Kako su determinante direktne i inverzne matrice povezane? Matrična metoda za rješavanje slougha: primjer rješenja pomoću inverzne matrice

Matrična algebra - Inverzna matrica

inverzna matrica

Inverzna matrica je matrica koja, kada se pomnoži i na desnoj i na lijevoj strani datom matricom, daje matricu identiteta.
Označimo inverznu matricu matrice A kroz , tada prema definiciji dobijamo:

Gdje E– matrica identiteta.
Kvadratna matrica pozvao nije posebno (nedegenerisan) ako njegova determinanta nije nula. Inače se zove poseban (degenerisati) ili jednina.

Teorema vrijedi: Svaka nesingularna matrica ima inverznu matricu.

Operacija pronalaženja inverzne matrice se zove žalba matrice. Razmotrimo algoritam inverzije matrice. Neka je data nesingularna matrica n-ti red:

gdje je Δ = det A ≠ 0.

Algebarsko sabiranje elementa matrice n-th red A naziva se determinanta matrice uzete sa određenim predznakom ( n–1)-ti red dobijen brisanjem i-ti red i j th kolona matrice A:

Kreirajmo tzv u prilogu matrica:

gdje su algebarski komplementi odgovarajućih elemenata matrice A.
Imajte na umu da algebarski dodaci elemenata reda matrice A nalaze se u odgovarajućim stupcima matrice à , odnosno matrica se transponira u isto vrijeme.
Podjelom svih elemenata matrice à za Δ – vrijednost determinante matrice A, kao rezultat dobijamo inverznu matricu:

Zapazimo niz posebnih svojstava inverzne matrice:
1) za datu matricu A njena inverzna matrica je jedini;
2) ako postoji inverzna matrica, onda desno nazad I lijevo nazad matrice se poklapaju s njim;
3) singularna (singularna) kvadratna matrica nema inverznu matricu.

Osnovna svojstva inverzne matrice:
1) determinanta inverzne matrice i determinanta originalne matrice su recipročne;
2) inverzna matrica umnoška kvadratnih matrica jednaka je proizvodu inverzne matrice faktora, uzetih obrnutim redoslijedom:

3) transponovana inverzna matrica je jednaka inverznoj matrici date transponovane matrice:

PRIMJER Izračunajte inverznu vrijednost date matrice.

1. Pronađite determinantu originalne matrice. Ako je , tada je matrica singularna i ne postoji inverzna matrica. Ako, onda postoji nedegenerirana i inverzna matrica.

2. Pronađite matricu transponovanu u.

3. Naći algebarske komplemente elemenata i od njih sastaviti pridruženu matricu.

4. Sastavljamo inverznu matricu koristeći formulu.

5. Provjeravamo ispravnost proračuna inverzne matrice, na osnovu njene definicije:.

Primjer. Nađite matricu inverznu od ovoga: .

Rješenje.

1) Matrična determinanta

.

2) Pronađite algebarske komplemente elemenata matrice i od njih sastavite pridruženu matricu:

3) Izračunajte inverznu matricu:

,

4) Provjerite:

№4Matrix rang. Linearna nezavisnost redova matrice

Za rješavanje i proučavanje niza matematičkih i primijenjenih problema važan je koncept ranga matrice.

U matrici veličine, brisanjem svih redaka i stupaca, možete izolirati kvadratne podmatrice th reda, gdje. Determinante takvih podmatrica se nazivaju minori matričnog reda .

Na primjer, iz matrica možete dobiti podmatrice 1., 2. i 3. reda.

Definicija. Rang matrice je najviši red nenultih minora te matrice. Oznaka: ili.

Iz definicije proizilazi:

1) Rang matrice ne prelazi njenu manju dimenziju, tj.

2) ako i samo ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tj.

3) Za kvadratnu matricu n-tog reda ako i samo ako je matrica nesingularna.

Budući da je direktno nabrajanje svih mogućih minora matrice, počevši od najveće veličine, teško (vrijeme), oni koriste elementarne transformacije matrice koje čuvaju rang matrice.

Elementarne matrične transformacije:

1) Odbacivanje nultog reda (kolone).

2) Množenje svih elemenata reda (kolone) brojem.

3) Promena redosleda redova (kolona) matrice.

4) Dodavanje svakom elementu jednog reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone), pomnoženo bilo kojim brojem.

5) Matrična transpozicija.

Definicija. Matrica dobivena iz matrice korištenjem elementarnih transformacija naziva se ekvivalentna i označava se A IN.

Teorema. Rang matrice se ne menja tokom elementarnih transformacija matrice.

Koristeći elementarne transformacije, možete svesti matricu na takozvani oblik koraka, kada izračunavanje njenog ranga nije teško.

Matrica se naziva ešalon ako ima oblik:

Očigledno, rang matrice koraka je jednak broju redova koji nisu nula, jer postoji manji poredak koji nije jednak nuli:

.

