वर्तुळाचे समीकरण. वर्तुळ आणि रेषा यांचे समीकरण बिंदूंमधून जाणार्‍या वर्तुळाचे समीकरण तयार करा

विमानावरील रेषेचे समीकरण

प्रथम द्विमितीय समन्वय प्रणालीतील रेषेच्या समीकरणाची संकल्पना मांडू. कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये एक अनियंत्रित रेषा $L$ तयार करू द्या (चित्र 1).

आकृती 1. समन्वय प्रणालीमध्ये अनियंत्रित रेखा

व्याख्या १

$x$ आणि $y$ या दोन चल असलेल्या समीकरणाला $L$ रेषेचे समीकरण असे म्हणतात जर हे समीकरण $L$ रेषेशी संबंधित असलेल्या कोणत्याही बिंदूच्या समन्वयाने समाधानी असेल आणि $L रेषेशी संबंधित नसलेल्या कोणत्याही बिंदूने समाधानी नसेल. .$

वर्तुळाचे समीकरण

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $xOy$ मधील वर्तुळाचे समीकरण काढू. वर्तुळाच्या मध्यभागी $C$ चे निर्देशांक $(x_0,y_0)$ असू द्या आणि वर्तुळाची त्रिज्या $r$ सारखी असू द्या. बिंदू $M$ सह निर्देशांक $(x,y)$ हा या वर्तुळाचा अनियंत्रित बिंदू असू द्या (चित्र 2).

आकृती 2. कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये वर्तुळ

वर्तुळाच्या केंद्रापासून बिंदू $M$ पर्यंतचे अंतर खालीलप्रमाणे मोजले जाते

परंतु, वर्तुळावर $M$ असल्याने, आम्हाला $CM=r$ मिळते. मग आम्हाला खालील गोष्टी मिळतात

समीकरण (1) हे बिंदू $(x_0,y_0)$ आणि त्रिज्या $r$ वर केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण आहे.

विशेषतः, जर वर्तुळाचे केंद्र उत्पत्तीशी जुळत असेल. वर्तुळाच्या त्या समीकरणाचे स्वरूप असते

सरळ रेषेचे समीकरण.

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $xOy$ मध्ये सरळ रेषेचे $l$ चे समीकरण काढू. $A$ आणि $B$ चे बिंदू अनुक्रमे $\left\(x_1,\y_1\right\)$ आणि $\(x_2,\y_2\)$ आहेत आणि $A$ आणि $B$ हे बिंदू आहेत निवडले जेणेकरून रेषा $l$ हा $AB$ खंडाचा लंबदुभाजक असेल. सरळ रेषेशी संबंधित $M=\(x,y\)$ एक अनियंत्रित बिंदू निवडूया $l$ (चित्र 3).

$l$ ही रेषा $AB$ या खंडासाठी लंबदुभाजक असल्याने, बिंदू $M$ या विभागाच्या टोकापासून समान अंतरावर आहे, म्हणजेच $AM=BM$.

बिंदूंमधील अंतरासाठी सूत्र वापरून या बाजूंची लांबी शोधू या:

त्यामुळे

$a=2\left(x_1-x_2\right),\b=2\left(y_1-y_2\उजवे),\c=(x_2)^2+(y_2)^2-(x_1) ने दर्शवू. ^2 -(y_1)^2$, आम्हाला आढळले की कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये सरळ रेषेच्या समीकरणाचे खालील स्वरूप आहे:

कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये रेषांची समीकरणे शोधण्याच्या समस्येचे उदाहरण

उदाहरण १

$(2,\ 4)$ बिंदूवर केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण शोधा. निर्देशांकांच्या उत्पत्तीमधून आणि $Ox,$ अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा त्याच्या मध्यभागातून जात आहे.

उपाय.

प्रथम या वर्तुळाचे समीकरण शोधू. हे करण्यासाठी, आपण वर्तुळाचे सामान्य समीकरण वापरू (वर व्युत्पन्न). वर्तुळाचे केंद्र $(2,\4)$ या बिंदूवर असल्याने, आपल्याला मिळते

\[((x-2))^2+((y-4))^2=r^2\]

बिंदू $(2,\ 4)$ पासून $(0,0)$ पर्यंतचे अंतर म्हणून वर्तुळाची त्रिज्या शोधू.

