वाहणारे नाक

थेट आणि व्यस्त मॅट्रिक्सचे निर्धारक कसे संबंधित आहेत? स्लोव्ह सोडवण्यासाठी मॅट्रिक्स पद्धत: व्यस्त मॅट्रिक्स वापरून सोल्यूशनचे उदाहरण

मॅट्रिक्स बीजगणित - व्यस्त मॅट्रिक्स

व्यस्त मॅट्रिक्स

व्यस्त मॅट्रिक्सएक मॅट्रिक्स आहे ज्याला दिलेल्या मॅट्रिक्सने उजवीकडे आणि डावीकडे दोन्ही गुणाकार केल्यावर, ओळख मॅट्रिक्स मिळते.
मॅट्रिक्सचा व्यस्त मॅट्रिक्स दर्शवू एद्वारे, नंतर व्याख्येनुसार आम्हाला मिळते:

कुठे इ- ओळख मॅट्रिक्स.
स्क्वेअर मॅट्रिक्सम्हणतात विशेष नाही (नॉन-डिजनरेट) जर त्याचा निर्धारक शून्य नसेल. अन्यथा म्हणतात विशेष (क्षीण होणे) किंवा एकवचनी.

प्रमेय धारण करतो: प्रत्येक नॉन-एकवचनी मॅट्रिक्समध्ये व्यस्त मॅट्रिक्स असते.

व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्याच्या ऑपरेशनला म्हणतात आवाहनमॅट्रिक्स चला मॅट्रिक्स इनव्हर्शन अल्गोरिदमचा विचार करूया. एक नॉन-एकवचनी मॅट्रिक्स द्या n-वी ऑर्डर:

जेथे Δ = det ए ≠ 0.

घटकाची बीजगणितीय जोडमॅट्रिक्स n-वी ऑर्डर एविशिष्ट चिन्हासह घेतलेल्या मॅट्रिक्सचे निर्धारक म्हणतात ( n-1) हटवून प्राप्त केलेली ऑर्डर i-वी ओळ आणि jवा मॅट्रिक्स स्तंभ ए:

चला तथाकथित तयार करूया संलग्नमॅट्रिक्स:

मॅट्रिक्सच्या संबंधित घटकांचे बीजगणितीय पूरक कोठे आहेत ए.
मॅट्रिक्स पंक्ती घटकांची बीजगणितीय जोडणी लक्षात घ्या एमॅट्रिक्सच्या संबंधित स्तंभांमध्ये ठेवलेले आहेत Ã , म्हणजे, मॅट्रिक्स एकाच वेळी ट्रान्सपोज केले जाते.
मॅट्रिक्सच्या सर्व घटकांचे विभाजन करून Ã Δ द्वारे - मॅट्रिक्स निर्धारकाचे मूल्य ए, परिणामी आपल्याला व्यस्त मॅट्रिक्स मिळते:

चला व्यस्त मॅट्रिक्सचे अनेक विशेष गुणधर्म लक्षात घेऊया:
1) दिलेल्या मॅट्रिक्ससाठी एत्याचा व्यस्त मॅट्रिक्स एकमेव आहे;
2) जर व्यस्त मॅट्रिक्स असेल तर उजवीकडे उलटआणि डावीकडे उलटमॅट्रिक्स त्याच्याशी जुळतात;
3) एकवचन (एकवचन) चौरस मॅट्रिक्समध्ये व्यस्त मॅट्रिक्स नसते.

व्यस्त मॅट्रिक्सचे मूलभूत गुणधर्म:
1) व्यस्त मॅट्रिक्सचे निर्धारक आणि मूळ मॅट्रिक्सचे निर्धारक परस्पर आहेत;
2) चौरस मॅट्रिक्सच्या गुणाकाराचे व्यस्त मॅट्रिक्स हे उलट क्रमाने घेतलेल्या घटकांच्या व्यस्त मॅट्रिक्सच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे आहे:

3) ट्रान्सपोस्ड इनव्हर्स मॅट्रिक्स दिलेल्या ट्रान्सपोस्ड मॅट्रिक्सच्या व्यस्त मॅट्रिक्सच्या बरोबरीचे आहे:

उदाहरण दिलेल्या मॅट्रिक्सच्या व्यस्ततेची गणना करा.

1. मूळ मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा. जर , तर मॅट्रिक्स एकवचनी आहे आणि कोणतेही व्यस्त मॅट्रिक्स नाही. जर, नॉन-डिजनरेट आणि व्यस्त मॅट्रिक्स अस्तित्वात असेल.

2. ट्रान्सपोज केलेले मॅट्रिक्स शोधा.

3. घटकांचे बीजगणितीय पूरक शोधा आणि त्यांच्यापासून संलग्न मॅट्रिक्स तयार करा.

4. आम्ही सूत्र वापरून व्यस्त मॅट्रिक्स तयार करतो.

5. आम्ही व्यस्त मॅट्रिक्सच्या गणनेची शुद्धता तपासतो, त्याच्या व्याख्येवर आधारित:.

उदाहरण.याचा मॅट्रिक्स व्युत्क्रम शोधा: .

उपाय.

1) मॅट्रिक्स निर्धारक

२) मॅट्रिक्स घटकांचे बीजगणितीय पूरक शोधा आणि त्यांच्यापासून संलग्न मॅट्रिक्स तयार करा:

3) व्यस्त मॅट्रिक्सची गणना करा:

४) तपासा:

№4मॅट्रिक्स रँक. मॅट्रिक्स पंक्तींची रेखीय स्वातंत्र्य

अनेक गणिती आणि उपयोजित समस्यांचे निराकरण आणि अभ्यास करण्यासाठी, मॅट्रिक्स श्रेणीची संकल्पना महत्त्वाची आहे.

आकाराच्या मॅट्रिक्समध्ये, कोणत्याही पंक्ती आणि स्तंभ हटवून, तुम्ही व्या क्रमाचे चौरस सबमॅट्रिक्स वेगळे करू शकता, कुठे. अशा सबमेट्रिक्सचे निर्धारक म्हणतात मॅट्रिक्स ऑर्डरचे अल्पवयीन .

उदाहरणार्थ, मॅट्रिक्समधून तुम्ही 1ली, 2री आणि 3री ऑर्डरची सबमॅट्रिक्स मिळवू शकता.

व्याख्या.मॅट्रिक्सचा रँक हा त्या मॅट्रिक्सच्या शून्य अल्पवयीन मुलांचा सर्वोच्च क्रम आहे. पदनाम: किंवा.

व्याख्या पासून ते खालीलप्रमाणे आहे:

1) मॅट्रिक्सची रँक त्याच्या आकारमानाच्या लहानपेक्षा जास्त नाही, म्हणजे.

2) जर आणि फक्त जर मॅट्रिक्सचे सर्व घटक शून्याच्या समान असतील, म्हणजे

3) मॅट्रिक्स नॉन-एकवचनी असल्यास आणि फक्त जर nव्या क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्ससाठी.

सर्वात मोठ्या आकारापासून सुरू होणार्‍या मॅट्रिक्सच्या सर्व संभाव्य अल्पवयीन मुलांची थेट गणना करणे कठीण (वेळ घेणारे) असल्याने, ते प्राथमिक मॅट्रिक्स रूपांतरणे वापरतात जे मॅट्रिक्सची श्रेणी टिकवून ठेवतात.

प्राथमिक मॅट्रिक्स परिवर्तन:

1) शून्य पंक्ती (स्तंभ) टाकून देणे.

2) एका पंक्तीतील सर्व घटकांचा (स्तंभ) संख्येने गुणाकार करणे.

3) मॅट्रिक्सच्या पंक्तींचा (स्तंभ) क्रम बदलणे.

4) एका पंक्तीच्या (स्तंभ) प्रत्येक घटकामध्ये दुसर्‍या पंक्तीचे (स्तंभ) संबंधित घटक जोडणे, कोणत्याही संख्येने गुणाकार करणे.

5) मॅट्रिक्स ट्रान्सपोझिशन.

व्याख्या.प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून मॅट्रिक्समधून मिळवलेल्या मॅट्रिक्सला समतुल्य म्हणतात आणि ते सूचित केले जाते ए IN.

प्रमेय.प्राथमिक मॅट्रिक्स परिवर्तनादरम्यान मॅट्रिक्सची श्रेणी बदलत नाही.

प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून, आपण मॅट्रिक्सला तथाकथित चरण फॉर्ममध्ये कमी करू शकता, जेव्हा त्याची रँक मोजणे कठीण नसते.