Primjer. Odrediti rang matrice koristeći elementarne transformacije.

Rang matrice je jednak broju redova koji nisu nula, tj. .

№5Linearna nezavisnost redova matrice

Date matricu veličine

Označimo redove matrice na sljedeći način:

Dvije linije se pozivaju jednaka , ako su im odgovarajući elementi jednaki. .

Hajde da uvedemo operacije množenja niza brojem i dodavanja nizova kao operacije koje se izvode element po element:

Definicija. Red se naziva linearnom kombinacijom redova matrice ako je jednak zbroju proizvoda ovih redova proizvoljnim realnim brojevima (bilo koji broj):

Definicija. Pozivaju se redovi matrice linearno zavisna , ako postoje brojevi koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da je linearna kombinacija redova matrice jednaka nultom redu:

Gdje . (1.1)

Linearna ovisnost redova matrice znači da je barem 1 red matrice linearna kombinacija ostatka.

Definicija. Ako je linearna kombinacija redova (1.1) jednaka nuli ako i samo ako su svi koeficijenti , tada se redovi nazivaju linearno nezavisna .

Teorema o rangu matrice . Rang matrice je jednak maksimalnom broju njenih linearno nezavisnih redova ili kolona kroz koje su linearno izraženi svi ostali redovi (kolone).

Teorema igra fundamentalnu ulogu u matričnoj analizi, posebno u proučavanju sistema linearnih jednačina.

№6Rješavanje sistema linearnih jednadžbi sa nepoznanicama

Sistemi linearnih jednačina se široko koriste u ekonomiji.

Sistem linearnih jednadžbi sa varijablama ima oblik:

,

gdje () se pozivaju proizvoljni brojevi koeficijenti za varijable I slobodni termini jednadžbi , odnosno.

Kratak unos: ().

Definicija. Rješenje sistema je takav skup vrijednosti, čijom se zamjenom svaka jednačina sistema pretvara u pravu jednakost.

1) Sistem jednačina se zove joint , ako ima barem jedno rješenje, i non-joint, ako nema rješenja.

2) Simultani sistem jednačina se zove siguran , ako ima jedinstveno rješenje, i neizvjesno , ako ima više od jednog rješenja.

3) Pozivaju se dva sistema jednačina ekvivalentan (ekvivalentan ) , ako imaju isti skup rješenja (na primjer, jedno rješenje).

Ova tema je jedna od najomraženijih među studentima. Najgore su, vjerovatno, kvalifikacije.

Trik je u tome što nas sam koncept inverznog elementa (a ne govorim samo o matricama) upućuje na operaciju množenja. Čak iu školskom programu množenje se smatra složenom operacijom, a množenje matrica je generalno posebna tema, kojoj sam posvetio cijeli pasus i video lekciju.

Danas nećemo ulaziti u detalje matričnih proračuna. Prisjetimo se samo: kako se označavaju matrice, kako se množe i šta iz toga slijedi.

Pregled: Množenje matrica

Prije svega, dogovorimo se oko notacije. Matrica $A$ veličine $\left[ m\times n \right]$ je jednostavno tabela brojeva sa tačno $m$ redova i $n$ kolona:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrica) \desno])_(n)\]

Da ne biste slučajno pomiješali redove i kolone (vjerujte, na ispitu možete pobrkati jedan sa dva, a kamoli neke redove), samo pogledajte sliku:

Određivanje indeksa za ćelije matriksa

Šta se dešava? Ako standardni koordinatni sistem $OXY$ postavite u gornji lijevi ugao i usmjerite ose tako da pokrivaju cijelu matricu, onda svaka ćelija ove matrice može biti jedinstveno povezana sa koordinatama $\left(x;y \right)$ - ovo će biti broj reda i kolone.

Zašto je koordinatni sistem postavljen u gornji levi ugao? Da, jer odatle počinjemo čitati bilo kakve tekstove. Vrlo je lako zapamtiti.

Zašto je osa $x$ usmjerena prema dolje, a ne udesno? Opet, jednostavno je: uzmite standardni koordinatni sistem ($x$ osa ide udesno, $y$ osa ide gore) i rotirajte ga tako da pokrije matricu. Ovo je rotacija za 90 stepeni u smeru kazaljke na satu - vidimo rezultat na slici.

Općenito, shvatili smo kako odrediti indekse matričnih elemenata. Pogledajmo sada množenje.

Definicija. Matrice $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, kada se broj kolona u prvoj poklapa sa brojem redova u drugoj, su naziva konzistentan.

Tačno tim redosledom. Može se zbuniti i reći da matrice $A$ i $B$ čine uređeni par $\left(A;B \right)$: ako su konzistentne u ovom redoslijedu, onda uopće nije potrebno da $B $ i $A$ one. par $\left(B;A \right)$ je takođe konzistentan.