आम्हाला आढळले की वर्तुळाच्या समीकरणाचे स्वरूप आहे:

\[(x-2))^2+((y-4))^2=20\]

आता स्पेशल केस १ वापरून वर्तुळाचे समीकरण शोधू. मिळवू

धड्याचा विषय: वर्तुळाचे समीकरण

धड्याची उद्दिष्टे:

शैक्षणिक: या समस्येचे निराकरण ही समन्वय पद्धत वापरण्याची एक शक्यता मानून वर्तुळाचे समीकरण काढा.

करण्यास सक्षम असेल:

– प्रस्तावित समीकरण वापरून वर्तुळाचे समीकरण ओळखा, विद्यार्थ्यांना तयार रेखाचित्र वापरून वर्तुळाचे समीकरण तयार करायला शिकवा आणि दिलेल्या समीकरणाचा वापर करून वर्तुळ तयार करा.

शैक्षणिक : गंभीर विचारांची निर्मिती.

विकासात्मक : अल्गोरिदम सूचना काढण्याची क्षमता आणि प्रस्तावित अल्गोरिदमनुसार कार्य करण्याची क्षमता विकसित करणे.

करण्यास सक्षम असेल:

– समस्या पहा आणि त्याचे निराकरण करण्याचे मार्ग पहा.

– थोडक्यात आपले विचार तोंडी आणि लेखी व्यक्त करा.

धड्याचा प्रकार: नवीन ज्ञानावर प्रभुत्व मिळवणे.

उपकरणे : पीसी, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन.

धडा योजना:

1. सुरुवातीचे भाषण – 3 मि.

2. ज्ञान अपडेट करणे – 2 मि.

3. समस्येचे विधान आणि त्याचे निराकरण - 10 मि.

4. नवीन साहित्याचा पुढचा फास्टनिंग – 7 मि.

5. गटांमध्ये स्वतंत्र काम – 15 मि.

6. कामाचे सादरीकरण: चर्चा – 5 मि.

7. धड्याचा सारांश. गृहपाठ - 3 मि.

वर्ग दरम्यान

या टप्प्याचा उद्देशः विद्यार्थ्यांची मानसिक मनःस्थिती; सर्व विद्यार्थ्यांना शैक्षणिक प्रक्रियेत सामील करून, यशाची परिस्थिती निर्माण करणे.

1. आयोजन वेळ.

3 मिनिटे

अगं! तुमची 5वी आणि 8वी इयत्तेत मंडळाशी ओळख झाली. तुला तिच्याबद्दल काय माहिती आहे?

तुम्हाला बरेच काही माहित आहे आणि हा डेटा भौमितिक समस्या सोडवण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो. परंतु समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ज्यामध्ये समन्वय पद्धत वापरली जाते, हे पुरेसे नाही.का?

एकदम बरोबर.

म्हणून, दिलेल्या रेषेच्या भौमितिक गुणधर्मांवरून वर्तुळाचे समीकरण काढणे आणि भौमितिक समस्या सोडवण्यासाठी त्याचा वापर करणे हे आजच्या धड्याचे मुख्य ध्येय आहे.

जाऊ देधडा बोधवाक्य मध्य आशियाई ज्ञानकोशकार अल-बिरुनी यांचे शब्द असतील: “ज्ञान ही सर्वात श्रेष्ठ संपत्ती आहे. प्रत्येकजण त्यासाठी धडपडतो, पण ते स्वतःहून येत नाही.”

धड्याचा विषय तुमच्या वहीत लिहा.

वर्तुळाची व्याख्या.

त्रिज्या.

व्यासाचा.

जीवा. इ.

वर्तुळाच्या समीकरणाचे सामान्य रूप आपल्याला अद्याप माहित नाही.

विद्यार्थी मंडळाबद्दल त्यांना माहित असलेल्या प्रत्येक गोष्टीची यादी करतात.

स्लाइड 2

स्लाइड 3

या स्टेजचा उद्देश विद्यार्थ्यांच्या सामग्रीच्या आत्मसात करण्याच्या गुणवत्तेची कल्पना मिळवणे आणि मूलभूत ज्ञान निश्चित करणे हा आहे.

2. ज्ञान अद्ययावत करणे.

