Sinusitis

Definicija nagiba. Matematika

TROUGLI.

§ 31. KOMITAN I NAGON NA PRAVU.

1. Projekcija segmenta na pravu liniju.

Ako kroz neku tačku uzetu izvan prave povučemo pravu okomitu na nju, tada se radi kratkoće odsječak od ove tačke do prave naziva jednom riječju okomito.

Segment CO je okomit na pravu AB. Tačka O se zove osnovicu okomice CO (crtež 168).

Ako prava povučena kroz datu tačku siječe drugu pravu, ali nije okomita na nju, tada se njen odsječak od date tačke do točke presjeka s drugom pravom naziva skloni na ovu liniju.

Segment BC - nagnut prema pravoj liniji AO. Tačka C se zove osnovu nagnut (sl. 169).

Ako spustimo okomice s krajeva nekog segmenta na proizvoljnu pravu, tada se odsječak zatvoren između osnova okomica naziva projekcija segmenta na ovu pravu liniju.

Segment A "B" je projekcija segmenta AB na EC. Segment OM" se naziva i projekcija segmenta OM na EC.

Projekcija segmenta KR okomita na EU bit će tačka K" (Sl. 170).

2. Svojstva okomite i kose.

Teorema 1. Okomita povučena iz tačke na pravu manja je od bilo koje kose povučene iz iste tačke na ovu pravu liniju.

Segment AC (Sl. 171) je okomit na pravu OB, a AM je jedna od kosih linija povučena od tačke A do prave OB. Potrebno je dokazati da je AM > AC.

IN /\ MAC segment AM je hipotenuza, a hipotenuza je veća od svake od krakova ovog trougla (§ 30). Dakle, AM > AC. Pošto smo nagnutu AM uzeli proizvoljno, možemo tvrditi da je svaka nagnuta prava na pravu veća od okomice na ovu pravu (a okomica je kraća od bilo koje nagnute linije) ako se na nju povuče iz iste tačke.

Tačan je i obratni iskaz, naime: ako je segment AC (slika 171) manji od bilo kojeg drugog segmenta koji povezuje tačku AC sa bilo kojom tačkom na pravoj liniji OB, onda je on okomit na OB. Zapravo, segment AC ne može biti nagnut na OB, jer tada ne bi bio najkraći odsječak koji povezuje tačku A sa tačkama prave linije OB. To znači da može biti samo okomito na OB.

Dužina okomice spuštene iz date tačke na pravu uzima se kao udaljenost od date tačke do ove prave.

Teorema 2. Ako su dvije kose linije povučene na pravu iz iste tačke jednake, onda su njihove projekcije jednake.

Neka su BA i BC nagnute linije povučene od tačke B do prave AC (sl. 172), a AB = BC. Potrebno je dokazati da su i njihove projekcije jednake.

Da bismo to dokazali, spustimo okomicu BO iz tačke B na AC. Tada će AO i OS biti projekcije kosih AB i BC na pravu AC. Trougao ABC je jednakokrak prema teoremi. VO je visina ovog trougla. Ali visina je jednakokraki trougao, povučen na osnovu, istovremeno je medijana ovog trougla (§ 18).

Stoga je AO = OS.

Teorema 3(obrnuto). Ako dvije kose linije povučene na pravu liniju iz iste tačke imaju jednake projekcije, onda su jedna drugoj jednake.

Neka su AC i CB nagnute prema pravoj liniji AB (Sl. 173). CO_|_ AB i AO = OB.

Potrebno je dokazati da je AC = BC.

U pravokutnim trouglovima AOC i BOC, kraci AO i OB su jednaki. CO je zajednički krak ovih trouglova. dakle, /\ AOC = /\ VOS. Iz jednakosti trouglova slijedi da je AC = BC.

Teorema 4. Ako se dvije nagnute linije povuku iz iste tačke u pravu, onda je veća ona koja ima veću projekciju na ovu pravu.

