Гармонические колебания. Динамика колебательного движения

Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями.

Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. По способу возбуждения колебания делят на: свободные (собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии.

На рисунках а -е представлены графики зависимости смещения x от времени t (коротко говоря, графики смещения) для некоторых видов колебаний:

а) синусоидальные (гармонические) колебания,

б) прямоугольные колебания,

в) пилообразные колебания,

г) пример колебаний сложного вида,

д) затухающие колебания,

е) нарастающие колебания.

Условия возникновения свободных колебаний: а) при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия; б) силы трения в системе должны быть достаточно малы.

Амплитуда А – модуль максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия.

Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называютнезатухающими, а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.

Время, в течение которого совершается полное колебание, называютпериодом (Т ).

Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершаемых за единицу времени:

Единица частоты колебаний - герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1 .

Циклической иликруговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2p с:

. =рад/с.

Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом:

или (1)

где – периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т. д.), А – амплитуда.

Система, закон движения которой имеет вид (1), называется гармоническим осциллятором . Аргумент синуса или косинуса называется фазой колебаний . Фаза колебания определяет смещение в момент времени t . Начальная фаза определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.

Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия. Уравнение гармонического колебания:

.

Первая производная от по времени дает выражение для скорости движения тела:

Скорость достигает своего максимального значения в момент времени, когда =1, соответственно ‑ является амплитудой скорости. Смещение же точки в этот момент рано нулю = 0.

Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:

где – максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т. е. ускорение и смещение изменяются в противофазе. Видно, что скорость достигает максимального значения, когда колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент смещение и ускорение равны нулю.

Для того чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.

Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k. В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины . Тогда по второму закону динамики имеем:

Если ввести обозначение , то уравнение можно переписать в следующем виде:

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида или . Величина является циклической частотой Период колебаний пружинного маятника:

. (3).

Математический маятник ‑ это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие , на тело будет действовать возвращающая сила . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как , то сила равна . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим , где , имеем: или . Отсюда период колебаний математического маятника: .

Физическим маятником может служить любое тело, которое колеблется относительно оси, не проходящей через центр тяжести. Расстояние между осью колебаний и центром тяжести а . Уравнение движения в этом случае запишется , или для малых значений угла φ: . В итоге имеем уравнение гармонических колебаний с частотой и периодом . В последнем равенстве ввели приведенную длину физического маятника , чтобы сделать формулы для физического и математического маятников идентичными.

В лабораторных исследованиях часто используется крутильный маятник, позволяющий измерять момент инерции твердых тел с высокой точностью. Для таких колебаний момент в довольно широких пределах пропорционален углу закручивания φ.

В § 27 мы выяснили, что при колебательном движении ускорение переменно. Следовательно, это движение обусловлено действием переменной силы. Пусть под действием переменной силы материальная точка массой совершает гармоническое колебание с ускорением а. Тогда, учитывая формулу (5), можно написать

Таким образом, сила, вызывающая гармоническое колебание, пропорциональна смещению и направлена против смещения. В связи с этим можно дать следующее определение гармонического колебания (кроме данного в § 27): гармоническим называется колебание,

вызываемое силой, пропорциональной смещению и направленной против смещения. Эта сила стремится возвратить точку в положение равновесия, поэтому ее называют возвращающей силой. Возвращающей силой может быть, например, сила упругости, так как она тоже пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку (см. § 10). Возвращающие силы могут иметь и иную, не упругую природу. В этих случаях они называются квазиупругими силами.

Если известны масса материальной точки и коэффициент то из формулы (10) можно определить круговую частоту и период колебания:

Рассмотрим теперь механическую колебательную систему, называемую физическим маятником; это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести относительно горизонтальной оси. Обычно физический маятник представляет собой стержень с утяжеленным концом; другой его конец подвижно связан с горизонтальной осью В, перпендикулярной к стержню (рис. 51). Отклоненный от положения равновесия на угол а, маятник под действием силы тяжести возвращается к этому положению, переходит его по инерции, отклоняется в противоположную сторону, затем опять переходит положение равновесия и т. д. Если трение в подвесе мало, то маятник будет колебаться очень долго. Центр тяжести маятника С будет описывать дугу окружности Условимся считать угол а положительным при отклонении маятника вправо от положения равновесия и отрицательным - при отклонении влево.

Возвращающая сила

где масса маятника. Знак минус обусловлен тем, что направления силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых отклонениях рад а а. Тогда

где дуговое смещение центра тяжести маятника от положения равновесия, длина маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести). Таким образом, возвращающая сила оказывается пропорциональной смещению и противоположной ему по знаку (т. е. является квазиупругой силой). Следовательно, колебания маятника гармонические.