मॅट्रिक्सचे फॉर्म असल्यास त्याला एकेलॉन म्हणतात:

अर्थात, स्टेप मॅट्रिक्सची रँक शून्य नसलेल्या पंक्तींच्या संख्येइतकी असते, कारण एक लहान क्रम आहे जो शून्याच्या बरोबरीचा नाही:

उदाहरण.प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून मॅट्रिक्सची श्रेणी निश्चित करा.

मॅट्रिक्सची रँक शून्य नसलेल्या पंक्तींच्या संख्येइतकी आहे, म्हणजे. .

№5मॅट्रिक्स पंक्तींची रेखीय स्वातंत्र्य

एक आकार मॅट्रिक्स दिले

मॅट्रिक्सच्या पंक्ती खालीलप्रमाणे दर्शवू.

दोन ओळी म्हणतात समान , त्यांचे संबंधित घटक समान असल्यास. .

स्ट्रिंगला संख्येने गुणाकार करणे आणि घटक-दर-एलिमेंट केलेल्या ऑपरेशन्सप्रमाणे स्ट्रिंग जोडण्याच्या ऑपरेशन्सची ओळख करून देऊ:

व्याख्या.एका पंक्तीला मॅट्रिक्सच्या पंक्तींचे एक रेषीय संयोजन म्हणतात जर ती या पंक्तींच्या उत्पत्तींच्या बेरजेशी अनियंत्रित वास्तविक संख्यांनुसार (कोणत्याही संख्या) असेल:

व्याख्या.मॅट्रिक्सच्या पंक्ती म्हणतात रेखीय अवलंबून , जर अशा संख्या असतील ज्या एकाच वेळी शून्याच्या समान नसतील, जसे की मॅट्रिक्स पंक्तींचे रेखीय संयोजन शून्य पंक्तीच्या बरोबरीचे असेल:

कुठे . (१.१)

मॅट्रिक्सच्या पंक्तींचे रेखीय अवलंबन म्हणजे मॅट्रिक्सची किमान 1 पंक्ती बाकीचे एक रेखीय संयोजन आहे.

व्याख्या.पंक्तींचे रेखीय संयोजन (1.1) शून्याच्या बरोबरीचे असल्यास आणि फक्त सर्व गुणांक असल्यास, पंक्ती म्हणतात रेखीय स्वतंत्र .

मॅट्रिक्स रँक प्रमेय . मॅट्रिक्सची श्रेणी त्याच्या रेषीय स्वतंत्र पंक्ती किंवा स्तंभांच्या कमाल संख्येइतकी असते ज्याद्वारे इतर सर्व पंक्ती (स्तंभ) रेखीयपणे व्यक्त केल्या जातात.

प्रमेय मॅट्रिक्स विश्लेषणामध्ये, विशेषतः, रेखीय समीकरणांच्या प्रणालींच्या अभ्यासामध्ये मूलभूत भूमिका बजावते.

№6अज्ञातांसह रेखीय समीकरणांची प्रणाली सोडवणे

अर्थशास्त्रात रेखीय समीकरणांची प्रणाली मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते.

व्हेरिएबल्ससह रेखीय समीकरणांच्या प्रणालीचे स्वरूप आहे:

जेथे () अनियंत्रित संख्या म्हणतात व्हेरिएबल्ससाठी गुणांक आणि समीकरणांच्या मुक्त अटी , अनुक्रमे.

संक्षिप्त नोंद: ().

व्याख्या.सिस्टमचे समाधान हे मूल्यांचा असा संच आहे, ज्याच्या बदलीनंतर सिस्टमचे प्रत्येक समीकरण खऱ्या समानतेमध्ये बदलते.

1) समीकरण प्रणाली म्हणतात संयुक्त , त्यात किमान एक उपाय असल्यास, आणि संयुक्त नसलेले, त्याला कोणतेही उपाय नसल्यास.

2) समीकरणांची एकाचवेळी प्रणाली म्हणतात निश्चित , जर त्यात एक अद्वितीय उपाय असेल तर, आणि अनिश्चित , त्यात एकापेक्षा जास्त उपाय असल्यास.

3) समीकरणांच्या दोन प्रणाली म्हणतात समतुल्य (समतुल्य ) , त्यांच्याकडे सोल्यूशन्सचा समान संच असल्यास (उदाहरणार्थ, एक उपाय).

हा विषय विद्यार्थ्यांमध्ये सर्वाधिक तिटकारा आहे. सर्वात वाईट, कदाचित, क्वालिफायर आहेत.

युक्ती अशी आहे की व्यस्त घटकाची संकल्पना (आणि मी फक्त मॅट्रिक्सबद्दल बोलत नाही) आपल्याला गुणाकाराच्या ऑपरेशनचा संदर्भ देते. अगदी शालेय अभ्यासक्रमातही, गुणाकार हे एक जटिल ऑपरेशन मानले जाते आणि मॅट्रिक्सचा गुणाकार हा एक स्वतंत्र विषय आहे, ज्यासाठी माझ्याकडे संपूर्ण परिच्छेद आणि व्हिडिओ धडा समर्पित आहे.

आज आपण मॅट्रिक्स गणनेच्या तपशीलात जाणार नाही. चला फक्त लक्षात ठेवूया: मॅट्रिक्स कसे नियुक्त केले जातात, ते कसे गुणाकार केले जातात आणि यावरून काय होते.

पुनरावलोकन: मॅट्रिक्स गुणाकार

सर्व प्रथम, नोटेशनवर सहमत होऊया. $\left[ m\times n \right]$ चे $A$ आकाराचे मॅट्रिक्स फक्त $m$ पंक्ती आणि $n$ स्तंभांसह संख्यांचे सारणी आहे:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) &... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) आणि ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(मॅट्रिक्स) \उजवे])_(n)\]

चुकून पंक्ती आणि स्तंभ मिसळणे टाळण्यासाठी (माझ्यावर विश्वास ठेवा, परीक्षेत तुम्ही एकाला दोन सह गोंधळात टाकू शकता, काही पंक्ती सोडा), फक्त चित्र पहा:

मॅट्रिक्स सेलसाठी निर्देशांक निर्धारित करणे

काय चाललय? जर तुम्ही मानक निर्देशांक प्रणाली $OXY$ वरच्या डाव्या कोपर्यात ठेवली आणि अक्षांना निर्देशित केले जेणेकरून ते संपूर्ण मॅट्रिक्स व्यापतील, तर या मॅट्रिक्सचा प्रत्येक सेल $\left(x;y \right)$ निर्देशांकांशी अनन्यपणे संबद्ध केला जाऊ शकतो. - हा पंक्ती क्रमांक आणि स्तंभ क्रमांक असेल.

समन्वय प्रणाली वरच्या डाव्या कोपर्यात का ठेवली जाते? होय, कारण तिथूनच आपण कोणतेही ग्रंथ वाचायला सुरुवात करतो. हे लक्षात ठेवणे खूप सोपे आहे.

$x$ अक्ष उजवीकडे नसून खालच्या दिशेने का निर्देशित केला जातो? पुन्हा, हे सोपे आहे: एक मानक समन्वय प्रणाली घ्या ($x$ अक्ष उजवीकडे जातो, $y$ अक्ष वर जातो) आणि त्यास फिरवा जेणेकरून ते मॅट्रिक्स व्यापेल. हे 90 अंश घड्याळाच्या दिशेने फिरते - आम्ही चित्रात परिणाम पाहतो.

सर्वसाधारणपणे, आम्ही मॅट्रिक्स घटकांचे निर्देशांक कसे ठरवायचे ते शोधून काढले आहे. आता गुणाकार पाहू.

व्याख्या. मॅट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ आणि $B=\left[ n\times k \right]$, जेव्हा पहिल्या मधील स्तंभांची संख्या दुसऱ्यामधील पंक्तींच्या संख्येशी जुळते, तेव्हा सुसंगत म्हणतात.

अगदी त्याच क्रमाने. कोणीही गोंधळून जाऊ शकतो आणि असे म्हणू शकतो की $A$ आणि $B$ हे क्रमबद्ध जोड तयार करतात $\left(A;B \right)$: जर ते या क्रमाने सुसंगत असतील, तर $B हे अजिबात आवश्यक नाही. $ आणि $A$ त्या. जोडी $\left(B;A \right)$ देखील सुसंगत आहे.

केवळ जुळलेल्या मॅट्रिक्सचा गुणाकार केला जाऊ शकतो.

व्याख्या. जुळलेल्या मॅट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$ आणि $B=\left[ n\times k \right]$ हे नवीन मॅट्रिक्स $C=\left[ m\times k \right आहे ]$ , ज्या घटकांचे $((c)_(ij))$ ची गणना सूत्रानुसार केली जाते:

\[(c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

दुसऱ्या शब्दांत: मॅट्रिक्स $C=A\cdot B$ चा घटक $((c)_(ij))$ मिळविण्यासाठी, तुम्हाला पहिल्या मॅट्रिक्सची $i$-पंक्ती, $j$ घेणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या मॅट्रिक्सचा -वा स्तंभ, आणि नंतर या पंक्ती आणि स्तंभातील घटक जोड्यांमध्ये गुणाकार करा. परिणाम जोडा.