2 मिनिटे

वर्तुळाचे समीकरण काढताना तुम्हाला वर्तुळाची आधीच ज्ञात व्याख्या आणि सूत्र आवश्यक असेल जे तुम्हाला दोन बिंदूंमधील अंतर त्यांच्या निर्देशांक वापरून शोधू देते.चला ही तथ्ये लक्षात ठेवूया /पीसामग्रीची पुनरावृत्ती, पूर्वी अभ्यासलेले/:

– एका खंडाच्या मध्यबिंदूचे निर्देशांक शोधण्याचे सूत्र लिहा.

– वेक्टरची लांबी मोजण्याचे सूत्र लिहा.

– बिंदूंमधील अंतर शोधण्याचे सूत्र लिहा (विभागाची लांबी).

नोंदी दुरुस्त करत आहे...

भौमितिक वार्म-अप.

गुण दिले आहेतA (-1;7) आणिमध्ये (7; 1).

खंड AB च्या मध्यबिंदूचे समन्वय आणि त्याची लांबी मोजा.

अंमलबजावणीची शुद्धता तपासते, गणना दुरुस्त करते...

एक विद्यार्थी ब्लॅकबोर्डवर आहे आणि बाकीचे नोटबुकमध्ये सूत्रे लिहित आहेत.

वर्तुळ ही एक भौमितिक आकृती आहे ज्यामध्ये दिलेल्या बिंदूपासून दिलेल्या अंतरावर स्थित सर्व बिंदू असतात.

|AB|=√(x – x)²+(y – y)²

M(x;y), A(x;y)

गणना करा: C (3; 4)

| AB| = 10

सह आघाडी 4

स्लाइड 5

3. नवीन ज्ञानाची निर्मिती.

12 मिनिटे

ध्येय: संकल्पनेची निर्मिती - वर्तुळाचे समीकरण.

समस्येचे निराकरण करा:

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये, केंद्र A(x;y) असलेले वर्तुळ तयार केले जाते. M(x; y) - वर्तुळाचा अनियंत्रित बिंदू. वर्तुळाची त्रिज्या शोधा.

इतर कोणत्याही बिंदूचे समन्वय ही समानता पूर्ण करतील का? का?

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे वर्ग करू.परिणामी आमच्याकडे आहे:

r² =(x – x)²+(y – y)²- वर्तुळाचे समीकरण, जेथे (x;y) वर्तुळाच्या केंद्राचे समन्वय आहेत, (x;y) हे एका अनियंत्रित बिंदूचे समन्वय आहेत वर्तुळावर, r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

समस्येचे निराकरण करा:

वर्तुळाचे केंद्र ज्याच्या उगमस्थानी असेल त्याचे समीकरण काय असेल?

तर, वर्तुळाचे समीकरण काढण्यासाठी तुम्हाला काय माहित असणे आवश्यक आहे?

वर्तुळाचे समीकरण तयार करण्यासाठी अल्गोरिदम सुचवा.

निष्कर्ष: ...ते तुमच्या वहीत लिहा.

त्रिज्या हा वर्तुळाच्या मध्यभागी वर्तुळावर पडलेल्या अनियंत्रित बिंदूसह जोडणारा विभाग आहे. म्हणून r=|AM|=√(x – x)²+(y – y)²

वर्तुळावरील कोणताही बिंदू या वर्तुळावर असतो.

विद्यार्थी नोटबुकमध्ये नोट्स घेतात.

(0;0) - वर्तुळाच्या केंद्राचे समन्वय.

x²+y²=r², जेथे r ही वर्तुळाची त्रिज्या आहे.

वर्तुळाच्या केंद्राचे समन्वय, त्रिज्या, वर्तुळावरील कोणत्याही बिंदू...

ते एक अल्गोरिदम प्रस्तावित करतात...

एका नोटबुकमध्ये अल्गोरिदम लिहा.

स्लाइड 6

स्लाइड 7

स्लाइड 8

शिक्षक बोर्डावर समानतेची नोंद करतो.

स्लाइड 9

4. प्राथमिक एकत्रीकरण.

23 मिनिटे

लक्ष्य:तयार झालेल्या कल्पना आणि संकल्पनांचे नुकसान टाळण्यासाठी त्यांनी नुकत्याच शिकलेल्या साहित्याचे विद्यार्थ्यांद्वारे पुनरुत्पादन. त्यावर आधारित नवीन ज्ञान, कल्पना, संकल्पना यांचे एकत्रीकरणअनुप्रयोग

सूर्य नियंत्रण

खालील समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी मिळवलेले ज्ञान लागू करूया.