В соответствии с основным законом динамики вращения (см. § 21) момент возвращающей силы выразится соотношением:

где - момент инерции маятника относительно оси подвеса, - угловое ускорение. Тогда

Так как (см. § 6), то, учитывая формулу (5), можем написать

где (о - круговая частота колебаний маятника. Сопоставляя формулы (13) и (14), получим

откуда найдем выражения круговой частоты и периода колебаний физического маятника:

На практике часто оказывается возможным рассматривать физический маятник как математический. Математическим маятником называется материальная точка, колеблющаяся на невесомой и недеформируемой нити (рис. 52). Согласно определению момента инерции материальной точки.(см. § 21), момент инерции математического маятника

где масса материальной точки, длина нити. Подставляя это значение в формулу (16), получим окончательное выражение периода колебаний математического маятника:

Из формулы (17) следует, что

при малых отклонениях а период колебания математического маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, обратно пропорционален квадратному корню из ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.

легкие

сердце

Тема урока: «Свободные и вынужденные колебания. Динамика колебательного движения».

• Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Основные виды колебаний

вынужденные

свободные

называют колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

называют колебания в системе под действием внутренних сил, после того, как система была выведена из положения равновесия и предоставлена затем самой себе.

Маятник – подвешенное на нити или закреплённое на оси тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести

Виды маятников

Пружинный - тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания под действием силы упругости пружины.

Математический (нитяной) - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити.

Условия возникновения колебаний

• При выведении тела из положения равновесия в системе возникать сила, направленная к положению равновесия и, следовательно, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

• Трение в системе должно быть достаточно мало.

• Амплитуда – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

х max или А

Измеряется в метрах

• Период Т – время одного полного колебания.

Измеряется в секундах

Период колебаний

Для математического

маятника

Для пружинного

маятника

(Формула Гюйгенса)

Частота - число полных колебаний за единицу времени.

Измеряется в Герцах

• Циклическая (круговая) частота колебаний – частота, равная числу колебаний, совершаемых материальной точкой за

Измеряется в радианах в секунду

Мир колебаний

• Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике.
• крылья насекомых и птиц в полете,
• высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра,
• маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения
• уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

Немного истории…

Галилео Галилей (1564-1642)

Великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания.

Однажды в церкви он наблюдал, как качалась огромная люстра, и засекал время по своему пульсу. Позже он открыл, что время, за которое происходит один взмах, зависит от длины маятника - время наполовину уменьшается, если укоротить маятник на три четверти.

Немного истории…

Наиболее известным практическим использованием маятника является применение его в часах для измерения времени. Впервые это сделал голландский физик Х. Гюйгенс. Задачей о создании и совершенствовании часов, прежде всего маятниковых, учёный занимался почти сорок лет: с 1656 по 1693 г. Гюйгенс вывел формулу для определения периода колебаний математического маятника. До этого, время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи.

Маятник Фуко

В 1850 г. Ж. Фуко подвесил маятник под куполом высокого здания так, что остриё маятника при качании оставляло след на песке, насыпанном на полу. Оказалось, что при каждом качении острие оставляет на песке новый след.

Таким образом, опыт Фуко показал, что Земля вращается вокруг своей оси.

В начале опыт был выполнен в узком кругу, но так заинтересовал Наполеона III , французского императора, что он предложил Фуко повторить его публично в грандиозном масштабе под куполом Пантеона в Париже. Эту публичную демонстрацию и принято называть опытом Фуко.

В геологии маятник применяют для опытного определения числового значения g в разных точках земной поверхности. Для этого по достаточно большому числу колебаний маятника в том месте, где измеряют g , находят период его колебаний Т, а g считают по формуле:

Заметное отклонение величины g от нормы для какой-либо местности называют гравитационной аномалией. Определение аномалий помогает находить залежи полезных ископаемых.

Лабораторная работа "Определение ускорения свободного падения при помощи маятника"

Цель работы: на опыте научиться измерять ускорение свободного падения с помощью математического маятника.

Оборудование: штатив, шарик на нити, часы, линейка.

Из трех предложенных стихов выбери одно, характеризующее твоё состояние на конец урока .

1.Искрятся глаза, Смеется душа, И ум мой поет: «К знаниям вперед»!

2. Не весел я сегодня, В тишине взгрустнулось мне, Все о колебаниях Промчалось вдалеке.