होय, ही एक कठोर व्याख्या आहे. त्यातून लगेचच अनेक तथ्ये समोर येतात:

मॅट्रिक्स गुणाकार, सामान्यतः, नॉन-कम्युटेटिव्ह आहे: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
तथापि, गुणाकार सहयोगी आहे: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
आणि अगदी वितरणात्मकपणे: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
आणि पुन्हा एकदा वितरणात्मक: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

गुणाकाराच्या वितरकतेचे डाव्या आणि उजव्या बेरीज घटकासाठी स्वतंत्रपणे वर्णन करणे आवश्यक होते कारण गुणाकार ऑपरेशनच्या गैर-कम्युटेटिव्हिटीमुळे.

जर असे दिसून आले की $A\cdot B=B\cdot A$, अशा मॅट्रिक्सना कम्युटेटिव्ह म्हणतात.

तेथे एखाद्या गोष्टीने गुणाकार केलेल्या सर्व मॅट्रिक्समध्ये काही विशेष आहेत - ज्यांना, कोणत्याही मॅट्रिक्स $A$ ने गुणाकार केल्यावर, पुन्हा $A$ देतात:

व्याख्या. $A\cdot E=A$ किंवा $E\cdot A=A$ असल्यास $E$ मॅट्रिक्सला ओळख म्हणतात. स्क्वेअर मॅट्रिक्स $A$ च्या बाबतीत आपण लिहू शकतो:

मॅट्रिक्स समीकरणे सोडवताना ओळख मॅट्रिक्स हा वारंवार पाहुणा असतो. आणि सर्वसाधारणपणे, मॅट्रिक्सच्या जगात वारंवार पाहुणे. :)

आणि या $E$ मुळे, कोणीतरी पुढे लिहिल्या जाणार्‍या सर्व मूर्खपणासह आला.

व्यस्त मॅट्रिक्स म्हणजे काय

मॅट्रिक्स गुणाकार हे खूप श्रम-केंद्रित ऑपरेशन असल्यामुळे (तुम्हाला पंक्ती आणि स्तंभांचा गुच्छ गुणाकार करावा लागेल), व्यस्त मॅट्रिक्सची संकल्पना देखील सर्वात क्षुल्लक नाही. आणि काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे.

की व्याख्या

बरं, सत्य जाणून घेण्याची वेळ आली आहे.

व्याख्या. मॅट्रिक्स $B$ ला मॅट्रिक्स $A$ चा व्यस्त म्हणतात

व्यस्त मॅट्रिक्स $((A)^(-1))$ (पदवीसह गोंधळात टाकू नये!) द्वारे दर्शविले जाते, म्हणून व्याख्या खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिली जाऊ शकते:

असे दिसते की सर्वकाही अत्यंत सोपे आणि स्पष्ट आहे. परंतु या व्याख्येचे विश्लेषण करताना, अनेक प्रश्न त्वरित उद्भवतात:

व्यस्त मॅट्रिक्स नेहमी अस्तित्वात आहे का? आणि जर नेहमीच नसेल, तर ते कसे ठरवायचे: ते केव्हा अस्तित्वात आहे आणि केव्हा नाही?
आणि असे एक मॅट्रिक्स आहे असे कोणी म्हटले? जर काही प्रारंभिक मॅट्रिक्स $A$ साठी व्युत्क्रमांची संपूर्ण गर्दी असेल तर?
हे सर्व "उलटे" कसे दिसतात? आणि आपण त्यांची नेमकी गणना कशी करावी?

गणना अल्गोरिदमसाठी, आम्ही याबद्दल थोड्या वेळाने बोलू. पण बाकीच्या प्रश्नांची उत्तरे आम्ही आत्ताच देऊ. आपण त्यांना स्वतंत्र विधान-लेमाच्या रूपात तयार करू या.

मूलभूत गुणधर्म

मॅट्रिक्स $A$, तत्वतः, $((A)^(-1))$ त्याच्या अस्तित्वासाठी कसे असावे यापासून सुरुवात करूया. आता आपण हे सुनिश्चित करू की हे दोन्ही मॅट्रिक्स चौरस आणि समान आकाराचे असावेत: $\left[ n\times n \right]$.

लेमा १. मॅट्रिक्स $A$ आणि त्याचा व्यस्त $((A)^(-1))$ दिले. मग हे दोन्ही मॅट्रिक्स चौरस आहेत, आणि त्याच क्रमाने $n$.

पुरावा. हे सोपं आहे. मॅट्रिक्स $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. उत्पादन $A\cdot ((A)^(-1))=E$ व्याख्येनुसार अस्तित्त्वात असल्याने, $A$ आणि $((A)^(-1))$ हे दर्शविलेल्या क्रमाने सुसंगत आहेत:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( संरेखित करा)\]

हा मॅट्रिक्स गुणाकार अल्गोरिदमचा थेट परिणाम आहे: गुणांक $n$ आणि $a$ हे "ट्रान्झिट" आहेत आणि ते समान असले पाहिजेत.

त्याच वेळी, व्यस्त गुणाकार देखील परिभाषित केला आहे: $((A)^(-1))\cdot A=E$, म्हणून मॅट्रिक्स $((A)^(-1))$ आणि $A$ आहेत निर्दिष्ट क्रमाने देखील सुसंगत:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( संरेखित करा)\]

अशा प्रकारे, सामान्यता न गमावता, आम्ही असे गृहीत धरू शकतो की $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. तथापि, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ च्या व्याख्येनुसार, त्यामुळे मॅट्रिक्सचे आकार काटेकोरपणे जुळतात:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(संरेखित)\]

त्यामुळे असे दिसून आले की तीनही मॅट्रिक्स - $A$, $((A)^(-1))$ आणि $E$ - $\left[ n\times n \right]$ आकाराचे चौरस मॅट्रिक्स आहेत. लेमा सिद्ध आहे.

बरं, ते आधीच चांगले आहे. आपण पाहतो की फक्त चौरस मॅट्रिक्स उलट करता येणार नाहीत. आता आपण खात्री करू या की व्यस्त मॅट्रिक्स नेहमी सारखाच असतो.

लेमा २. मॅट्रिक्स $A$ आणि त्याचा व्यस्त $((A)^(-1))$ दिले. मग हे व्यस्त मॅट्रिक्स एकमेव आहे.

पुरावा. चला विरोधाभासाने जाऊ या: मॅट्रिक्स $A$ ला किमान दोन व्युत्क्रम असू द्या - $B$ आणि $C$. मग, व्याख्येनुसार, खालील समानता सत्य आहेत:

\[\begin(संरेखित) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(संरेखित)\]

Lemma 1 वरून आम्ही असा निष्कर्ष काढतो की सर्व चार मॅट्रिक्स - $A$, $B$, $C$ आणि $E$ - एकाच क्रमाचे वर्ग आहेत: $\left[ n\times n \right]$. म्हणून, उत्पादन परिभाषित केले आहे:

मॅट्रिक्स गुणाकार सहयोगी असल्यामुळे (परंतु कम्युटेटिव्ह नाही!), आपण लिहू शकतो:

\[\begin(संरेखित) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(संरेखित)\]

आम्हाला एकमेव संभाव्य पर्याय मिळाला: व्यस्त मॅट्रिक्सच्या दोन प्रती समान आहेत. लेमा सिद्ध आहे.

वरील युक्तिवाद सर्व वास्तविक संख्या $b\ne 0$ साठी व्यस्त घटकाच्या विशिष्टतेचा पुरावा जवळजवळ शब्दशः पुनरावृत्ती करतात. मॅट्रिक्सचे परिमाण विचारात घेणे ही एकमेव महत्त्वपूर्ण जोड आहे.

तथापि, प्रत्येक स्क्वेअर मॅट्रिक्स इन्व्हर्टेबल आहे की नाही याबद्दल आम्हाला अद्याप काहीही माहिती नाही. येथे निर्धारक आमच्या मदतीला येतो - हे सर्व स्क्वेअर मॅट्रिक्ससाठी मुख्य वैशिष्ट्य आहे.