Neka su AB i BC nagnuti prema pravoj liniji AO; VO_|_AO i AO>SO. Potrebno je dokazati da je AB > BC.

1) Kosi se nalaze na jednoj strani okomice.

Ugao ACE vanjski prema pravougaonog trougla SOVA (crtež 174), i stoga / DIA > / SOVA, tj. on je glup. Iz toga slijedi da je AB > CB.

2) Kosi se nalaze sa obe strane okomice. Da bismo to dokazali, nacrtajmo odsječak OK = OS na AO iz tačke O i spojimo tačku K sa tačkom B (slika 175). Tada prema teoremi 3 imamo: VC = BC, ali AB > VC, dakle, AB > BC, tj. teorema vrijedi i u ovom slučaju.

Teorema 5(obrnuto). Ako su dvije nagnute linije povučene iz iste tačke u pravu, tada veća nagnuta linija također ima veću projekciju na ovu pravu liniju.

Neka su KS i BC nagnuti prema pravoj liniji KB (Sl. 176), SO_|_KB i KS > BC. Potrebno je dokazati da je KO > OV.

Između segmenata KO i OB može postojati samo jedan od tri odnosa:

1) KO< ОВ,
2) KO = OV,
3) KO > OV.

KO ne može biti manji od OB, pošto bi tada, prema teoremi 4, nagnuti KS bio manji od nagnutog BC, a to je u suprotnosti sa uslovima teoreme.

Na isti način, KO ne može biti jednak OB, jer je u ovom slučaju, prema teoremi 3, KS = BC, što je takođe u suprotnosti sa uslovima teoreme.

Shodno tome, ostaje istinita samo posljednja relacija, to jest
KO > OV.

Okomita ispuštena iz date tačke na datu ravan je segment koji povezuje datu tačku sa tačkom na ravni i leži na pravoj liniji okomitoj na ravan. Kraj ovog segmenta koji leži u ravni naziva se osnova okomice. Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice povučene iz ove tačke u ravan.

Nagib povučen od date tačke do date ravni je svaki segment koji povezuje datu tačku sa tačkom na ravni i nije okomit na ovu ravan. Kraj segmenta koji leži u ravni naziva se nagnuta baza. Segment koji povezuje osnove okomice i kose povučene iz iste tačke naziva se kosa projekcija.

Na slici 136, iz tačke A, okomita AB i nagnuta AC povučena su u ravan. Tačka B je osnova okomice, tačka C je osnova nagnute, BC je projekcija nagnutog AC na ravan a.

Budući da su udaljenosti od tačaka prave do ravni paralelne s njom iste, udaljenost od prave do ravni paralelne s njom je udaljenost od bilo koje njene tačke do ove ravni.

Prava linija povučena na ravni kroz osnovu nagnute ravni okomita na njenu projekciju je također okomita na samu nagnutu ravninu. I obrnuto: ako je prava linija u ravni okomita na nagnutu, onda je ona okomita i na projekciju nagnute (teorema o tri okomice).

Na slici 137, okomita AB i nagnuta AC povučena su u ravan a. Prava linija o, koja leži u ravni a, okomita je na BC - projekciju kosih AC na ravan a. Prema T. 2.12, prava linija a je okomita na nagnutu AC. Kada bi se znalo da je prava a okomita na nagnutu AC, onda bi prema T. 2.12 bila okomita na svoju projekciju - BC.

Primjer. Kateti pravouglog trougla ABC su jednaki 16 i iz vrha pravi ugao C je povučen okomit na ravan ovog trougla CD = 35 m (sl. 138). Odrediti udaljenost od tačke D do hipotenuze AB.

Rješenje. Hajde da to uradimo. Prema uslovu, DC je okomit na ravan, tj. DE je nagnut, CE je njegova projekcija, pa prema teoremi o tri okomice iz uslova sledi da

Od nalazimo Da bismo pronašli visinu CE u nalazimo

S druge strane, gdje

Iz Pitagorine teoreme

46. Okomitost ravnina.

Dvije ravnine koje se seku nazivaju se okomite ako ih bilo koja ravan okomita na liniju presjeka ovih ravnina siječe duž okomitih linija.