Samo uparene matrice se mogu množiti.

Definicija. Proizvod usklađenih matrica $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , čiji se elementi $((c)_(ij))$ izračunavaju prema formuli:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Drugim riječima: da biste dobili element $((c)_(ij))$ matrice $C=A\cdot B$, trebate uzeti $i$-red prve matrice, $j$ -ti stupac druge matrice, a zatim pomnožiti u parovima elemente iz ovog reda i kolone. Zbrojite rezultate.

Da, to je tako oštra definicija. Iz toga odmah slijedi nekoliko činjenica:

1. Množenje matrice, općenito govoreći, nije komutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Međutim, množenje je asocijativno: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Čak i distributivno: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. I još jednom distributivno: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivnost množenja je morala biti opisana odvojeno za lijevi i desni faktor sume upravo zbog nekomutativnosti operacije množenja.

Ako se ispostavi da je $A\cdot B=B\cdot A$, takve matrice se nazivaju komutativne.

Među svim matricama koje se tamo nečim množe, postoje posebne - one koje, kada se pomnože bilo kojom matricom $A$, opet daju $A$:

Definicija. Matrica $E$ se naziva identitetom ako je $A\cdot E=A$ ili $E\cdot A=A$. U slučaju kvadratne matrice $A$ možemo napisati:

Matrica identiteta je čest gost prilikom rješavanja matričnih jednadžbi. I općenito čest gost u svijetu matrica. :)

I zbog ovog $E$, neko je smislio sve gluposti koje će se dalje pisati.

Šta je inverzna matrica

Budući da je množenje matrice vrlo naporna operacija (morate pomnožiti gomilu redova i stupaca), koncept inverzne matrice također se ispostavlja da nije najtrivijalniji. I zahtijeva neko objašnjenje.

Ključna definicija

Pa, vrijeme je da saznamo istinu.

Definicija. Matrica $B$ se zove inverzna matrici $A$ if

Inverzna matrica je označena sa $((A)^(-1))$ (ne treba je brkati sa stepenom!), tako da se definicija može prepisati na sljedeći način:

Čini se da je sve krajnje jednostavno i jasno. Ali kada analiziramo ovu definiciju, odmah se nameće nekoliko pitanja:

1. Da li inverzna matrica uvijek postoji? I ako ne uvijek, kako onda odrediti: kada postoji, a kada ne?
2. A ko je rekao da postoji tačno jedna takva matrica? Šta ako za neku početnu matricu $A$ postoji čitava gomila inverza?
3. Kako izgledaju svi ovi „preokreti“? I kako, tačno, da ih brojimo?

Što se tiče algoritama proračuna, o tome ćemo govoriti nešto kasnije. Ali na preostala pitanja ćemo odmah odgovoriti. Formulirajmo ih u obliku zasebnih iskaza-lema.

Osnovna svojstva

Počnimo od toga kako bi matrica $A$ u principu trebala izgledati da bi za nju postojao $((A)^(-1))$. Sada ćemo se pobrinuti da obje ove matrice moraju biti kvadratne i iste veličine: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada su obje ove matrice kvadratne, i istog reda $n$.

Dokaz. To je jednostavno. Neka je matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Budući da proizvod $A\cdot ((A)^(-1))=E$ postoji po definiciji, matrice $A$ i $((A)^(-1))$ su konzistentne u prikazanom redoslijedu:

\[\begin(poravnati) & \left[ m\puta n \desno]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( poravnati)\]

Ovo je direktna posljedica algoritma množenja matrice: koeficijenti $n$ i $a$ su "tranzitni" i moraju biti jednaki.

Istovremeno je definirano i obrnuto množenje: $((A)^(-1))\cdot A=E$, stoga su matrice $((A)^(-1))$ i $A$ također konzistentan u navedenom redoslijedu:

\[\begin(poravnati) & \left[ a\puta b \desno]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\puts n \right] \\ & b=m \end( poravnati)\]

Dakle, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Međutim, prema definiciji $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, stoga se veličine matrica striktno podudaraju:

\[\početak(poravnati) & \lijevo[ m\puta n \desno]=\lijevo[ n\puta m \desno] \\ & m=n \end(poravnati)\]

Dakle, ispada da su sve tri matrice - $A$, $(A)^(-1))$ i $E$ - kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Lema je dokazana.

Pa, to je već dobro. Vidimo da su samo kvadratne matrice invertibilne. Sada se uvjerimo da je inverzna matrica uvijek ista.

Lema 2. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada je ova inverzna matrica jedina.