कार्य: प्रस्तावित समीकरणांमधून, वर्तुळाची समीकरणे असलेल्या संख्यांची नावे द्या. आणि जर समीकरण वर्तुळाचे समीकरण असेल, तर केंद्राच्या निर्देशांकांना नाव द्या आणि त्रिज्या दर्शवा.

दोन व्हेरिएबल्ससह प्रत्येक सेकंद डिग्री समीकरण वर्तुळ परिभाषित करत नाही.

4x²+y²=4-लंबवर्तुळ समीकरण.

x²+y²=0-बिंदू

x²+y²=-4-हे समीकरण कोणत्याही आकृतीची व्याख्या करत नाही.

अगं! वर्तुळाचे समीकरण लिहिण्यासाठी तुम्हाला काय माहित असणे आवश्यक आहे?

समस्या सोडवा क्रमांक 966 पृष्ठ 245 (पाठ्यपुस्तक).

शिक्षक विद्यार्थ्याला बोर्डात बोलावतात.

समस्या विधानात दिलेला डेटा वर्तुळाचे समीकरण तयार करण्यासाठी पुरेसा आहे का?

कार्य:

मूळ आणि व्यास 8 वर केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण लिहा.

कार्य : वर्तुळ काढा.

केंद्राकडे समन्वय आहेत का?

त्रिज्या ठरवा... आणि तयार करा

पृष्ठ 243 वर समस्या (पाठ्यपुस्तक) तोंडी विश्लेषण केले जाते.

पृष्ठ 243 वरील समस्या समाधान योजना वापरून, समस्या सोडवा:

जर वर्तुळ बिंदू B(7;5) मधून जात असेल तर A(3;2) बिंदूवर केंद्र असलेल्या वर्तुळासाठी समीकरण लिहा.

1) (x-5)²+(y-3)²=36 - वर्तुळाचे समीकरण; (5;3), r=6.

2) (x-1)²+y²=49 - वर्तुळाचे समीकरण; (1;0), r=7.

3) x²+y²=7 - वर्तुळाचे समीकरण; (0;0), r=√7.

4) (x+3)²+(y-8)²=2 - वर्तुळाचे समीकरण; (-3;8), r=√2.

5) 4x²+y²=4 हे वर्तुळाचे समीकरण नाही.

6) x²+y²=0- हे वर्तुळाचे समीकरण नाही.

7) x²+y²=-4- हे वर्तुळाचे समीकरण नाही.

वर्तुळाच्या केंद्राचे समन्वय जाणून घ्या.

त्रिज्या लांबी.

वर्तुळाच्या सामान्य समीकरणामध्ये केंद्राचे समन्वय आणि त्रिज्येची लांबी बदला.

समस्या क्रमांक ९६६ पी. २४५ (पाठ्यपुस्तक) सोडवा.

पुरेसा डेटा आहे.

ते समस्या सोडवतात.

वर्तुळाचा व्यास त्याच्या त्रिज्या दुप्पट असल्याने r=8÷2=4. म्हणून x²+y²=16.

मंडळे तयार करा

पाठ्यपुस्तकानुसार काम करा. पृष्ठ 243 वर समस्या.

दिलेले: A(3;2) वर्तुळाचे केंद्र आहे; В(7;5)є(А;r)

शोधा: वर्तुळाचे समीकरण

उपाय: r² =(x –x)²+(y –y)²

r² =(x –3)²+(y –2)²

r = AB, r² = AB²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² = 25

(x –3)²+(y –2)²=25

उत्तर: (x –3)²+(y –2)²=25

स्लाइड 10-13

ठराविक समस्या सोडवणे, मोठ्या आवाजात समाधानाचा उच्चार करणे.

परिणामी समीकरण लिहिण्यासाठी शिक्षक एका विद्यार्थ्याला बोलावतो.

स्लाईड 9 वर परत या

या समस्येचे निराकरण करण्याच्या योजनेची चर्चा.

स्लाइड करा. १५. ही समस्या सोडवण्यासाठी शिक्षक एका विद्यार्थ्याला बोर्डात बोलावतात.

स्लाइड 16.

स्लाइड 17.

5. धडा सारांश.

5 मिनिटे

धड्यातील क्रियाकलापांचे प्रतिबिंब.

गृहपाठ: §3, परिच्छेद 91, चाचणी प्रश्न क्रमांक 16,17.