लेमा ३. एक मॅट्रिक्स $A$ दिले. जर त्याचा व्यस्त मॅट्रिक्स $((A)^(-1))$ अस्तित्वात असेल, तर मूळ मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य असेल:

\[\left| A\right|\ne 0\]

पुरावा. आम्हाला आधीच माहित आहे की $A$ आणि $((A)^(-1))$ हे $\left[ n\times n \right]$ चे चौरस मॅट्रिक्स आहेत. म्हणून, त्या प्रत्येकासाठी आपण निर्धारकाची गणना करू शकतो: $\left| A\right|$ आणि $\left| ((A)^(-1)) \right|$. तथापि, उत्पादनाचा निर्धारक निर्धारकांच्या गुणाप्रमाणे असतो:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| एक \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| एक \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \योग्य|\]

परंतु व्याख्येनुसार, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, आणि $E$ चा निर्धारक नेहमी 1 असतो, त्यामुळे

\[\begin(संरेखित) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| एक \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(संरेखित)\]

यापैकी प्रत्येक संख्या शून्य नसली तरच दोन संख्यांचा गुणाकार एक असतो:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

तर असे दिसून आले की $\left| एक \right|\ne 0$. लेमा सिद्ध आहे.

खरं तर, ही आवश्यकता अगदी तार्किक आहे. आता आपण व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्यासाठी अल्गोरिदमचे विश्लेषण करू - आणि हे पूर्णपणे स्पष्ट होईल की, शून्य निर्धारकासह, तत्त्वतः कोणतेही व्यस्त मॅट्रिक्स अस्तित्वात का असू शकत नाहीत.

परंतु प्रथम, एक "सहायक" व्याख्या तयार करूया:

व्याख्या. एकवचन मॅट्रिक्स हे $\left[ n\times n \right]$ आकाराचे चौरस मॅट्रिक्स आहे ज्याचा निर्धारक शून्य आहे.

अशा प्रकारे, आपण असा दावा करू शकतो की प्रत्येक इन्व्हर्टेबल मॅट्रिक्स नॉन-एकवचनी आहे.

मॅट्रिक्सचा व्युत्क्रम कसा शोधायचा

आता आपण व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्यासाठी सार्वत्रिक अल्गोरिदमचा विचार करू. सर्वसाधारणपणे, दोन सामान्यतः स्वीकारले जाणारे अल्गोरिदम आहेत आणि आम्ही आज दुसरा विचार करू.

आता ज्याची चर्चा केली जाईल ते $\left[ 2\times 2 \right]$ आणि - अंशतः - आकार $\left[ 3\times 3 \right]$ च्या मॅट्रिक्ससाठी खूप प्रभावी आहे. पण आकार $\left[ 4\times 4 \right]$ पासून सुरू करून ते न वापरणे चांगले. का - आता तुम्हाला सर्व काही समजेल.

बीजगणित जोडणे

तयार करा. आता वेदना होईल. नाही, काळजी करू नका: स्कर्टमधील एक सुंदर परिचारिका, लेससह स्टॉकिंग्ज तुमच्याकडे येणार नाहीत आणि तुम्हाला नितंबात इंजेक्शन देणार नाहीत. सर्व काही अधिक विलक्षण आहे: बीजगणित जोडणी आणि महामहिम "युनियन मॅट्रिक्स" तुमच्याकडे येतात.

चला मुख्य गोष्टीपासून सुरुवात करूया. $A=\left[ n\times n \right]$ चे एक चौरस मॅट्रिक्स असू द्या, ज्याच्या घटकांना $((a)_(ij))$ म्हणतात. मग अशा प्रत्येक घटकासाठी आपण बीजगणितीय पूरक परिभाषित करू शकतो:

व्याख्या. मॅट्रिक्स $A=\left[ च्या $i$th पंक्ती आणि $j$th स्तंभामध्ये स्थित $((a)_(ij))$ या घटकास बीजगणितीय पूरक $((A)_(ij))$ n \times n \right]$ हे फॉर्मचे बांधकाम आहे

\[(A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

जेथे $M_(ij)^(*)$ हा मूळ $A$ मधून समान $i$th पंक्ती आणि $j$th स्तंभ हटवून मिळवलेल्या मॅट्रिक्सचा निर्धारक आहे.

पुन्हा. $\left(i;j \right)$ निर्देशांकांसह मॅट्रिक्स घटकासाठी बीजगणित पूरक $((A)_(ij))$ म्हणून दर्शविले जाते आणि योजनेनुसार गणना केली जाते:

प्रथम, आम्ही मूळ मॅट्रिक्समधून $i$-पंक्ती आणि $j$-th स्तंभ हटवतो. आम्हाला एक नवीन स्क्वेअर मॅट्रिक्स मिळतो आणि आम्ही त्याचा निर्धारक $M_(ij)^(*)$ म्हणून दर्शवतो.
मग आपण या निर्धारकास $((\left(-1 \right))^(i+j))$ ने गुणाकार करतो - सुरुवातीला ही अभिव्यक्ती मनाला भिडणारी वाटू शकते, परंतु थोडक्यात आपण फक्त समोरील चिन्ह शोधत आहोत. $M_(ij)^(*) $.
आम्ही मोजतो आणि विशिष्ट संख्या मिळवतो. त्या. बीजगणितीय जोड तंतोतंत एक संख्या आहे, आणि काही नवीन मॅट्रिक्स नाही, इ.

मॅट्रिक्स $M_(ij)^(*)$ ला स्वतः $((a)_(ij))$ या घटकाला अतिरिक्त मायनर म्हणतात. आणि या अर्थाने, बीजगणितीय पूरकाची वरील व्याख्या अधिक जटिल व्याख्येची एक विशेष बाब आहे - आम्ही निर्धारक बद्दलच्या धड्यात काय पाहिले.

महत्वाची नोंद. वास्तविक, "प्रौढ" गणितामध्ये, बीजगणितीय जोडणी खालीलप्रमाणे परिभाषित केली जातात:

आम्ही चौरस मॅट्रिक्समध्ये $k$ पंक्ती आणि $k$ स्तंभ घेतो. त्यांच्या छेदनबिंदूवर आपल्याला $\left[ k\times k \right]$ आकाराचे मॅट्रिक्स मिळते - त्याच्या निर्धारकास $k$ ऑर्डरचा मायनर म्हणतात आणि $((M)_(k))$ दर्शविले जाते.

मग आपण या "निवडलेल्या" $k$ पंक्ती आणि $k$ स्तंभ पार करतो. पुन्हा एकदा तुम्हाला स्क्वेअर मॅट्रिक्स मिळेल - त्याच्या निर्धारकाला अतिरिक्त मायनर म्हणतात आणि $M_(k)^(*)$ असे दर्शविले जाते.

$M_(k)^(*)$ चा $((\left(-1 \right))^(t))$ ने गुणाकार करा, जिथे $t$ आहे (आता लक्ष द्या!) सर्व निवडलेल्या पंक्तींच्या संख्येची बेरीज आणि स्तंभ हे बीजगणितीय जोड असेल.

तिसरी पायरी पहा: प्रत्यक्षात $2k$ अटींची रक्कम आहे! दुसरी गोष्ट अशी आहे की $k=1$ साठी आपल्याला फक्त 2 संज्ञा मिळतील - या $i+j$ समान असतील - $((a)_(ij))$ या घटकाचे "निर्देशांक" ज्यासाठी आपण आहोत बीजगणितीय पूरक शोधत आहे.

म्हणून आज आपण थोडी सोपी व्याख्या वापरत आहोत. परंतु जसे आपण नंतर पाहू, ते पुरेसे असेल. खालील बाबी जास्त महत्वाची आहे.

व्याख्या. स्क्वेअर मॅट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ चे संलग्न मॅट्रिक्स $S$ हे $\left[ n\times n \right]$ आकाराचे नवीन मॅट्रिक्स आहे, जे $A$ वरून मिळवले जाते. बीजगणितीय जोडण्यांद्वारे $((a)_(ij))$ बदलून $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) आणि ((A)_(12)) &... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) आणि ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \\right]\]

ही व्याख्या समजण्याच्या क्षणी उद्भवणारा पहिला विचार म्हणजे “किती मोजावे लागेल!” आराम करा: तुम्हाला मोजावे लागेल, परंतु इतके नाही. :)

बरं, हे सर्व खूप छान आहे, परंतु याची आवश्यकता का आहे? पण का.

मुख्य प्रमेय

थोडं मागे जाऊया. लक्षात ठेवा, Lemma 3 मध्ये असे नमूद केले होते की $A$ हे इनव्हर्टेबल मॅट्रिक्स नेहमीच एकवचन नसलेले असते (म्हणजे, त्याचा निर्धारक शून्य नसलेला असतो: $\left| A \right|\ne 0$).