Dokaz. Idemo kontradiktorno: neka matrica $A$ ima najmanje dva inverza - $B$ i $C$. Tada su, prema definiciji, tačne sljedeće jednakosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(poravnati)\]

Iz leme 1 zaključujemo da su sve četiri matrice - $A$, $B$, $C$ i $E$ - kvadrati istog reda: $\left[ n\times n \right]$. Dakle, proizvod je definiran:

Pošto je množenje matrice asocijativno (ali ne i komutativno!), možemo napisati:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \desno)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(poravnati)\]

Dobili smo jedinu moguću opciju: dvije kopije inverzne matrice su jednake. Lema je dokazana.

Gornji argumenti ponavljaju gotovo doslovno dokaz jedinstvenosti inverznog elementa za sve realne brojeve $b\ne 0$. Jedini značajan dodatak je uzimanje u obzir dimenzije matrica.

Međutim, još uvijek ne znamo ništa o tome da li je svaka kvadratna matrica inverzibilna. Ovdje nam u pomoć priskače determinanta - ovo je ključna karakteristika za sve kvadratne matrice.

Lema 3. Zadana je matrica $A$. Ako postoji njena inverzna matrica $((A)^(-1))$, tada je determinanta originalne matrice različita od nula:

\[\lijevo| A\desno|\ne 0\]

Dokaz. Već znamo da su $A$ i $((A)^(-1))$ kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Dakle, za svaki od njih možemo izračunati determinantu: $\left| A\desno|$ i $\levo| ((A)^(-1)) \right|$. Međutim, determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti:

\[\lijevo| A\cdot B \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| B \right|\Rightarrow \levo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \desno|\]

Ali prema definiciji, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a determinanta $E$ je uvijek jednaka 1, tako da

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \lijevo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| E\desno|; \\ & \lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(poravnati)\]

Proizvod dva broja jednak je jedan samo ako je svaki od ovih brojeva različit od nule:

\[\lijevo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Dakle, ispada da je $\left| A \right|\ne 0$. Lema je dokazana.

Zapravo, ovaj zahtjev je sasvim logičan. Sada ćemo analizirati algoritam za pronalaženje inverzne matrice - i biće potpuno jasno zašto, sa nultom determinantom, inverzna matrica u principu ne može postojati.

Ali prvo, formulirajmo "pomoćnu" definiciju:

Definicija. Singularna matrica je kvadratna matrica veličine $\left[ n\puta n \right]$ čija je determinanta nula.

Dakle, možemo tvrditi da je svaka invertibilna matrica nesingularna.

Kako pronaći inverz od matrice

Sada ćemo razmotriti univerzalni algoritam za pronalaženje inverznih matrica. Generalno, postoje dva općeprihvaćena algoritma, a danas ćemo razmotriti i drugi.

Ona o kojoj ćemo sada govoriti je vrlo efikasna za matrice veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i - djelimično - veličine $\left[ 3\times 3 \right]$. Ali počevši od veličine $\left[ 4\times 4 \right]$ bolje je ne koristiti je. Zašto - sada ćete sve sami shvatiti.

Algebarski dodaci

Spremiti se. Sada će biti bola. Ne, ne brini: lijepa medicinska sestra u suknji, čarapama sa čipkom neće ti doći i dati ti injekciju u zadnjicu. Sve je mnogo prozaičnije: algebarski dodaci i Njeno Veličanstvo "Matrica Unije" dolaze vam.

Počnimo od glavne stvari. Neka postoji kvadratna matrica veličine $A=\left[ n\times n \right]$, čiji se elementi nazivaju $((a)_(ij))$. Tada za svaki takav element možemo definirati algebarski komplement:

Definicija. Algebarski komplement $((A)_(ij))$ elementu $((a)_(ij))$ koji se nalazi u $i$th redu i $j$toj koloni matrice $A=\left[ n \times n \right]$ je konstrukcija forme

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Gdje je $M_(ij)^(*)$ determinanta matrice dobijene iz originalnog $A$ brisanjem istog $i$th reda i $j$th kolone.

Opet. Algebarski komplement matričnom elementu sa koordinatama $\left(i;j \right)$ označava se kao $((A)_(ij))$ i izračunava se prema šemi:

1. Prvo, brišemo $i$-red i $j$-tu kolonu iz originalne matrice. Dobijamo novu kvadratnu matricu i njenu determinantu označavamo sa $M_(ij)^(*)$.
2. Zatim pomnožimo ovu determinantu sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - u početku ovaj izraz može izgledati zapanjujuće, ali u suštini jednostavno otkrivamo znak ispred $M_(ij)^(*) $.
3. Računamo i dobijamo konkretan broj. One. algebarsko sabiranje je upravo broj, a ne neka nova matrica itd.

Sama matrica $M_(ij)^(*)$ naziva se dodatnim minorom elementu $((a)_(ij))$. I u tom smislu, gornja definicija algebarskog komplementa je poseban slučaj složenije definicije – onoga što smo gledali u lekciji o determinanti.