समस्या क्रमांक 959(b, d, d), 967.

अतिरिक्त मूल्यांकन कार्य (समस्या कार्य): समीकरणाद्वारे दिलेले वर्तुळ तयार करा

x²+2x+y²-4y=4.

आम्ही वर्गात काय बोललो?

तुम्हाला काय मिळवायचे होते?

धड्याचे ध्येय काय होते?

आपला “शोध” आपल्याला कोणत्या समस्या सोडवू देतो?

तुमच्यापैकी किती जणांना असे वाटते की शिक्षकाने पाठात ठेवलेले ध्येय १००%, ५०% साध्य केले आहे; ध्येय गाठले नाही...?

प्रतवारी.

गृहपाठ लिहून ठेवा.

विद्यार्थी शिक्षकांनी विचारलेल्या प्रश्नांची उत्तरे देतात. त्यांच्या स्वतःच्या क्रियाकलापांचे स्वयं-विश्लेषण करा.

विद्यार्थ्यांनी निकाल आणि ते साध्य करण्याच्या पद्धती शब्दात व्यक्त करणे आवश्यक आहे.

घेरकेंद्र म्हटल्या जाणार्‍या दिलेल्या बिंदूपासून समांतर अंतरावर असलेल्या समतल बिंदूंचा संच आहे.

जर बिंदू C वर्तुळाचा केंद्र असेल, R त्याची त्रिज्या असेल आणि M वर्तुळावरील अनियंत्रित बिंदू असेल तर वर्तुळाच्या व्याख्येनुसार

समानता (1) आहे वर्तुळाचे समीकरणबिंदू C वर केंद्र असलेली त्रिज्या R.

एक आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (चित्र 104) आणि एक बिंदू C( अ; b) हे त्रिज्या R च्या वर्तुळाचे केंद्र आहे. चला M( एक्स; येथे) या वर्तुळाचा एक अनियंत्रित बिंदू आहे.

पासून |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \), नंतर समीकरण (1) खालीलप्रमाणे लिहिता येईल:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(x-a) 2 + (y - ब) २ = आर २ (२)

समीकरण (2) म्हणतात वर्तुळाचे सामान्य समीकरणकिंवा बिंदूवर केंद्र असलेल्या त्रिज्या R च्या वर्तुळाचे समीकरण ( अ; b). उदाहरणार्थ, समीकरण

(x - l) 2 + ( y + 3) 2 = 25

बिंदू (1; -3) वर केंद्र असलेल्या R = 5 त्रिज्या वर्तुळाचे समीकरण आहे.

जर वर्तुळाचे केंद्र निर्देशांकांच्या उत्पत्तीशी जुळत असेल तर समीकरण (2) फॉर्म घेते

x 2 + येथे२ = आर २ . (३)

समीकरण (3) म्हणतात वर्तुळाचे प्रमाणिक समीकरण .

कार्य १.त्रिज्या R = 7 च्या वर्तुळाचे समीकरण त्याच्या केंद्रस्थानी लिहा.

समीकरण (3) मध्ये त्रिज्या मूल्य थेट बदलून आपण प्राप्त करतो

x 2 + येथे 2 = 49.

कार्य २.बिंदू C(3; -6) वर केंद्र असलेल्या R = 9 त्रिज्या वर्तुळाचे समीकरण लिहा.

बिंदू C च्या निर्देशांकांचे मूल्य आणि त्रिज्याचे मूल्य सूत्र (2) मध्ये बदलून, आपल्याला मिळते

(एक्स - 3) 2 + (येथे- (-6)) 2 = 81 किंवा ( एक्स - 3) 2 + (येथे + 6) 2 = 81.

कार्य 3.वर्तुळाचे केंद्र आणि त्रिज्या शोधा

(एक्स + 3) 2 + (येथे-5) 2 =100.

या समीकरणाची वर्तुळ (2) च्या सामान्य समीकरणाशी तुलना केल्यास आपण ते पाहतो ए = -3, b= 5, R = 10. म्हणून, C(-3; 5), R = 10.

कार्य 4.हे समीकरण सिद्ध करा

x 2 + येथे 2 + 4एक्स - 2y - 4 = 0

वर्तुळाचे समीकरण आहे. त्याचे केंद्र आणि त्रिज्या शोधा.

