांच्या विभाजकाच्या गुणोत्तरासारखे असते:

3. पॉवरमध्ये रूट वाढवताना, या पॉवरमध्ये मूलगामी संख्या वाढवणे पुरेसे आहे:

4. जर आपण रूटची डिग्री वाढवली तर nएकदा आणि त्याच वेळी तयार करा n th पॉवर ही एक मूलगामी संख्या आहे, तर रूटचे मूल्य बदलणार नाही:

5. जर आपण रूटची डिग्री कमी केली तर nत्याच वेळी रूट काढा nमूलगामी संख्येची -वी शक्ती, नंतर रूटचे मूल्य बदलणार नाही:

ऋण घातांक असलेली पदवी.नॉन-पॉझिटिव्ह (पूर्णांक) घातांकासह विशिष्ट संख्येची घात अशी व्याख्या केली जाते ज्याला त्याच संख्येच्या घातांकाने नॉन-पॉझिटिव्ह घातांकाच्या निरपेक्ष मूल्याच्या बरोबरीने भागले जाते:

सुत्र आहे:a n =a m - nसाठीच वापरले जाऊ शकत नाही मी> n, पण सह मी< n.

उदाहरणार्थ. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

सूत्राला आहे:a n =a m - nतेव्हा गोरा झाला m=n, शून्य डिग्रीची उपस्थिती आवश्यक आहे.

शून्य निर्देशांक असलेली पदवी.शून्य घातांकासह शून्याच्या समान नसलेल्या कोणत्याही संख्येची घात एक बरोबर असते.

उदाहरणार्थ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

अंशात्मक घातांकासह पदवी.वास्तविक संख्या वाढवण्यासाठी एपदवी पर्यंत m/n, आपल्याला रूट काढण्याची आवश्यकता आहे nच्या व्या पदवी मी-या संख्येची वी पॉवर ए.

तुम्हाला पॉवरमध्ये विशिष्ट संख्या वाढवायची असल्यास, तुम्ही वापरू शकता. आता आपण जवळून पाहू अंशांचे गुणधर्म.

घातांक संख्यामोठ्या शक्यता उघडतात, ते आम्हाला गुणाकाराचे रूपांतर बेरीजमध्ये करू देतात आणि गुणाकार करण्यापेक्षा जोडणे खूप सोपे आहे.

उदाहरणार्थ, आपल्याला 16 चा 64 ने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. या दोन संख्यांचा गुणाकार 1024 आहे. परंतु 16 हा 4x4 आहे आणि 64 हा 4x4x4 आहे. म्हणजेच, 16 बाय 64 = 4x4x4x4x4, जे 1024 च्या समान आहे.

16 ही संख्या 2x2x2x2 आणि 64 2x2x2x2x2x2 म्हणून देखील दर्शविली जाऊ शकते आणि जर आपण गुणाकार केला तर आपल्याला पुन्हा 1024 मिळेल.

आता नियम वापरुया. 16=4 2, किंवा 2 4, 64=4 3, किंवा 2 6, त्याच वेळी 1024=6 4 = 4 5, किंवा 2 10.

म्हणून, आमची समस्या वेगळ्या प्रकारे लिहिली जाऊ शकते: 4 2 x4 3 =4 5 किंवा 2 4 x2 6 =2 10, आणि प्रत्येक वेळी आपल्याला 1024 मिळेल.

आपण अनेक समान उदाहरणे सोडवू शकतो आणि पाहू शकतो की संख्यांचा पॉवर्ससह गुणाकार केल्याने कमी होते घातांक जोडणे, किंवा घातांक, अर्थातच, जर घटकांचे आधार समान असतील तर.

अशा प्रकारे, गुणाकार न करता, आपण लगेच म्हणू शकतो की 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

हा नियम शक्तीसह संख्या विभाजित करताना देखील सत्य आहे, परंतु या प्रकरणात भाजकाचा घातांक लाभांशाच्या घातांकातून वजा केला जातो. अशाप्रकारे, 2 5:2 3 = 2 2, जी सामान्य संख्यांमध्ये 32:8 = 4, म्हणजेच 2 2 च्या समान आहे. चला सारांश द्या:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, जेथे m आणि n पूर्णांक आहेत.

पहिल्या दृष्टीक्षेपात असे वाटू शकते की हे आहे संख्यांचा गुणाकार आणि भागाकारफार सोयीस्कर नाही, कारण प्रथम तुम्हाला घातांक स्वरूपात संख्या दर्शवायची आहे. या फॉर्ममध्ये 8 आणि 16, म्हणजेच 2 3 आणि 2 4 या अंकांचे प्रतिनिधित्व करणे कठीण नाही, परंतु 7 आणि 17 या संख्येसह हे कसे करायचे? किंवा अशा प्रकरणांमध्ये काय करावे जेथे संख्या घातांकीय स्वरूपात दर्शविली जाऊ शकते, परंतु संख्यांच्या घातांकीय अभिव्यक्तीसाठी आधार खूप भिन्न आहेत. उदाहरणार्थ, 8x9 हे 2 3 x 3 2 आहे, अशा स्थितीत आपण घातांकांची बेरीज करू शकत नाही. 2 5 किंवा 3 5 हे उत्तर नाही किंवा या दोन संख्यांमधील मध्यांतरात उत्तर नाही.