Važna napomena. Zapravo, u matematici „odraslih“ algebarski sabirci se definiraju na sljedeći način:

1. Uzimamo $k$ redova i $k$ kolona u kvadratnoj matrici. Na njihovom preseku dobijamo matricu veličine $\left[ k\times k \right]$ - njena determinanta se naziva minor reda $k$ i označava se kao $((M)_(k))$.
2. Zatim precrtavamo ove “odabrane” $k$ redove i $k$ kolone. Još jednom dobijate kvadratnu matricu - njena determinanta se zove dodatni minor i označava se kao $M_(k)^(*)$.
3. Pomnožite $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, gdje je $t$ (pažnja!) zbir brojeva svih odabranih redova i kolone. Ovo će biti algebarski dodatak.

Pogledajte treći korak: zapravo postoji zbir termina od $2k$! Druga stvar je što ćemo za $k=1$ dobiti samo 2 člana - to će biti isti $i+j$ - "koordinate" elementa $((a)_(ij))$ za koji smo tražeći algebarski komplement.

Dakle, danas koristimo malo pojednostavljenu definiciju. Ali kako ćemo kasnije vidjeti, to će biti više nego dovoljno. Mnogo je važnija sledeća stvar:

Definicija. Povezana matrica $S$ sa kvadratnom matricom $A=\left[ n\times n \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\times n \right]$, koja se dobija iz $A$ zamjenom $(( a)_(ij))$ algebarskim dodacima $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrica) \desno]\]

Prva pomisao koja se nameće u trenutku realizacije ove definicije je “koliko će se morati izbrojati!” Opustite se: moraćete da računate, ali ne toliko. :)

Pa, sve je ovo jako lepo, ali zašto je potrebno? Ali zašto.

Glavna teorema

Vratimo se malo unazad. Zapamtite, u lemi 3 je navedeno da je invertibilna matrica $A$ uvijek nesingularna (to jest, njena determinanta nije nula: $\left| A \right|\ne 0$).

Dakle, istina je i suprotno: ako matrica $A$ nije singularna, onda je uvijek inverzibilna. Čak postoji i šema pretraživanja za $((A)^(-1))$. Provjeri:

Teorema inverzne matrice. Neka je data kvadratna matrica $A=\left[ n\times n \right]$, a njena determinanta je različita od nule: $\left| A \right|\ne 0$. Tada inverzna matrica $((A)^(-1))$ postoji i izračunava se po formuli:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

A sada - sve je isto, ali čitljivim rukopisom. Da biste pronašli inverznu matricu, trebate:

1. Izračunajte determinantu $\left| \right|$ i uvjerite se da nije nula.
2. Konstruirajte union matricu $S$, tj. izbrojte 100500 algebarskih dodataka $((A)_(ij))$ i postavite ih na mjesto $((a)_(ij))$.
3. Transponirajte ovu matricu $S$, a zatim je pomnožite nekim brojem $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

To je sve! Inverzna matrica $((A)^(-1))$ je pronađena. Pogledajmo primjere:

\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]

Rješenje. Hajde da proverimo reverzibilnost. Izračunajmo determinantu:

\[\lijevo| A\desno|=\lijevo| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Odrednica se razlikuje od nule. To znači da je matrica invertibilna. Kreirajmo matricu sindikata:

Izračunajmo algebarske sabirke:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \lijevo| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+2))\cdot \lijevo| 3\desno|=3. \\ \end(poravnati)\]

Obratite pažnju: determinante |2|, |5|, |1| i |3| su determinante matrica veličine $\left[ 1\puts 1 \right]$, a ne moduli. One. Ako su u determinantama bili negativni brojevi, nema potrebe za uklanjanjem “minusa”.

Ukupno, naša sindikalna matrica izgleda ovako:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(niz) \desno])^(T))=\left[ \begin (niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \desno]\]

OK, sve je gotovo. Problem je riješen.

Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \right]$

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \]

Rješenje. Ponovo izračunavamo determinantu:

\[\početi(poravnati) & \lijevo| \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \right|=\begin(matrica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \desno)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinanta je različita od nule - matrica je invertibilna. Ali sada će biti jako teško: trebamo izbrojati čak 9 (devet, jebem ti mater!) algebarskih dodataka. I svaki od njih će sadržavati determinantu $\left[ 2\puts 2 \right]$. leteo:

\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \desno))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+3))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \desno))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]

Ukratko, matrica sindikata će izgledati ovako:

Dakle, inverzna matrica će biti:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrica) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\kraj (niz) \desno]\]

To je to. Evo odgovora.

Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(niz) \right ]$

Kao što vidite, na kraju svakog primjera izvršili smo provjeru. S tim u vezi, važna napomena:

Ne budite lijeni provjeriti. Pomnožite originalnu matricu sa pronađenom inverznom matricom - trebali biste dobiti $E$.