चला या समीकरणाची डावी बाजू बदलू:

x 2 + 4एक्स + 4- 4 + येथे 2 - 2येथे +1-1-4 = 0

(एक्स + 2) 2 + (येथे - 1) 2 = 9.

हे समीकरण (-2; 1) केंद्रस्थानी असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण आहे; वर्तुळाची त्रिज्या 3 आहे.

कार्य 5. A (2; -1), B(- 1; 3) असल्यास, C(-1; -1) बिंदूच्या स्पर्शिकेला केंद्रबिंदू असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण लिहा.

रेषा AB चे समीकरण लिहू.

किंवा ४ एक्स + 3y-5 = 0.

वर्तुळ दिलेल्या रेषेला स्पर्श करत असल्याने, संपर्क बिंदूकडे काढलेली त्रिज्या या रेषेला लंब असते. त्रिज्या शोधण्यासाठी, तुम्हाला बिंदू C(-1; -1) पासून - वर्तुळाच्या मध्यभागी सरळ रेषा 4 पर्यंतचे अंतर शोधणे आवश्यक आहे. एक्स + 3y-5 = 0:

इच्छित वर्तुळाचे समीकरण लिहू

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये वर्तुळ दिले जाऊ द्या x 2 + येथे२ = आर २ . त्याच्या अनियंत्रित बिंदूचा विचार करा M( एक्स; येथे) (चित्र 105).

त्रिज्या वेक्टर द्या ओएम> बिंदू M विशालतेचा कोन बनवतो ट O अक्षाच्या सकारात्मक दिशेसह एक्स, नंतर बिंदू M चे abscissa आणि ordinate अवलंबून बदलतात ट

(0 ट x आणि y द्वारे ट, आम्ही शोधतो

x= Rcos ट ; y= आर पाप ट , 0 ट

समीकरणे (4) म्हणतात मूळ केंद्र असलेल्या वर्तुळाची पॅरामेट्रिक समीकरणे.

कार्य 6.वर्तुळ समीकरणांद्वारे दिले जाते

x= \(\sqrt(3)\)cos ट, y= \(\sqrt(3)\)पाप ट, 0 ट

या वर्तुळाचे प्रमाणिक समीकरण लिहा.

हे अटीवरून अनुसरण करते x२ = ३ कारण २ ट, येथे 2 = 3 पाप 2 ट. या समानता टर्म बाय टर्म जोडल्यास आपल्याला मिळते

x 2 + येथे 2 = 3(cos 2 ट+ पाप २ ट)

किंवा x 2 + येथे 2 = 3

व्याख्या १. संख्या अक्ष ( संख्या रेखा, समन्वय रेखा) Ox ही सरळ रेषा आहे ज्यावर O बिंदू निवडला आहे मूळ (समन्वयकांची उत्पत्ती)(Fig.1), दिशा

ओ → x

म्हणून सूचीबद्ध सकारात्मक दिशाआणि एक विभाग चिन्हांकित केला आहे, ज्याची लांबी आहे लांबीचे एकक.

व्याख्या २. ज्या खंडाची लांबी लांबीचे एकक म्हणून घेतली जाते त्याला स्केल म्हणतात.

संख्या अक्षावरील प्रत्येक बिंदूमध्ये एक समन्वय असतो जो वास्तविक संख्या असतो. बिंदू O चा समन्वय शून्य आहे. ऑक्स किरणावर पडलेल्या अनियंत्रित बिंदू A चा समन्वय OA खंडाच्या लांबीएवढा आहे. ऑक्स किरणांवर नसलेल्या अंकीय अक्षाच्या अनियंत्रित बिंदू A चा समन्वय ऋणात्मक आहे आणि संपूर्ण मूल्य OA खंडाच्या लांबीच्या बरोबरीचे आहे.

व्याख्या ३. विमानावरील आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सीदोघांना परस्पर कॉल करा लंबसंख्यात्मक अक्ष Ox आणि Oy सह समान स्केलआणि सामान्य संदर्भ बिंदू O बिंदूवर, आणि अशा प्रकारे किरण ऑक्स पासून 90° च्या कोनात फिरणे Oy किरण दिशेने चालते घड्याळाच्या उलट दिशेने(चित्र 2).