तर, उलट देखील सत्य आहे: जर मॅट्रिक्स $A$ एकवचनी नसेल, तर ते नेहमी इन्व्हर्टेबल असते. आणि $((A)^(-1))$ साठी एक शोध योजना देखील आहे. हे पहा:

व्यस्त मॅट्रिक्स प्रमेय. एक चौरस मॅट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ देऊ, आणि त्याचा निर्धारक शून्य आहे: $\left| एक \right|\ne 0$. नंतर व्यस्त मॅट्रिक्स $((A)^(-1))$ अस्तित्वात आहे आणि सूत्रानुसार गणना केली जाते:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

आणि आता - सर्व काही समान आहे, परंतु सुवाच्य हस्ताक्षरात. व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक आहे:

निर्धारक $\left| ची गणना करा A \right|$ आणि ते शून्य नसल्याची खात्री करा.
युनियन मॅट्रिक्स $S$ तयार करा, म्हणजे 100500 बीजगणित जोडणी $((A)_(ij))$ मोजा आणि त्या जागी $((a)_(ij))$ ठेवा.
हे मॅट्रिक्स $S$ ट्रान्स्पोज करा आणि नंतर त्याला काही संख्येने गुणा $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

इतकंच! व्यस्त मॅट्रिक्स $((A)^(-1))$ आढळले आहे. चला उदाहरणे पाहू:

\[\left[ \begin(matrix) 3 आणि 1 \\ 5 आणि 2 \\\end(मॅट्रिक्स) \right]\]

उपाय. चला उलटता तपासूया. चला निर्धारकाची गणना करूया:

\[\left| अ\उजवे|=\डावे| \begin(मॅट्रिक्स) 3 आणि 1 \\ 5 आणि 2 \\\end(मॅट्रिक्स) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

निर्धारक शून्यापेक्षा भिन्न आहे. याचा अर्थ मॅट्रिक्स इन्व्हर्टेबल आहे. चला युनियन मॅट्रिक्स तयार करूया:

बीजगणितीय जोडांची गणना करूया:

\[\begin(संरेखित) आणि ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(संरेखित)\]

कृपया लक्षात ठेवा: निर्धारक |2|, |5|, |1| आणि |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ आकाराच्या मॅट्रिक्सचे निर्धारक आहेत, आणि मॉड्यूल नाहीत. त्या. निर्धारकांमध्ये नकारात्मक संख्या असल्यास, "वजा" काढण्याची आवश्यकता नाही.

एकूण, आमचे युनियन मॅट्रिक्स असे दिसते:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (अॅरे)(*(35)(r)) 2 आणि -1 \\ -5 आणि 3 \\\end(अॅरे) \right]\]

ठीक आहे आता सर्व संपले आहे. समस्या सुटली आहे.

उत्तर द्या. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

कार्य. व्यस्त मॅट्रिक्स शोधा:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ end(array) \right] \]

उपाय. आम्ही निर्धारकाची पुन्हा गणना करतो:

\[\begin(संरेखित) आणि \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix) ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(संरेखित)\]

निर्धारक शून्य आहे - मॅट्रिक्स इन्व्हर्टेबल आहे. पण आता हे खरोखर कठीण होणार आहे: आम्हाला 9 (नऊ, मदरफकर!) बीजगणित जोडणे आवश्यक आहे. आणि त्या प्रत्येकामध्ये निर्धारक $\left[ 2\times 2 \right]$ असेल. उड्डाण केले:

\[\begin(मॅट्रिक्स) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33)) =((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(मॅट्रिक्स) \right|=2; \\ \end(मॅट्रिक्स)\]

थोडक्यात, युनियन मॅट्रिक्स असे दिसेल:

म्हणून, व्यस्त मॅट्रिक्स असेल:

\[(A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 आणि 1 आणि 2 \\\end(मॅट्रिक्स) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 आणि -1 आणि 3 \\ 1 आणि 1 आणि -1 \ \2 आणि 1 आणि -2 \\\एंड(अॅरे) \right]\]

बस एवढेच. येथे उत्तर आहे.

उत्तर द्या. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \ right ]$

जसे आपण पाहू शकता, प्रत्येक उदाहरणाच्या शेवटी आम्ही एक तपासणी केली. या संदर्भात, एक महत्त्वाची टीपः

तपासण्यात आळशी होऊ नका. सापडलेल्या व्यस्त मॅट्रिक्सने मूळ मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा - तुम्हाला $E$ मिळाले पाहिजे.

पुढील गणनेत त्रुटी शोधण्यापेक्षा ही तपासणी करणे खूप सोपे आणि जलद आहे, उदाहरणार्थ, तुम्ही मॅट्रिक्स समीकरण सोडवत आहात.

पर्यायी मार्ग

मी म्हटल्याप्रमाणे, व्यस्त मॅट्रिक्स प्रमेय $\left[ 2\times 2 \right]$ आणि $\left[ 3\times 3 \right]$ (नंतरच्या बाबतीत, ते इतके "उत्तम" नाही आहे. ), परंतु मोठ्या मॅट्रिक्ससाठी दुःख सुरू होते.

पण काळजी करू नका: एक पर्यायी अल्गोरिदम आहे ज्याच्या मदतीने तुम्ही $\left[ 10\times 10 \right]$ साठी देखील व्युत्क्रम शोधू शकता. परंतु, जसे अनेकदा घडते, या अल्गोरिदमचा विचार करण्यासाठी आपल्याला थोडा सैद्धांतिक परिचय आवश्यक आहे.

प्राथमिक परिवर्तने

सर्व संभाव्य मॅट्रिक्स परिवर्तनांमध्ये, अनेक विशेष आहेत - त्यांना प्राथमिक म्हणतात. अशी तीन परिवर्तने आहेत:

गुणाकार. तुम्ही $i$th पंक्ती (स्तंभ) घेऊ शकता आणि त्यास कोणत्याही संख्येने गुणाकार करू शकता $k\ne 0$;
या व्यतिरिक्त. $i$-th पंक्ती (स्तंभ) मध्ये इतर कोणत्याही $j$-th पंक्ती (स्तंभ) मध्ये जोडा, कोणत्याही संख्येने गुणाकार $k\ne 0$ (अर्थात तुम्ही $k=0$ करू शकता, परंतु काय आहे मुद्दा? काहीही बदलणार नाही).
पुनर्रचना. $i$th आणि $j$th पंक्ती (स्तंभ) घ्या आणि ठिकाणे बदला.

या परिवर्तनांना प्राथमिक का म्हटले जाते (मोठ्या मॅट्रिक्ससाठी ते इतके प्राथमिक दिसत नाहीत) आणि त्यापैकी फक्त तीनच का आहेत - हे प्रश्न आजच्या धड्याच्या व्याप्तीच्या बाहेर आहेत. म्हणून, आम्ही तपशीलात जाणार नाही.

आणखी एक गोष्ट महत्त्वाची आहे: आपल्याला या सर्व विकृती संलग्न मॅट्रिक्सवर कराव्या लागतील. होय, होय: तुम्ही बरोबर ऐकले. आता आणखी एक व्याख्या असेल - आजच्या धड्यातील शेवटची.

संलग्न मॅट्रिक्स

निश्चितच शाळेत तुम्ही अॅडिशन्स पद्धती वापरून समीकरणांची प्रणाली सोडवली. बरं, तिथे, एका ओळीतून दुसरी वजा करा, काही ओळ एका संख्येने गुणा - इतकेच.

तर: आता सर्व काही समान असेल, परंतु "प्रौढ" मार्गाने. तयार?

व्याख्या. मॅट्रिक्स $A=\left[ n\times n \right]$ आणि समान आकाराचे $E$ एक ओळख मॅट्रिक्स $n$ देऊ द्या. नंतर संलग्न मॅट्रिक्स $\left[ A\left| ई\ बरोबर. \right]$ हे $\left[ n\times 2n \right]$ आकाराचे नवीन मॅट्रिक्स आहे जे यासारखे दिसते:

\[\left[ A\left| ई\ बरोबर. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) आणि ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\(a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(अॅरे) \right]\]

थोडक्यात, आम्ही मॅट्रिक्स $A$ घेतो, उजवीकडे आम्ही त्यास आवश्यक आकाराचे ओळख मॅट्रिक्स $E$ नियुक्त करतो, आम्ही त्यांना सौंदर्यासाठी उभ्या पट्टीने वेगळे करतो - येथे तुमच्याकडे संलग्न आहे. :)

झेल काय आहे? येथे काय आहे:

प्रमेय. मॅट्रिक्स $A$ ला इन्व्हर्टेबल असू द्या. संलग्न मॅट्रिक्स $\left[ A\left| विचारात घ्या ई\ बरोबर. \right]$. वापरत असल्यास प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरणे$\left[ E\left| फॉर्मवर आणा B\बरोबर. \right]$, म्हणजे उजवीकडील $A$ मॅट्रिक्स $E$ मधून मिळवण्यासाठी पंक्तींचा गुणाकार, वजाबाकी आणि पुनर्रचना करून, नंतर डावीकडे मिळवलेले मॅट्रिक्स $B$ हे $A$ चा व्यस्त आहे:

\[\left[ A\left| ई\ बरोबर. \right]\to\left[ E\left| B\बरोबर. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

हे इतके सोपे आहे! थोडक्यात, व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्यासाठी अल्गोरिदम असे दिसते:

संलग्न मॅट्रिक्स $\left[ A\left| लिहा ई\ बरोबर. \right]$;
$A$ ऐवजी $E$ दिसेपर्यंत प्राथमिक स्ट्रिंग रूपांतरणे करा;
नक्कीच, डावीकडे काहीतरी देखील दिसेल - एक विशिष्ट मॅट्रिक्स $B$. हे उलट होईल;
नफा! :)

अर्थात, हे पूर्ण करण्यापेक्षा खूप सोपे आहे. तर चला काही उदाहरणे पाहू: $\left[ 3\times 3 \right]$ आणि $\left[ 4\times 4 \right]$ साठी.