Izvođenje ove provjere je mnogo lakše i brže od traženja greške u daljim proračunima kada, na primjer, rješavate matričnu jednačinu.

Alternativni način

Kao što sam rekao, teorema inverzne matrice radi odlično za veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (u drugom slučaju, nije tako "odlično" " ), ali za veće matrice počinje tuga.

Ali ne brinite: postoji alternativni algoritam s kojim možete mirno pronaći inverz čak i za matricu $\left[ 10\x 10 \right]$. Ali, kao što se često dešava, da bismo razmotrili ovaj algoritam potrebno nam je malo teorijskog uvoda.

Elementarne transformacije

Među svim mogućim matričnim transformacijama postoji nekoliko posebnih - nazivaju se elementarnim. Postoje tačno tri takve transformacije:

1. Množenje. Možete uzeti $i$-ti red (kolona) i pomnožiti ga bilo kojim brojem $k\ne 0$;
2. Dodatak. Dodajte u $i$-ti red (kolona) bilo koji drugi $j$-ti red (kolona) pomnožen sa bilo kojim brojem $k\ne 0$ (možete, naravno, učiniti $k=0$, ali šta je poenta? ? Ništa se neće promijeniti).
3. Preuređenje. Uzmite $i$th i $j$th redove (kolone) i zamijenite mjesta.

Zašto se ove transformacije nazivaju elementarnim (za velike matrice ne izgledaju tako elementarne) i zašto ih ima samo tri - ova pitanja su izvan okvira današnje lekcije. Stoga, nećemo ulaziti u detalje.

Još jedna stvar je važna: sve ove perverzije moramo izvesti na adjuint matrici. Da, da: dobro ste čuli. Sada će biti još jedna definicija - posljednja u današnjoj lekciji.

Adjoint matrica

Sigurno ste u školi rješavali sisteme jednačina metodom sabiranja. Pa, eto, oduzmite drugu od jedne linije, pomnožite neki red brojem - to je sve.

Dakle: sada će sve biti isto, ali na „odrasli“ način. Spreman?

Definicija. Neka su data matrica $A=\left[ n\times n \right]$ i matrica identiteta $E$ iste veličine $n$. Tada je pridružena matrica $\left[ A\left| U redu. \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\puta 2n \right]$ koja izgleda ovako:

\[\lijevo[ A\lijevo| U redu. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(niz) \desno]\]

Ukratko, uzimamo matricu $A$, desno joj dodjeljujemo matricu identiteta $E$ tražene veličine, odvajamo ih vertikalnom trakom radi ljepote - evo vam adjoint. :)

u čemu je kvaka? Evo šta:

Teorema. Neka je matrica $A$ invertibilna. Razmotrimo pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$. Ako koristite elementarne konverzije nizova dovedite ga u oblik $\left[ E\left| Svijetao. \right]$, tj. množenjem, oduzimanjem i preuređivanjem redova da se od $A$ dobije matrica $E$ s desne strane, tada je matrica $B$ dobijena s lijeve strane inverzna od $A$:

\[\lijevo[ A\lijevo| E\desno. \desno]\na \lijevo[ E\lijevo| Svijetao. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

To je tako jednostavno! Ukratko, algoritam za pronalaženje inverzne matrice izgleda ovako:

1. Napišite pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$;
2. Izvodite elementarne konverzije nizova dok se ne pojavi $E$ umjesto $A$;
3. Naravno, nešto će se pojaviti i na lijevoj strani - određena matrica $B$. Ovo će biti suprotno;
4. PROFIT!:)

Naravno, ovo je mnogo lakše reći nego učiniti. Dakle, pogledajmo nekoliko primjera: za veličine $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\ ]

Rješenje. Kreiramo pridruženu matricu:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Budući da je posljednja kolona originalne matrice popunjena jedinicama, oduzmite prvi red od ostatka:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \strelica prema dolje \\ -1 \\ -1 \\\kraj(matrica)\do \\ & \na \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]

Nema više jedinica, osim prve linije. Ali mi to ne diramo, inače će se novouklonjene jedinice početi "množavati" u trećem stupcu.

Ali možemo dva puta oduzeti drugi red od posljednjeg - dobijamo jedan u donjem lijevom uglu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \strelica prema dolje \\ -2 \\\kraj(matrica)\do \\ & \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]

Sada možemo oduzeti posljednji red od prvog i dva puta od drugog - na ovaj način "nuliramo" prvi stupac:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\početak(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\do \\ & \ na \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Pomnožite drugi red sa −1, a zatim ga oduzmite 6 puta od prvog i dodajte 1 put poslednjem:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) -6 \\ \strelica nagore \\ +1 \\\end (matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Ostaje samo zamijeniti redove 1 i 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\kraj (niz) \desno]\]

Spremni! Desno je tražena inverzna matrica.