नोंद. आकृती 2 मध्ये दर्शविलेल्या आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणाली Oxy म्हणतात योग्य समन्वय प्रणाली, विपरीत डाव्या समन्वय प्रणाली, ज्यामध्ये बीम Oy ला 90° च्या कोनात बीम ऑक्सचे फिरणे घड्याळाच्या दिशेने चालते. या मार्गदर्शकामध्ये आम्ही आम्ही फक्त उजव्या हाताच्या समन्वय प्रणालीचा विचार करतो, विशेषत: निर्दिष्ट न करता.

जर आपण विमानात आयताकृती कार्टेशियन कोऑर्डिनेट्स ऑक्सीची काही प्रणाली आणली तर विमानाचा प्रत्येक बिंदू प्राप्त होईल. दोन समन्वय – abscissaआणि आदेश, ज्याची गणना खालीलप्रमाणे केली जाते. A ला विमानावरील अनियंत्रित बिंदू असू द्या. बिंदू A वरून लंब सोडू ए.ए. 1 आणि ए.ए. 2 ते सरळ रेषा ऑक्स आणि ओय, अनुक्रमे (चित्र 3).

व्याख्या 4. बिंदू A चा abscissa हा बिंदूचा समन्वय आहे ए 1 क्रमांकाच्या अक्षावर ऑक्स, बिंदू A चा बिंदू हा बिंदूचा समन्वय आहे एसंख्या अक्षावर 2 Oy.

पदनाम बिंदूचे निर्देशांक (अब्सिसा आणि ऑर्डिनेट).आयताकृती कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टीममध्ये A Oxy (Fig. 4) सहसा दर्शविले जाते ए(x;y) किंवा ए = (x; y).

नोंद. पॉइंट ओ, म्हणतात मूळ, निर्देशांक आहेत ओ(0 ; 0) .

व्याख्या 5. आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणाली Oxy मध्ये, संख्यात्मक अक्ष Ox ला abscissa अक्ष म्हणतात, आणि संख्यात्मक अक्ष Oy ला ordinate अक्ष (Fig. 5) म्हणतात.

व्याख्या 6. प्रत्येक आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणाली विमानाला 4 चतुर्थांश (चतुर्थांश) मध्ये विभाजित करते, ज्याची संख्या आकृती 5 मध्ये दर्शविली आहे.

व्याख्या 7. ज्या विमानावर आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणाली दिली जाते त्याला म्हणतात समन्वय विमान.

नोंद. समीकरणाद्वारे समन्वय समतलावर abscissa अक्ष निर्दिष्ट केला जातो y= 0, समीकरणाद्वारे समन्वय समतलावर ऑर्डिनेट अक्ष दिलेला आहे x = 0.

विधान १. दोन बिंदूंमधील अंतरसमन्वय विमान

ए 1 (x 1 ;y 1) आणि ए 2 (x 2 ;y 2)

गणना केली सूत्रानुसार

पुरावा. आकृती 6 विचारात घ्या.

धड्याचा उद्देश:वर्तुळाचे समीकरण सादर करा, विद्यार्थ्यांना तयार रेखाचित्र वापरून वर्तुळाचे समीकरण तयार करण्यास शिकवा आणि दिलेल्या समीकरणाचा वापर करून वर्तुळ तयार करा.

उपकरणे: परस्परसंवादी बोर्ड.

धडा योजना:

1. संस्थात्मक क्षण - 3 मि.
2. पुनरावृत्ती. मानसिक क्रियाकलापांचे आयोजन - 7 मिनिटे.
3. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण. वर्तुळाच्या समीकरणाची व्युत्पत्ती – 10 मि.
4. अभ्यास केलेल्या सामग्रीचे एकत्रीकरण - 20 मि.
5. धड्याचा सारांश – ५ मि.

वर्ग दरम्यान

2. पुनरावृत्ती:

− (परिशिष्ट १ स्लाइड 2) विभागाच्या मध्यभागी समन्वय शोधण्यासाठी सूत्र लिहा;

− (स्लाइड 3) Zबिंदूंमधील अंतर (खंडाची लांबी) साठी सूत्र लिहा.

3. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण.

(स्लाइड 4 - 6)वर्तुळाचे समीकरण परिभाषित करा. बिंदूवर केंद्र असलेल्या वर्तुळाची समीकरणे काढा ( ए;b) आणि मूळ केंद्रस्थानी.

(एक्स – ए ) 2 + (येथे – b ) 2 = आर 2 - केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण सह (ए;b) , त्रिज्या आर , एक्स आणि येथे – वर्तुळावरील अनियंत्रित बिंदूचे समन्वय .