3. Вспоминая все познания свои, И физики мир постигая, Я благодарен матушке судьбе, Что колебания в мире есть

и нам их всех не счесть!

>> Динамика колебательного движения

§21 ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона .

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости. Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение его равно равнодействующей всех сил, приложенных к телу:

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим

Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будкм считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах,

Если угол мал, то проекция ускорения примерно равна проекции ускорения на ось ОХ: (см. рис. 3.5). Из треугольника АВО для малого угла а имеем:

Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла , получим

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) для ускорения шарика, прикрепленного к пружине. Следовательно, и решение этого уравнения будет иметь тот же вид, что и решение уравнения (3.4). Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и тела маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. Умножив уравнения (3.4) и (3.10) на m и вспомнив второй закон Ньютона mа x = Fх рез, можно сделать вывод, что колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Уравнение (3.4), как и (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

ЛЕКЦИЯ №8

Механика

Колебания

Колебательное движение. Кинематические и динамические характеристики колебательного движения. Математический, физический и пружинный маятник.

Мы живем в мире, где колебательные процессы являются неотъемлемой частью нашего мира и встречаются повсеместно.

Колебательным процессом или колебанием называется процесс, отличающийся той или иной степенью повторяемости.

Если колеблющаяся величина повторяет свои значения через равные промежутки времени, то такие колебания называются периодическими, а эти промежутки времени называются периодом колебания.

В зависимости от физической природы явления различают колебания: механические, электромеханические, электромагнитные и т.д.

Колебания широко распространены природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе некоторых отраслей механики. В рамках этого курса лекций мы будем говорить только о механических колебаниях.

В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают колебания: 1. Свободные или собственные, 2. Вынужденные колебания, 3. Автоколебания, 4. Параметрические колебания.

Свободными колебаниями называются колебания происходящие без внешнего воздействия и вызванные первоначальным «толчком».

Вынужденные колебания происходят под действием периодической внешней силы

Автоколебания так же совершаются под действием внешней силы, но момент воздействия силы на систему определяется самой колебательной системой.

При параметрических колебаниях за счет внешних воздействий происходит периодическое изменение параметров системы, которое и вызывает этот тип колебаний .

Простейшими по форме являются гармонические колебания

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по закону sin или cos . Примером гармонических колебаний является колебание математического маятника

Максимальное отклонение колеблющейся величины в процессе колебаний называетсяамплитудой колебаний (А). Время, за которое совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний (Т). Обратная величина периоду колебаний называется частотой колебаний (). Часто колебаний умноженная на 2 называется циклической частотой (). Таким образом гармонические колебания описываются выражением

Здесь ( t +  0 ) фаза колебания, а  0 – начальная фаза

Простейшими механическими колебательными системами являются так называемые: математический, пружинный и физический маятники. Рассмотрим эти маятники более подробно

8.1. Математический маятник

Математическим маятником называется колебательная система состоящая из массивного точечного тела подвешенного в поле сил тяжести на нерастяжимой невесомой нити.

В нижней точке маятник обладает минимумом потенциальной энергии. Отклоним маятник на угол  . Центр тяжести массивного точечного тела поднимется на высоту  h и при этом потенциальная энергия маятника возрастет на величину mg  h . Кроме того в отклоненном положении на груз действует сила тяжести и сила натяжения нити. Линии действия этих сил не совпадают, и на груз действует результирующая сила стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Если груз не удерживать, то под действием этой силы он начнет перемещаться в исходное равновесное положение, его кинетическая энергия вследствие возрастания скорости будет увеличиваться, при этом потенциальная энергия будет уменьшаться. При достижении точки равновесия на тело уже не будет действовать результирующая сила (сила тяжести в этой точке компенсируется силой натяжения нити). Потенциальная энергия тела в этой точке будет минимальна, а кинетическая энергия напротив, будет иметь свое максимальное значение. Тело, двигаясь по инерции, пройдет положение равновесия и начнет от него удаляться, что приведет к возникновению результирующей силы (от силы натяжения и силы тяжести), которая будет направлена против движения тела, тормозя его. При этом начинается уменьшение кинетической энергии груза и возрастания его потенциальной энергии. Этот процесс будет продолжаться до полного исчерпания запасов кинетической энергии и перехода ее в потенциальную. При этом отклонение груза от положения равновесия достигнет максимальной величины и процесс повторится. Если в системе нет трения, колебания груза будут происходить бесконечно долгое время.

Таким образом, колебательные механические системы характеризуются тем, что при отклонении их из положения равновесия в системе возникает возвращающая сила стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. При этом возникают колебания сопровождающиеся периодическим переходом потенциальной энергии системы в ее кинетическую энергию и обратно.