Odgovori. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Zadatak. Pronađite inverznu matricu:

\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\kraj (matrica) \desno]\]

Rješenje. Ponovo sastavljamo adjoint:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]

Hajde da se malo rasplačemo, da budemo tužni koliko sada moramo da brojimo... i počnimo da brojimo. Prvo, hajde da "nulimo" prvu kolonu oduzimanjem reda 1 od reda 2 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

Vidimo previše "protiv" u redovima 2-4. Pomnožite sva tri reda sa −1, a zatim spalite treći stupac oduzimanjem reda 3 od ostatka:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (niz) \desno]\početak(matrica) -2 \\ -1 \\ \strelica nagore \\ -2 \\\kraj(matrica)\na \\ & \na \levo[ \begin(niz)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

Sada je vrijeme da se "prži" posljednji stupac originalne matrice: od ostatka oduzmite red 4:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz ) \desno]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]

Završno bacanje: "sagorite" drugu kolonu oduzimanjem reda 2 od redova 1 i 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( niz) \desno]\početak(matrica) 6 \\ \strelica nagore \\ -5 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(niz)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]

I opet je matrica identiteta na lijevoj strani, što znači da je inverzna desno. :)

Odgovori. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrica) \desno]$

OK, sve je gotovo. Provjeri sam - sjeban sam. :)

Matrica $A^(-1)$ se naziva inverznom kvadratne matrice $A$ ako je ispunjen uslov $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdje je $E $ matrica identiteta, čiji je red jednak redu matrice $A$.

Nesingularna matrica je matrica čija determinanta nije jednaka nuli. Prema tome, singularna matrica je ona čija je determinanta jednaka nuli.

Inverzna matrica $A^(-1)$ postoji ako i samo ako je matrica $A$ nesingularna. Ako inverzna matrica $A^(-1)$ postoji, onda je jedinstvena.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje inverza matrice, a mi ćemo pogledati dva od njih. Ova stranica će raspravljati o metodi spojene matrice, koja se smatra standardnom u većini viših matematičkih kurseva. Druga metoda pronalaženja inverzne matrice (metoda elementarnih transformacija), koja uključuje korištenje Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode, razmatra se u drugom dijelu.

Metoda spojene matrice

Neka je data matrica $A_(n\puta n)$. Da bi se pronašla inverzna matrica $A^(-1)$, potrebna su tri koraka:

1. Pronađite determinantu matrice $A$ i uvjerite se da je $\Delta A\neq 0$, tj. da je matrica A nesingularna.
2. Sastavite algebarske komplemente $A_(ij)$ svakog elementa matrice $A$ i napišite matricu $A_(n\puta n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ iz pronađene algebarske dopunjuje.
3. Napišite inverznu matricu uzimajući u obzir formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ se često naziva adjunktnom (recipročnom, povezanom) sa matricom $A$.

Ako se rješenje radi ručno, onda je prva metoda dobra samo za matrice relativno malog reda: drugi (), treći (), četvrti (). Za pronalaženje inverza matrice višeg reda koriste se druge metode. Na primjer, Gaussova metoda, o kojoj se govori u drugom dijelu.

Primjer br. 1

Pronađite inverznu vrijednost matrice $A=\left(\begin(niz) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(niz) \desno)$.

Pošto su svi elementi četvrtog stupca jednaki nuli, onda je $\Delta A=0$ (tj. matrica $A$ je singularna). Pošto je $\Delta A=0$, ne postoji inverzna matrica prema matrici $A$.

Odgovori: matrica $A^(-1)$ ne postoji.

Primjer br. 2

Pronađite inverz matrice $A=\left(\begin(niz) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Izvršite provjeru.

Koristimo metodu spojene matrice. Prvo, pronađimo determinantu date matrice $A$:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Pošto je $\Delta A \neq 0$, onda postoji inverzna matrica, stoga ćemo nastaviti sa rješenjem. Pronalaženje algebarskih komplementa

\begin(poravnano) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(poravnano)

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponiramo rezultirajuću matricu: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ ( rezultirajuća matrica se često naziva pridruženom ili povezanom matricom sa matricom $A$). Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, imamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(niz) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(niz)\desno) =\left(\begin(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(niz)\desno) $$

Dakle, pronađena je inverzna matrica: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\desno) $. Da biste provjerili istinitost rezultata, dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A^(-1)\cdot A=E$. Da bismo manje radili sa razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, iu obliku $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(niz)\desno)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( niz)\desno)\cdot\left(\begin(niz) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(niz)\desno) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(niz) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(niz)\desno) =\left(\begin(niz) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(niz )\desno) =E $$

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Primjer br. 3

Pronađite inverznu matricu za matricu $A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right)$ . Izvršite provjeru.