Na slici 139 prikazane su dvije ravni koje se seku duž prave a. Ravan y je okomita na pravu a i siječe se u ovom slučaju, ravan y siječe ravan a duž prave c, a ravan se seče duž prave linije d, tj. po definiciji.

T. 2.13. Ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su te ravni okomite (znak okomitosti ravnina).

Na slici 140, ravan prolazi kroz pravu liniju, tj. ravan je okomita.

Čas geometrije u 10. razredu

U jednoj od prethodnih lekcija upoznali ste se sa pojmom projekcije tačke na datu ravan paralelnu datoj pravoj.

U ovoj lekciji ćete nastaviti da proučavate prave i ravni; naučiti kako je ugao između prave i ravni. Upoznat ćete se s konceptom ortogonalne projekcije na ravan i razmotriti njena svojstva. Lekcija će dati definicije udaljenosti od tačke do ravni i od tačke do prave, ugla između prave i ravni. Biće dokazana čuvena teorema o tri okomice.

Ortografska projekcija

Ortogonalna projekcija tačke i figure.

Ortogonalna projekcija dijela.

Ortogonalna projekcija tačke A na datu ravan naziva se projekcija tačke na ovu ravan paralelnu

prava prava okomita na ovu ravan. Ortografska projekcija

figure na datu ravan p sastoji se od ortogonalnih projekcija na ravan p svih tačaka ove figure. Ortografska projekcija se često koristi za prikaz prostornih tijela na ravni, posebno u tehničkim crtežima. Daje realističniju sliku od proizvoljne paralelne projekcije, posebno okruglih tijela.

Okomito i koso

Neka se kroz tačku A, koja ne pripada ravni p, povuče prava linija, okomita na ovu ravan i koja je siječe u tački B. Tada

segment AB se zove

okomito, izostavljeno iz tačke

I na ovu ravan, a sama tačka B je osnova ove okomice. Bilo koji segment AC, gdje je C

proizvoljna tačka ravni p, različita od B, naziva se nagnuta prema

ovaj avion.

Imajte na umu da je tačka B u ovoj definiciji ortogonalna

projekcija tačke A, i segmenta AC - Okomito i koso. ortogonalna projekcija kose AB.

Ortogonalne projekcije imaju sva svojstva običnih paralelnih projekcija, ali imaju i niz novih svojstava.

Neka se iz jedne tačke u ravan povuče okomita i nekoliko kosih linija. Tada su sljedeće tvrdnje tačne.

1. Svaka nagnuta ravan duža je i od okomite i od ortogonalne projekcije nagnute ravni na ovu ravan.

2. Jednaki nagibi imaju jednake ortogonalne projekcije, i obrnuto, kosi koji imaju jednake projekcije su također jednaki.

3. Jedna kosa je duža od druge ako i samo ako je ortogonalna projekcija prve kose duža od ortogonalne projekcije druge kose.

Svojstva ortografske projekcije

Dokaz.

Neka su iz tačke A u ravan p povučena okomita AB i dve kose AC i AD; tada su segmenti BC i BD ortogonalne projekcije ovih segmenata na ravan p.

Dokažimo prvu tvrdnju: svaka nagnuta ravan je duža i od okomite i od ortogonalne projekcije nagnute ravni na ovu ravan. Razmotrimo, na primjer, kosi AC i trokut ABC koji formira okomita AB, ova kosa AC i njena ortogonalna projekcija BC. Ovaj trougao je pravougli sa pravim uglom u vrhu B i hipotenuzom AC, koja je, kao što znamo iz planimetrije, duža od svake od kateta, tj. i okomita AB, i projekcija BC.

Iz tačke A do ravni pi povučena je okomita AB i dve nagnute AC i AD.

Svojstva ortografske projekcije

Trouglovi

ABC i ABD

jednaka po kraku i hipotenuzi.