एक्स 2 + y 2 = आर 2 - मूळ केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण.

(स्लाइड 7)

वर्तुळाचे समीकरण तयार करण्यासाठी, तुम्हाला हे करणे आवश्यक आहे:

• केंद्राचे समन्वय जाणून घ्या;
• त्रिज्येची लांबी जाणून घ्या;
• वर्तुळाच्या समीकरणामध्ये केंद्राचे समन्वय आणि त्रिज्येची लांबी बदला.

4. समस्या सोडवणे.

कार्य क्रमांक 1 - क्रमांक 6 मध्ये, तयार रेखाचित्रे वापरून वर्तुळाची समीकरणे तयार करा.

(स्लाइड 14)

№ 7. टेबल भरा.

(स्लाइड १५)

№ 8. समीकरणांद्वारे दिलेल्या तुमच्या नोटबुकमध्ये वर्तुळे तयार करा:

अ) ( एक्स – 5) 2 + (येथे + 3) 2 = 36;
b) (एक्स + 1) 2 + (येथे– 7) 2 = 7 2 .

(स्लाइड 16)

№ 9. केंद्राचे निर्देशांक आणि त्रिज्येची लांबी जर असेल तर शोधा एबी- वर्तुळाचा व्यास.

दिले:		उपाय:
		आर	केंद्र समन्वय
1	ए(0 ; -6) IN(0 ; 2)	एबी 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; एबी 2 = 64; एबी = 8 .	ए(0; -6) IN(0 ; 2) सह(0 ; – 2) – केंद्र
2	ए(-2 ; 0) IN(4 ; 0)	एबी 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; एबी 2 = 36; एबी = 6.	ए (-2;0) IN (4 ;0) सह(1 ; 0) – केंद्र

(स्लाइड 17)

№ 10. उगमस्थानी केंद्र असलेल्या आणि बिंदूमधून जात असलेल्या वर्तुळासाठी समीकरण लिहा TO(-12;5).

उपाय.

आर २ = ठीक आहे 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
आर = 13;

वर्तुळाचे समीकरण: x 2 + y 2 = 169 .

(स्लाइड 18)

№ 11. उत्पत्तीमधून जाणाऱ्या आणि केंद्रस्थानी असलेल्या वर्तुळासाठी समीकरण लिहा सह(3; - 1).

उपाय.

R2= OS 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

वर्तुळाचे समीकरण: ( X - 3) 2 + (y + 1) 2 = 10.

(स्लाइड 19)

№ 12. वर्तुळाचे मध्यभागी समीकरण लिहा ए(3;2), मधून जात IN(7;5).

उपाय.

1. वर्तुळाचे केंद्र – ए(3;2);
2.आर = एबी;
एबी 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; एबी = 5;
3. वर्तुळाचे समीकरण ( एक्स – 3) 2 + (येथे − 2) 2 = 25.

(स्लाइड 20)

№ 13. गुण खोटे आहेत का ते तपासा ए(1; -1), IN(0;8), सह(-3; -1) समीकरणाने परिभाषित केलेल्या वर्तुळावर ( एक्स + 3) 2 + (येथे − 4) 2 = 25.

उपाय.

आय. चला बिंदूचे निर्देशांक बदलू ए(1; -1) वर्तुळाच्या समीकरणात:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 - समानता खोटी आहे, याचा अर्थ ए(1; -1) खोटे बोलत नाहीसमीकरणाने दिलेल्या वर्तुळावर ( एक्स + 3) 2 + (येथे − 4) 2 = 25.

II. चला बिंदूचे निर्देशांक बदलू IN(०;८) वर्तुळाच्या समीकरणामध्ये:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
IN(0;8)खोटे एक्स + 3) 2 + (येथे − 4) 2 = 25.

III.चला बिंदूचे निर्देशांक बदलू सह(-3; -1) वर्तुळाच्या समीकरणात:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 - समानता सत्य आहे, याचा अर्थ सह(-3; -1) खोटेसमीकरणाने दिलेल्या वर्तुळावर ( एक्स + 3) 2 + (येथे − 4) 2 = 25.

धडा सारांश.

1. पुनरावृत्ती करा: वर्तुळाचे समीकरण, मूळ केंद्र असलेल्या वर्तुळाचे समीकरण.
2. (स्लाइड 21)गृहपाठ.