मग या पद्धतीचा अजिबात त्रास देणे योग्य आहे का? तो नक्कीच वाचतो. हे प्रचंड फायदे प्रदान करते, विशेषत: जटिल आणि वेळ घेणार्‍या गणनांसाठी.

विषयावरील धडा: "समान आणि भिन्न घातांकांसह शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार करण्याचे नियम. उदाहरणे"

अतिरिक्त साहित्य
प्रिय वापरकर्ते, आपल्या टिप्पण्या, पुनरावलोकने, शुभेच्छा देण्यास विसरू नका. सर्व साहित्य अँटी-व्हायरस प्रोग्रामद्वारे तपासले गेले आहे.

ग्रेड 7 साठी इंटिग्रल ऑनलाइन स्टोअरमध्ये शिकवण्याचे साधन आणि सिम्युलेटर
पाठ्यपुस्तकासाठी मॅन्युअल Yu.N. ए.जी. द्वारा पाठ्यपुस्तकासाठी मकर्यचेवा मॅन्युअल मोर्डकोविच

धड्याचा उद्देश: संख्यांच्या शक्तीसह ऑपरेशन्स करण्यास शिका.

प्रथम, "संख्येची शक्ती" ही संकल्पना लक्षात ठेवूया. $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ ची अभिव्यक्ती $a^n$ म्हणून दर्शविली जाऊ शकते.

संभाषण देखील खरे आहे: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

या समानतेला "उत्पादन म्हणून पदवी रेकॉर्ड करणे" असे म्हणतात. शक्तींचा गुणाकार आणि भागाकार कसा करायचा हे ठरविण्यात आम्हाला मदत होईल.
लक्षात ठेवा:
a- पदवीचा आधार.
n- घातांक.
तर n=1, ज्याचा अर्थ संख्या एएकदा घेतले आणि त्यानुसार: $a^n= 1$.
तर n = 0, नंतर $a^0= 1$.

जेव्हा आपण गुणाकार आणि शक्तींच्या विभाजनाच्या नियमांशी परिचित होतो तेव्हा असे का घडते हे आपण शोधू शकतो.

गुणाकार नियम

a) समान आधार असलेल्या शक्तींचा गुणाकार केल्यास.
$a^n * a^m$ मिळविण्यासाठी, आम्ही उत्पादन म्हणून अंश लिहितो: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(मी )$.
आकृती दर्शवते की संख्या एघेतले आहे n+mवेळा, नंतर $a^n * a^m = a^(n + m)$.

उदाहरण.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

हा गुणधर्म जास्त पॉवरवर नंबर वाढवताना काम सुलभ करण्यासाठी वापरण्यास सोयीस्कर आहे.
उदाहरण.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) जर शक्तींचा गुणाकार केला जातो भिन्न कारणे, परंतु त्याच निर्देशकासह.
$a^n * b^n$ मिळविण्यासाठी, आम्‍ही अंश उत्‍पादनाप्रमाणे लिहितो: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(मी )$.
जर आपण घटकांची अदलाबदल केली आणि परिणामी जोड्या मोजल्या, तर आपल्याला मिळेल: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

तर $a^n * b^n = (a * b)^n$.

उदाहरण.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

विभागाचे नियम

अ) पदवीचा आधार समान आहे, निर्देशक भिन्न आहेत.
लहान घातांकासह घात भागून मोठ्या घातांकासह घात भागाकार विचार करा.

तर, आम्हाला आवश्यक आहे $\frac(a^n)(a^m)$, कुठे n>m.

अंश म्हणून अंश लिहू:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

सोयीसाठी, आम्ही भागाकार एक साधा अपूर्णांक म्हणून लिहितो.

आता अपूर्णांक कमी करू.

हे निष्पन्न झाले: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
म्हणजे, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

हा गुणधर्म शून्य पॉवरवर संख्या वाढवून परिस्थिती स्पष्ट करण्यात मदत करेल. असे गृहीत धरू n=m, नंतर $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

उदाहरणे.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) पदवीचे आधार भिन्न आहेत, निर्देशक समान आहेत.
समजा $\frac(a^n)( b^n)$ आवश्यक आहे. संख्यांची शक्ती अपूर्णांक म्हणून लिहू:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

सोयीसाठी, कल्पना करूया.

अपूर्णांकांच्या गुणधर्माचा वापर करून, आपण मोठ्या अपूर्णांकाला लहानांच्या गुणाकारात विभागतो, आपल्याला मिळते.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
त्यानुसार: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

उदाहरण.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.