Sada ćemo dokazati drugu tvrdnju, naime: jednake kose imaju jednake ortogonalne projekcije, i obrnuto, kose koje imaju jednake projekcije su također jednake.

Razmotrimo pravouglove trouglove ABC i ABD. Oni

imaju zajedničku nogu AB. Ako su kosi AC i AD jednaki, onda su pravokutni trouglovi ABC i ABD jednaki po kraku i hipotenuzi, a zatim BC = BD. Obrnuto, ako su projekcije BC i BD jednake, onda su ti isti trokuti jednaki duž dva kraka, a onda su im hipotenuze AC i AD jednake. Ned< BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.

Ostaje treća mogućnost: BC > BD. Teorema je dokazana.

Ako je BC veći od BD,

tada je AC veći od strane

AE jednako AD.

GEOMETRIJA

Odjeljak II. STEREOMETRY

§8. KOMITAN I KOSI. KOSA PROJEKCIJA NA RAVNINU.

2. Svojstva okomite i kose.

Razmotrimo svojstva okomitog i kosog.

1) Okomita povučena iz date tačke na ravan manja je od bilo koje kosine povučene iz iste tačke u ravan.

Na slici 411: AN AK.

2) Ako su dvije nagnute kosine povučene iz date tačke u ravan jednake, onda su njihove projekcije jednake.

K 1 i okomito AN i AK = AK 1. Tada po svojstvu: NK = NK 1.

3) Ako dvije nagnute kosine povučene iz date tačke u datu ravan imaju jednake projekcije, onda su jedna drugoj jednake.

Na slici 412, dvije nagnute ravni AK i A povučene su iz tačke A u ravan a K 1 i okomito na AN, sa KH = K 1 N. Tada po svojstvu: AK = AK 1 .

4) Ako su dvije nagnute ravni povučene iz date tačke u ravan, tada veća nagnuta ima veću projekciju.

L i okomito na AN, A K > AL . Zatim po svojstvu: H K > HL.

5) Ako se iz date tačke u ravan povuku dva nagnuta nagiba, onda je veća od njih ona koja ima veću projekciju na datu ravan.

Na slici 413, dvije nagnute ravni AK i A povučene su iz tačke A u ravan a L i okomito na AN, NK> N L . Zatim po svojstvu: AK> A L .

Primjer 1. Iz tačke u ravan povučene su dvije nagnute kosine čije su dužine 41 cm i 50 cm. Naći projekcije kosih, ako su u omjeru 3:10, i udaljenost od tačke. u avion.

Rješenja. 1) A L = 41 cm; AK = 50 cm (sl. 413). Po svojstvu imamo H L NK. Označimo H L = 3 x cm, NK = 10 x cm, AN = h vidi AN - udaljenost od tačke A do ravniα .

4) Izjednačavanjem dobijamo 41 2 - 9x 2 = 50 2 - 100 x 2; x 2 = 9; x = 3 (s obzirom na x> 0). Dakle, N L = 3 ∙ 3 = 9 (cm), NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm).

Primjer 2. Od ove tačke do nacrtane su dvije nagnute ravni, svakau cm Ugao između nagnutih je 60°, a ugao između njihovih projekcija je ravan. Pronađite udaljenost od tačke do ravni.

Ako kroz neku tačku uzetu izvan prave povučemo pravu okomitu na nju, tada se radi kratkoće odsječak od ove tačke do prave naziva jednom riječju okomito.

Segment CO je okomit na pravu AB. Tačka O se zove osnovicu okomice CO (pirinač).

Ako prava povučena kroz datu tačku siječe drugu pravu, ali nije okomita na nju, tada se njen odsječak od date tačke do točke presjeka s drugom pravom naziva skloni na ovu liniju.

Segment BC - nagnut prema pravoj liniji AO. Tačka C se zove osnovu nagnut (sl.).

Ako spustimo okomice s krajeva nekog segmenta na proizvoljnu pravu, tada se odsječak zatvoren između osnova okomica naziva projekcija segmenta na ovu pravu liniju.