कार्य. व्यस्त मॅट्रिक्स शोधा:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 आणि 5 आणि 1 \\ 3 आणि 2 आणि 1 \\ 6 आणि -2 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\ ]

उपाय. आम्ही संलग्न मॅट्रिक्स तयार करतो:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 5 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 3 आणि 2 आणि 1 आणि 0 आणि 1 आणि 0 \\ 6 आणि -2 आणि 1 आणि 0 & 0 आणि 1 \\\एंड(अॅरे) \right]\]

मूळ मॅट्रिक्सचा शेवटचा स्तंभ एकाने भरलेला असल्याने, बाकीच्यांमधून पहिली पंक्ती वजा करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 5 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 3 आणि 2 आणि 1 आणि 0 आणि 1 आणि 0 \\ 6 आणि - 2 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to\left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 5 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 2 आणि -3 आणि 0 आणि -1 आणि 1 आणि 0 \\ 5 आणि -7 आणि 0 आणि -1 आणि 0 & 1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

पहिल्या ओळीशिवाय आणखी एकके नाहीत. परंतु आम्ही त्यास स्पर्श करत नाही, अन्यथा नवीन काढलेली युनिट्स तिसऱ्या स्तंभात "गुणाकार" करण्यास सुरवात करतील.

परंतु आपण शेवटच्या ओळीतून दोनदा वजा करू शकतो - आपल्याला खालच्या डाव्या कोपर्यात एक मिळेल:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 5 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 2 आणि -3 आणि 0 आणि -1 आणि 1 आणि 0 \\ 5 & -7 आणि 0 आणि -1 आणि 0 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\begin(matrix) \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\\\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 5 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 2 आणि -3 आणि 0 आणि -1 आणि 1 आणि 0 \\ 1 आणि -1 आणि 0 आणि 1 आणि -2 & 1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

आता आपण पहिल्या मधून शेवटची पंक्ती आणि दुसऱ्या मधून दोनदा वजा करू शकतो - अशा प्रकारे आपण पहिला स्तंभ “शून्य” करतो:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 5 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 2 आणि -3 आणि 0 आणि -1 आणि 1 आणि 0 \\ 1 & -1 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \\uparrow \\\end(matrix)\\\ & \ डावीकडे[ \begin(अरे)(rrr|rrr) 0 आणि 6 आणि 1 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\ 0 आणि -1 आणि 0 आणि -3 आणि 5 आणि -2 \\ 1 आणि -1 आणि 0 & 1 & -2 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

दुसरी ओळ −1 ने गुणा, आणि नंतर ती पहिल्यापासून 6 वेळा वजा करा आणि शेवटच्या ओळीत 1 वेळ जोडा:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 आणि 6 आणि 1 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\ 0 आणि -1 आणि 0 आणि -3 आणि 5 आणि -2 \ \ 1 आणि -1 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\begin(matrix) \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\end(मॅट्रिक्स)\ ते \\ & \\ ते \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 आणि 6 आणि 1 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\ 0 आणि 1 आणि 0 & 3 आणि -5 आणि 2 \\ 1 आणि -1 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (मॅट्रिक्स)\ ते \\ & \\ ते \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 आणि 0 आणि 1 आणि -18 आणि 32 आणि -13 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 3 आणि -5 आणि 2 \\ 1 आणि 0 आणि 0 आणि 4 आणि -7 आणि 3 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

फक्त 1 आणि 3 ओळी स्वॅप करणे बाकी आहे:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 आणि 0 आणि 0 आणि 4 आणि -7 आणि 3 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 3 आणि -5 आणि 2 \\ 0 आणि 0 आणि 1 आणि - 18 आणि 32 आणि -13 \\\एंड(अॅरे) \right]\]

तयार! उजवीकडे आवश्यक व्यस्त मॅट्रिक्स आहे.

उत्तर द्या. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \\right ]$

कार्य. व्यस्त मॅट्रिक्स शोधा:

\[\left[ \\begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\एंड(मॅट्रिक्स) \योग्य]\]

उपाय. आम्ही पुन्हा संलग्नक तयार करतो:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि 4 आणि 2 आणि 3 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 1 आणि -2 आणि 1 आणि -2 आणि 0 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \ \ 1 आणि -1 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि 0 \\ 0 आणि -10 आणि -2 आणि -5 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\]

थोडं रडू या, आता किती मोजायचं आहे याबद्दल दु:खी होऊया... आणि मोजायला सुरुवात करूया. प्रथम, पंक्ती 2 आणि 3 मधून पंक्ती 1 वजा करून पहिला स्तंभ "शून्य बाहेर" करूया:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि 4 आणि 2 आणि 3 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 1 आणि -2 आणि 1 आणि -2 आणि 0 & 1 आणि 0 आणि 0 \\ 1 आणि -1 आणि 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि 0 \\ 0 आणि -10 आणि -2 आणि -5 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि 4 आणि 2 आणि 3 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि -6 आणि -1 आणि -5 आणि -1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि -5 आणि -1 आणि -2 आणि -1 & 0 आणि 1 आणि 0 \\ 0 आणि -10 आणि -2 आणि -5 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

2-4 ओळींमध्ये आपल्याला बरेच “तोटे” दिसतात. सर्व तीन पंक्तींचा −1 ने गुणाकार करा, आणि नंतर उर्वरित पंक्ती 3 वजा करून तिसरा स्तंभ बर्न करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि 4 आणि 2 आणि 3 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि -6 आणि -1 आणि -5 आणि - 1 आणि 1 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि -5 आणि -1 आणि -2 आणि -1 आणि 0 आणि 1 आणि 0 \\ 0 आणि -10 आणि -2 आणि -5 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 \\ \end(अॅरे) \right]\begin(matrix) \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(मॅट्रिक्स)\\ ते \\ & \ते \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि 4 आणि 2 आणि 3 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 6 आणि 1 & 5 आणि 1 आणि -1 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 5 आणि 1 आणि 2 आणि 1 आणि 0 आणि -1 आणि 0 \\ 0 आणि 10 आणि 2 आणि 5 आणि 0 आणि 0 आणि 0 आणि -1 \\ \end (अॅरे) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 आणि -6 आणि 0 आणि -1 आणि -1 आणि 0 आणि 2 आणि 0 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 3 आणि 0 आणि -1 आणि 1 आणि 0 \\ 0 आणि 5 आणि 1 आणि 2 & 1 आणि 0 आणि -1 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

आता मूळ मॅट्रिक्सचा शेवटचा स्तंभ "फ्राय" करण्याची वेळ आली आहे: उर्वरित ओळ 4 वजा करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि -6 आणि 0 आणि -1 आणि -1 आणि 0 आणि 2 आणि 0 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 3 आणि 0 & -1 आणि 1 आणि 0 \\ 0 आणि 5 आणि 1 आणि 2 आणि 1 आणि 0 आणि -1 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\\end(अॅरे) ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि -6 आणि 0 आणि 0 आणि -3 आणि 0 आणि 4 आणि -1 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 6 आणि -1 आणि -5 आणि 3 \\ 0 आणि 5 आणि 1 आणि 0 आणि 5 आणि 0 & -5 आणि 2 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

अंतिम थ्रो: ओळी 1 आणि 3 मधून ओळ 2 वजा करून दुसरा स्तंभ “बर्न आउट” करा:

\[\begin(संरेखित) आणि \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 आणि -6 आणि 0 आणि 0 आणि -3 आणि 0 आणि 4 आणि -1 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 6 & -1 आणि -5 आणि 3 \\ 0 आणि 5 आणि 1 आणि 0 आणि 5 आणि 0 आणि -5 आणि 2 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 आणि 0 आणि 0 आणि 33 आणि -6 आणि -26 आणि -17 \\ 0 आणि 1 आणि 0 आणि 0 आणि 6 आणि -1 आणि -5 आणि 3 \\ 0 आणि 0 आणि 1 आणि 0 आणि -25 आणि 5 & 20 आणि -13 \\ 0 आणि 0 आणि 0 आणि 1 आणि -2 आणि 0 आणि 2 आणि -1 \\\end(अॅरे) \right] \\ \end(संरेखित)\]

आणि पुन्हा ओळख मॅट्रिक्स डावीकडे आहे, याचा अर्थ उलट उजवीकडे आहे. :)

उत्तर द्या. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(मॅट्रिक्स) \right]$

ठीक आहे आता सर्व संपले आहे. स्वतः तपासा - मी खराब आहे. :)

जर $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ ही स्थिती समाधानी असेल तर $A^(-1)$ मॅट्रिक्सला स्क्वेअर मॅट्रिक्स $A$ चा व्युत्क्रम म्हणतात, जेथे $E $ हे ओळख मॅट्रिक्स आहे, ज्याचा क्रम मॅट्रिक्स $A$ च्या क्रमासारखा आहे.