Рассчитаем колебательный процесс. Момент сил М действующий на маятник очевидно равен - mglsin  Знак минус отражает тот факт, что момент сил стремится вернуть груз в положение равновесия. С другой стороны по основному закону вращательного движения М= Id 2  / dt 2 . Таким образом, получим равенство

Б
удем рассматривать только малые углы отклонения маятника из положения равновесия. Тогдаsin  ≈  . И наше равенство примет вид:

Д
ля математического маятника справедливоI = ml 2 . Подставляя это равенство в полученное выражение, получаем уравнение описывающее процесс колебания математического маятника:

Это дифференциальное уравнение описывает колебательный процесс. Решением этого уравнения являются гармонические функции sin ( t +  0 ) или cos ( t +  0 ) Действительно подставим любую из этих функций в уравнение и получим:  2 = g / l . Таким образом, если это условие выполнено, то функции sin ( t +  0 ) или cos ( t +  0 ) превращают дифференциальное уравнение колебаний в тождество.

О
тсюда циклическая частота и период колебаний гармонического маятника выражается как:

Амплитуда колебаний находится из начальных условий задачи.

Как видим, частота и период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и зависят только от ускорения свободного падения и длины нити подвеса, что позволяет использовать маятник как простой, но очень точный прибор для определения ускорения свободного падения.

Другим видом маятника является любое физическое тело, подвешенное за какую либо точку тела и имеющее возможность совершать колебательное движение.

8.2. Физический маятник

Возьмем произвольное тело, пронзим его в какой либо точке несовпадающей с его центром масс осью вокруг которой тело может свободно поворачиваться. Подвесим тело на этой оси, и отклоним его из положения равновесия на некоторый угол .

Т
огда на тело с моментом инерцииI относительно оси О будет действовать возвращающий в положение равновесия момент М = - mglsin  и колебания физического маятника как и математического будут описываться дифференциальным уравнением:

Так как для разных физических маятников момент инерции будет выражаться по разному, то его не будем расписывать как в случае с математическим маятником. Это уравнение так же имеет вид уравнения колебаний, решением которого являются функции описывающие гармонических колебаний. При этом циклическая частота ( ) , период колебаний (Т) определяются как:

Мы видим, что в случае физического маятника период колебаний зависит от геометрии тела маятника, а не от его массы, как и в случае математического маятника. Действительно в выражение для момента инерции входит масса маятника в первой степени. Момент инерции в выражении для периода колебаний стоит в числителе, в то время как масса маятника входит в знаменатель и тоже в первой степени. Таким образом, масса в числителе сокращается с массой в знаменателе.

Физический маятник обладает еще одной характеристикой это приведенная длина.

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника период, которого совпадает с периодом физического маятника.

Это определение позволяет легко определить выражение для приведенной длины.

Сравнивая эти выражения получим

Если на линии проведенной от точки подвеса через центр масс физического маятника отложить (начиная от точки подвеса) приведенную длину физического маятника, то в конце этого отрезка будет точка, которая обладает замечательным свойством. Если физический маятник подвесить за эту точку, то его период колебаний будет тот же, что и в случае подвешивания маятника в прежней точке подвеса. Эти точки называются центрами качания физического маятника.

Рассмотрим еще одну простейшую колебательную систему совершающую гармонические колебания

8.3. Пружинный маятник

Представим, что к концу пружины с коэффициентом жесткостиk прикреплен груз массой m .

Если мы переместим груз вдоль оси х растянув пружину то на груз будет действовать возвращающая в положение равновесия сила F возвр = - kx . Если груз отпустить, то эта сила вызовет ускорение d 2 x / dt 2 . Согласно второму закону Ньютона мы получим:

md 2 x / dt 2 = - kx из этого уравнения получаем уравнение колебания груза на пружине в окончательном виде: d 2 x / dt 2 + (k / m ) x = 0

Э
то уравнение колебаний имеет такой же вид как и уравнения колебаний в уже рассматриваемых случаях, а это значит, что решением этого уравнения будут такие же гармонические функции. Частота и период колебаний будут соответственно равны

Причем сила тяжести ни коем образом не влияет на колебания пружинного маятника. Так как в этом случае она является постоянно действующим фактором, действующим все время в одну сторону и не имеющая ничего общего с возвращающей силой.

Таким образом как мы видим колебательный процесс в механической колебательной системе характеризуется прежде всего наличие в системе возвращающей силы действующей на систему, а сами колебания характеризуются: амплитудой колебания их периодом, частотой и фазой колебаний.