Segment AV - projekcija segmenta AB na EC. Segment OM se također naziva projekcija segmenta OM na EC.

Projekcija segmenta KP okomita na EC biće tačka K (Sl.).

2. Svojstva okomite i kose.

Teorema 1. Okomita povučena iz tačke na pravu manja je od bilo koje kose povučene iz iste tačke na ovu pravu liniju.

Segment AC (sl.) je okomit na pravu liniju OB, a AM je jedna od kosih linija povučena od tačke A do prave OB. Potrebno je dokazati da je AM > AC.

U ΔMAC, segment AM je hipotenuza, a hipotenuza je veća od svake od krakova ovog trougla. Dakle, AM > AC. Pošto smo nagnutu AM uzeli proizvoljno, možemo reći da je svaka nagnuta prava na pravu veća od okomice na ovu pravu (a okomica je kraća od bilo koje nagnute linije) ako se na nju povuče iz iste tačke.

Tačna je i obrnuta izjava, naime: ako je segment AC (slika) manji od bilo kojeg drugog segmenta koji povezuje tačku AC sa bilo kojom tačkom na pravoj liniji OB, onda je on okomit na OB. U stvari, segment AC ne može biti nagnut na OB, jer tada ne bi bio najkraći od segmenta koji spaja tačku A sa tačkama prave linije OB. To znači da može biti samo okomito na OB.

Dužina okomice spuštene iz date tačke na pravu uzima se kao udaljenost od date tačke do ove prave.

Teorema 2. Ako su dvije kose linije povučene na pravu iz iste tačke jednake, onda su njihove projekcije jednake.

Neka su BA i BC nagnute linije povučene od tačke B do prave AC (sl.), a AB = BC. Potrebno je dokazati da su i njihove projekcije jednake.

Da bismo to dokazali, spustimo okomicu BO iz tačke B na AC. Tada će AO i OS biti projekcije kosih AB i BC na pravu liniju AC. Trougao ABC je jednakokrak prema teoremi. VO je visina ovog trougla. Ali visina u jednakokračnom trokutu povučenom prema osnovici je istovremeno i medijana ovog trougla.

Stoga je AO = OS.

Teorema 3 (obratno). Ako dvije kose linije povučene na pravu liniju iz iste tačke imaju jednake projekcije, onda su jedna drugoj jednake.

Neka su AC i CB nagnute prema pravoj liniji AB (sl.). CO ⊥ AB i AO = OB.

Potrebno je dokazati da je AC = BC.

U pravokutnim trouglovima AOC i BOC, kraci AO i OB su jednaki. CO je zajednički krak ovih trouglova. Prema tome, ΔAOC = ΔBOC. Iz jednakosti trouglova slijedi da je AC = BC.

Teorema 4. Ako se dvije nagnute linije povuku iz iste tačke u pravu, onda je veća ona koja ima veću projekciju na ovu pravu.

Neka su AB i BC nagnuti prema pravoj liniji AO; VO ⊥ AO i AO>CO. Potrebno je dokazati da je AB > BC.

1) Kosi se nalaze na jednoj strani okomice.

Ugao ACE je spoljašnji u odnosu na pravougli trougao COB (sl.), pa je stoga ∠ACV > ∠COV, tj. tup je. Iz toga slijedi da je AB > CB.

2) Kosi se nalaze sa obe strane okomice. Da bismo to dokazali, nacrtajmo segment OK = OS na AO iz tačke O i spojimo tačku K sa tačkom B (sl.). Tada prema teoremi 3 imamo: VC = BC, ali AB > VC, dakle, AB > BC, tj. teorema vrijedi i u ovom slučaju.

Teorema 5 (obratno). Ako su dvije nagnute linije povučene iz iste tačke u pravu, tada veća nagnuta linija također ima veću projekciju na ovu pravu liniju.

Neka su KS i VS nagnuti na pravu KV (sl.), SO ⊥ KV i KS > VS. Potrebno je dokazati da je KO > OB.