नॉन-एकवचनी मॅट्रिक्स एक मॅट्रिक्स आहे ज्याचा निर्धारक शून्याच्या समान नाही. त्यानुसार, एकवचन मॅट्रिक्स म्हणजे ज्याचा निर्धारक शून्य असतो.

व्युत्क्रम मॅट्रिक्स $A^(-1)$ अस्तित्वात आहे जर आणि फक्त जर मॅट्रिक्स $A$ गैर-एकवचनी असेल. जर व्यस्त मॅट्रिक्स $A^(-1)$ अस्तित्वात असेल, तर ते अद्वितीय आहे.

मॅट्रिक्सचे व्युत्क्रम शोधण्याचे अनेक मार्ग आहेत आणि आपण त्यापैकी दोन पाहू. हे पृष्ठ संलग्न मॅट्रिक्स पद्धतीची चर्चा करेल, जी बहुतेक उच्च गणित अभ्यासक्रमांमध्ये मानक मानली जाते. व्यस्त मॅट्रिक्स (प्राथमिक परिवर्तनाची पद्धत) शोधण्याची दुसरी पद्धत, ज्यामध्ये गॉस पद्धत किंवा गॉस-जॉर्डन पद्धत वापरणे समाविष्ट आहे, दुसऱ्या भागात चर्चा केली आहे.

संलग्न मॅट्रिक्स पद्धत

मॅट्रिक्स $A_(n\times n)$ देऊ द्या. व्यस्त मॅट्रिक्स $A^(-1)$ शोधण्यासाठी, तीन पायऱ्या आवश्यक आहेत:

$A$ मॅट्रिक्सचा निर्धारक शोधा आणि खात्री करा की $\Delta A\neq 0$, म्हणजे. ते मॅट्रिक्स A नॉन-एकवचनी आहे.
मॅट्रिक्स $A$ च्या प्रत्येक घटकाचे $A_(ij)$ $A_(ij)$ पूरक तयार करा आणि मॅट्रिक्स $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ लिहा. पूरक
$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ हे सूत्र लक्षात घेऊन व्यस्त मॅट्रिक्स लिहा.

मॅट्रिक्स $(A^(*))^T$ ला अनेकदा मॅट्रिक्स $A$ ला संलग्न (परस्पर, संबद्ध) म्हटले जाते.

जर समाधान स्वहस्ते केले असेल, तर पहिली पद्धत केवळ तुलनेने लहान ऑर्डरच्या मॅट्रिक्ससाठी चांगली आहे: दुसरी (), तिसरी (), चौथी (). उच्च ऑर्डर मॅट्रिक्सचा व्यस्त शोधण्यासाठी, इतर पद्धती वापरल्या जातात. उदाहरणार्थ, गॉसियन पद्धत, ज्याची चर्चा दुसऱ्या भागात केली आहे.

उदाहरण क्रमांक १

मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 आणि 58 &4 & 0 \\ 3 आणि - 1 चा व्यस्त शोधा & -9 आणि 0 \end(अॅरे) \right)$.

चौथ्या स्तंभातील सर्व घटक शून्याच्या समान असल्याने, $\Delta A=0$ (म्हणजे मॅट्रिक्स $A$ एकवचन आहे). $\Delta A=0$ पासून, मॅट्रिक्स $A$ मध्ये कोणतेही व्यस्त मॅट्रिक्स नाही.

उत्तर द्या: मॅट्रिक्स $A^(-1)$ अस्तित्वात नाही.

उदाहरण क्रमांक २

मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cc) -5 आणि 7 \\ 9 आणि 8 \end(अॅरे)\right)$ चा व्यस्त शोधा. तपासणी करा.

आम्ही संलग्न मॅट्रिक्स पद्धत वापरतो. प्रथम, दिलेल्या मॅट्रिक्स $A$ चा निर्धारक शोधूया:

$$ \Delta A=\left| \begin(अॅरे) (cc) -5 आणि 7\\ 9 आणि 8 \end(अॅरे)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ असल्याने, व्यस्त मॅट्रिक्स अस्तित्वात आहे, म्हणून आपण उपाय चालू ठेवू. बीजगणितीय पूरक शोधणे

\begin(संरेखित) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(संरेखित)

आम्ही बीजगणितीय जोडांचे मॅट्रिक्स तयार करतो: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

आम्ही परिणामी मॅट्रिक्स हस्तांतरित करतो: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the परिणामी मॅट्रिक्सला सहसा मॅट्रिक्स $A$ ला संलग्न किंवा संलग्न मॅट्रिक्स म्हणतात. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ हे सूत्र वापरून, आमच्याकडे आहे:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

तर, व्यस्त मॅट्रिक्स आढळले: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 आणि 5/103 \end(अॅरे )\योग्य) $. निकालाचे सत्य तपासण्यासाठी, समानतेपैकी एकाचे सत्य तपासणे पुरेसे आहे: $A^(-1)\cdot A=E$ किंवा $A\cdot A^(-1)=E$. चला समानता तपासूया $A^(-1)\cdot A=E$. अपूर्णांकांसह कमी काम करण्यासाठी, आम्ही मॅट्रिक्स $A^(-1)$ ला $\left(\begin(array) (cc) -8/103 आणि 7/103\\ 9/103 या स्वरूपात बदलू. & 5/103 \ end(array)\right)$, आणि $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 या स्वरूपात -5 \end(अॅरे)\उजवे)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( अॅरे)\उजवे)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 आणि 7 \\ 9 आणि 8 \end(अॅरे)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end(array) )\right) =E $$

उत्तर द्या: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

उदाहरण क्रमांक 3

मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 आणि 7 आणि 3 \\ -4 आणि 9 आणि 4 \\ 0 आणि 3 आणि 2\end(अॅरे) \right)$ साठी व्यस्त मॅट्रिक्स शोधा. . तपासणी करा.

चला मॅट्रिक्स $A$ च्या निर्धारकाची गणना करून सुरुवात करूया. तर, मॅट्रिक्स $A$ चा निर्धारक आहे:

$$ \Delta A=\left| \begin(अॅरे) (ccc) 1 आणि 7 आणि 3 \\ -4 आणि 9 आणि 4 \\ 0 आणि 3 आणि 2\ end(अॅरे) \right| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ असल्याने, उलट मॅट्रिक्स अस्तित्त्वात आहे, म्हणून आपण उपाय चालू ठेवू. दिलेल्या मॅट्रिक्सच्या प्रत्येक घटकाचे बीजगणितीय पूरक आढळतात:

आम्ही बीजगणितीय जोडांचे मॅट्रिक्स तयार करतो आणि त्याचे स्थानांतर करतो:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) . $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ हे सूत्र वापरून, आम्हाला मिळते:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 आणि 37\end(अॅरे) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 आणि -5/26 आणि 1/26 \\ 4/13 आणि 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 आणि -3/26 आणि 37/26 \end(अॅरे) \उजवे) $$

तर $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 आणि 37/26 \end(अॅरे) \right)$. निकालाचे सत्य तपासण्यासाठी, समानतेपैकी एकाचे सत्य तपासणे पुरेसे आहे: $A^(-1)\cdot A=E$ किंवा $A\cdot A^(-1)=E$. चला समानता तपासूया $A\cdot A^(-1)=E$. अपूर्णांकांसह कमी काम करण्यासाठी, आम्ही $A^(-1)$ ला $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 आणि 1/26 \ फॉर्ममध्ये बदलू नका. \ 4/13 आणि 1/13 आणि -8/13 \\ -6/13 & -3/26 आणि 37/26 \end(अॅरे) \right)$, आणि $\frac(1)(26) स्वरूपात )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 आणि 7 आणि 3 \\ -4 आणि 9 आणि 4\\ 0 आणि 3 आणि 2\ एंड(अॅरे) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 आणि -5 आणि 1 \\ 8 आणि 2 आणि -16 \\ -12 आणि -3 आणि 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 आणि 0 आणि 0 \\ 0 आणि 26 आणि 0 \\ 0 आणि 0 आणि 26\ end (अ‍ॅरे) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

चेक यशस्वी झाला, व्यस्त मॅट्रिक्स $A^(-1)$ योग्यरित्या आढळले.