Počnimo s izračunavanjem determinante matrice $A$. Dakle, determinanta matrice $A$ je:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Pošto je $\Delta A\neq 0$, tada postoji inverzna matrica, stoga ćemo nastaviti sa rješenjem. Pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa date matrice:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(niz)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(niz)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(niz)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(niz)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(niz)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(niz)\right|=37. \end(poravnano) $$

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja i transponiramo je:

$$ A^*=\left(\begin(niz) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(niz) \desno); \; (A^*)^T=\left(\begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno) . $$

Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, dobijamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(niz) \desno)= \lijevo(\begin(niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(niz) \desno) $$

Dakle $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(niz) \desno)$. Da biste provjerili istinitost rezultata, dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A\cdot A^(-1)=E$. Da bismo manje radili sa razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, iu obliku $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(niz)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(niz) \desno)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ kraj(niz) \desno) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(niz) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (niz) \desno) =\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(niz) \right) =E $$

Provjera je bila uspješna, inverzna matrica $A^(-1)$ je ispravno pronađena.

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(niz) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(niz) \desno)$.

Primjer br. 4

Pronađite matricu inverznu matrici $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(niz) \desno)$.

Za matricu četvrtog reda, pronalaženje inverzne matrice pomoću algebarskih sabiranja je donekle teško. Međutim, takvi primjeri se javljaju u testnim radovima.

Da biste pronašli inverznu vrijednost matrice, prvo morate izračunati determinantu matrice $A$. Najbolji način da to učinite u ovoj situaciji je dekomponiranje determinante duž reda (kolone). Odabiremo bilo koji red ili stupac i pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa odabranog reda ili stupca.

Na primjer, za prvi red dobijamo:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(niz)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(niz)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(niz)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(niz)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(niz)\right|=-112. $$

Determinanta matrice $A$ se izračunava pomoću sljedeće formule:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(poravnano) $$

Matrica algebarskih komplemenata: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Adjoint matrica: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Inverzna matrica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Provjera se, po želji, može izvršiti na isti način kao u prethodnim primjerima.

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(niz) \desno) $.

U drugom dijelu ćemo razmotriti još jedan način pronalaženja inverzne matrice, koji uključuje korištenje transformacija Gaussove metode ili Gauss-Jordan metode.

Metode za pronalaženje inverzne matrice. Razmotrimo kvadratnu matricu

Označimo Δ = det A.

Kvadratna matrica A se naziva nedegenerisan, ili nije posebno, ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerisati, ili poseban, AkoΔ = 0.

Kvadratna matrica B je za kvadratnu matricu A istog reda ako je njihov proizvod A B = B A = E, gdje je E matrica identiteta istog reda kao i matrice A i B.

Teorema . Da bi matrica A imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule.

Inverzna matrica matrice A, označena sa A- 1, dakle B = A - 1 a izračunava se po formuli

, (1)

gdje su A i j algebarski komplementi elemenata a i j matrice A..

Izračunavanje A -1 koristeći formulu (1) za matrice visokog reda je vrlo naporno, pa je u praksi zgodno pronaći A -1 metodom elementarnih transformacija (ET). Bilo koja nesingularna matrica A može se svesti na matricu identiteta E primjenom samo stupaca (ili samo redova) na matricu identiteta. Ako se transformacije savršene nad matricom A primjenjuju istim redoslijedom na matricu identiteta E, rezultat će biti inverzna matrica. Pogodno je izvoditi EP na matricama A i E istovremeno, pišući obje matrice jednu do druge kroz liniju. Napomenimo još jednom da kada tražite kanonski oblik matrice, da biste ga pronašli, možete koristiti transformacije redova i stupaca. Ako trebate pronaći inverznu vrijednost matrice, trebali biste koristiti samo redove ili samo stupce tokom procesa transformacije.

Primjer 1. Za matricu naći A -1 .

Rješenje.Prvo nalazimo determinantu matrice A
To znači da inverzna matrica postoji i možemo je pronaći pomoću formule: , gdje su A i j (i,j=1,2,3) algebarski dodaci elemenata a i j originalne matrice.

Gdje .

Primjer 2. Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronađite A -1 za matricu: A = .

Rješenje.Originalnoj matrici na desnoj strani dodjeljujemo matricu identiteta istog reda: . Koristeći elementarne transformacije stupaca, smanjit ćemo lijevu „polovinu“ na identičnu, istovremeno obavljajući potpuno iste transformacije na desnoj matrici.
Da biste to učinili, zamijenite prvi i drugi stupac: ~ . Trećem stupcu dodajemo prvi, a drugom - prvi, pomnožen sa -2: . Od prvog stupca oduzimamo drugi udvostručeni, a od trećeg - drugi pomnožen sa 6; . Dodajmo treću kolonu prvom i drugom: . Pomnožite posljednju kolonu sa -1: . Kvadratna matrica dobijena desno od vertikalne trake je inverzna matrica date matrice A. Dakle,
.