उत्तर द्या: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 आणि -5/26 आणि 1/26 \\ 4/13 आणि 1/13 आणि -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 आणि 37/26 \end(अॅरे) \right)$.

उदाहरण क्रमांक 4

मॅट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 आणि -5 आणि 8 आणि 4\\ 9 आणि 7 आणि 5 आणि 2 \\ 7 आणि 5 आणि 3 आणि 7\\ -4 चा मॅट्रिक्स व्यस्त शोधा & 8 & -8 & -3 \end(अॅरे) \right)$.

चौथ्या क्रमाच्या मॅट्रिक्ससाठी, बीजगणितीय जोडणी वापरून व्यस्त मॅट्रिक्स शोधणे काहीसे कठीण आहे. तथापि, अशी उदाहरणे चाचणी पेपरमध्ये आढळतात.

मॅट्रिक्सचा व्यस्त शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम मॅट्रिक्स $A$ च्या निर्धारकाची गणना करणे आवश्यक आहे. या परिस्थितीत हे करण्याचा सर्वोत्तम मार्ग म्हणजे एका ओळीत (स्तंभ) निर्धारक विघटित करणे. आम्ही कोणतीही पंक्ती किंवा स्तंभ निवडतो आणि निवडलेल्या पंक्ती किंवा स्तंभातील प्रत्येक घटकाचे बीजगणितीय पूरक शोधतो.

उदाहरणार्थ, पहिल्या ओळीसाठी आम्हाला मिळते:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \ end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 आणि 5 आणि 2\\ 7 आणि 3 आणि 7 \\ -4 आणि -8 आणि -3 \end(अॅरे)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 आणि 7 आणि 2\\ 7 आणि 5 आणि 7\\ -4 आणि 8 आणि -3 \end(अॅरे)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 आणि 7 आणि 5\\ 7 आणि 5 आणि 3\\ -4 आणि 8 आणि -8 \end(अॅरे)\right|=-112. $$

मॅट्रिक्स $A$ च्या निर्धारकाची गणना खालील सूत्र वापरून केली जाते:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(संरेखित) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(संरेखित) $$

बीजगणितीय पूरकांचे मॅट्रिक्स: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(अॅरे)\right)$.

संलग्न मॅट्रिक्स: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 आणि -463\\ -112 आणि 4 आणि 36 आणि -96\end(अॅरे)\right)$.

व्यस्त मॅट्रिक्स:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 आणि 87 आणि 83 आणि -463\\ -112 आणि 4 आणि 36 आणि -96 \end(अॅरे) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 आणि -77/100 & -93/100 आणि 473/100 \\ -3 आणि 1/2 आणि 1/2 आणि -5/2 \\ -134/25 आणि 87/100 आणि 83/100 आणि -463/100 \\ -28/ 25 आणि 1/25 आणि 9/25 आणि -24/25 \end(अॅरे) \right) $$

चेक, इच्छित असल्यास, मागील उदाहरणांप्रमाणेच केले जाऊ शकते.

उत्तर द्या: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 आणि 87/100 आणि 83/100 आणि -463/100 \\ -28/25 आणि 1/25 आणि 9/25 आणि -24/25 \end(अॅरे) \उजवे) $.

दुसऱ्या भागात, आपण व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्याचा आणखी एक मार्ग विचारात घेऊ, ज्यामध्ये गॉसियन पद्धत किंवा गॉस-जॉर्डन पद्धतीच्या परिवर्तनांचा वापर समाविष्ट आहे.

व्यस्त मॅट्रिक्स शोधण्याच्या पद्धती. चौरस मॅट्रिक्सचा विचार करा

Δ = det A दर्शवू.

चौरस मॅट्रिक्स A म्हणतात नॉन-डिजनरेट,किंवा विशेष नाही, जर त्याचा निर्धारक शून्य असेल तर, आणि अध:पतन,किंवा विशेष, तरΔ = 0.

चौरस मॅट्रिक्स B समान क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्स A साठी आहे जर त्यांचे उत्पादन A B = B A = E असेल, जेथे E हे मॅट्रिक्स A आणि B सारख्याच क्रमाचे ओळख मॅट्रिक्स आहे.

प्रमेय . मॅट्रिक्स A मध्ये व्यस्त मॅट्रिक्स असण्यासाठी, त्याचा निर्धारक शून्यापेक्षा वेगळा असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे.

मॅट्रिक्स A चा व्यस्त मॅट्रिक्स, A द्वारे दर्शविला जातो- 1, तर B = A - 1 आणि सूत्रानुसार गणना केली जाते

, (1)

जिथे A i j हे मॅट्रिक्स A चे a i j घटकांचे बीजगणितीय पूरक आहेत.

उच्च-ऑर्डर मॅट्रिक्ससाठी फॉर्म्युला (1) वापरून A -1 ची गणना करणे खूप श्रम-केंद्रित आहे, म्हणून व्यवहारात प्राथमिक परिवर्तनाची पद्धत (ET) वापरून A -1 शोधणे सोयीचे आहे. ओळख मॅट्रिक्समध्ये फक्त स्तंभ (किंवा फक्त पंक्ती) लागू करून कोणतेही एकवचन नसलेले मॅट्रिक्स A ओळख मॅट्रिक्स E मध्ये कमी केले जाऊ शकते. जर मॅट्रिक्स A वर परिपूर्ण परिवर्तने ओळख मॅट्रिक्स E वर त्याच क्रमाने लागू केली गेली तर, परिणाम एक व्यस्त मॅट्रिक्स असेल. एकाच वेळी मॅट्रिक्स A आणि E वर EP करणे सोयीचे आहे, दोन्ही मॅट्रिक्स एका ओळीत शेजारी लिहिणे. आपण पुन्हा एकदा लक्षात घेऊया की मॅट्रिक्सचे प्रमाणिक स्वरूप शोधताना, ते शोधण्यासाठी, आपण पंक्ती आणि स्तंभांचे परिवर्तन वापरू शकता. जर तुम्हाला मॅट्रिक्सचा व्युत्क्रम शोधायचा असेल, तर तुम्ही परिवर्तन प्रक्रियेदरम्यान फक्त पंक्ती किंवा फक्त स्तंभ वापरावे.

उदाहरण १. मॅट्रिक्ससाठी A -1 शोधा.

उपाय.प्रथम आपण मॅट्रिक्स A चा निर्धारक शोधतो
याचा अर्थ असा की व्यस्त मॅट्रिक्स अस्तित्वात आहे आणि आपण ते सूत्र वापरून शोधू शकतो: , जेथे A i j (i,j=1,2,3) ही मूळ मॅट्रिक्सच्या a i j घटकांची बीजगणितीय जोडणी आहेत.

कुठे .

उदाहरण २. प्राथमिक परिवर्तनाची पद्धत वापरून, मॅट्रिक्ससाठी A -1 शोधा: A = .

उपाय.आम्ही मूळ मॅट्रिक्सला उजवीकडे त्याच क्रमाचे ओळख मॅट्रिक्स नियुक्त करतो: . स्तंभांच्या प्राथमिक परिवर्तनांचा वापर करून, आम्ही डाव्या "अर्धा" ओळखीमध्ये कमी करू, त्याच वेळी उजव्या मॅट्रिक्सवर समान परिवर्तन करू.
हे करण्यासाठी, पहिला आणि दुसरा स्तंभ स्वॅप करा: ~ . तिसर्‍या स्तंभात आम्ही प्रथम जोडतो आणि दुसर्‍यामध्ये - प्रथम, -2 ने गुणाकार करतो: . पहिल्या स्तंभातून आम्ही दुसरा दुप्पट वजा करतो, आणि तिसऱ्यापासून - दुसरा 6 ने गुणाकार करतो; . पहिल्या आणि दुसऱ्यामध्ये तिसरा स्तंभ जोडूया: . शेवटचा स्तंभ -1 ने गुणा: . उभ्या पट्टीच्या उजवीकडे मिळणारा चौरस मॅट्रिक्स हा दिलेल्या मॅट्रिक्स A चा व्यस्त मॅट्रिक्स आहे. त्यामुळे,
.