Нежить

Як пов'язані визначники прямої та зворотної матриці. Матричний метод вирішення слау: приклад рішення за допомогою зворотної матриці

Матрична алгебра - Зворотня матриця

зворотна матриця

Зворотною матрицеюназивається матриця, яка при множенні як праворуч, так і ліворуч на дану матрицю дає одиничну матрицю.
Позначимо зворотну матрицю до матриці Ачерез , тоді згідно з визначенням отримаємо:

де Е- одинична матриця.
Квадратна матрицяназивається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю. Інакше вона називається особливою (виродженою) або сингулярною.

Має місце теорема: всяка неособлива матриця має зворотну матрицю.

Операція знаходження зворотної матриці називається зверненнямматриці. Розглянемо алгоритм обігу матриці. Нехай дана неособлива матриця n-го порядку:

де Δ = det A ≠ 0.

Алгебраїчним доповненням елементаматриці n-го порядку Аназивається взятий з певним знаком визначник матриці ( n-1)-го порядку, отриманої викресленням i-ого рядка та j-го стовпця матриці А:

Складемо так звану приєднануматрицю:

де - алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці А.
Зауважимо, що доповнення алгебри елементів рядків матриці Арозміщуються у відповідних стовпцях матриці Ã тобто одночасно проводиться транспонування матриці.
Розділивши всі елементи матриці Ã на Δ – величину визначника матриці А, Отримаємо в результаті зворотну матрицю:

Відзначимо ряд особливих властивостей зворотної матриці:
1) для даної матриці Аїї зворотна матриця є єдиною;
2) якщо існує зворотна матриця, то права зворотнаі ліва зворотнаматриці збігаються з нею;
3) особлива (вироджена) квадратна матриця немає зворотної матриці.

Основні властивості зворотної матриці:
1) визначник зворотної матриці та визначник вихідної матриці є зворотними величинами;
2) зворотна матриця добутку квадратних матриць дорівнює добутку зворотних матриць співмножників, взятому у зворотному порядку:

3) транспонована зворотна матриця дорівнює зворотній матриці від даної транспонованої матриці:

П р і м е р. Обчислити матрицю, обернену даною.

1. Знаходимо визначник вихідної матриці. Якщо , то матриця-вироджена і зворотної матриці не існує. Якщо, то матриця невироджена і зворотна матриця існує.

2. Знаходимо матрицю, транспоновану до.

3. Знаходимо додатки алгебри елементів і складаємо з них приєднану матрицю.

4. Складаємо зворотну матрицю за формулою.

5. Перевіряємо правильність обчислення зворотної матриці , з її визначення:.

приклад.Визначити матрицю, обернену цієї: .

Рішення.

1) Визначник матриці

2) Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці і складаємо з них приєднану матрицю:

3) Обчислюємо зворотну матрицю:

4) Перевіряємо:

№4Ранг матриці. Лінійна незалежність рядків матриці

Для вирішення та дослідження низки математичних та прикладних завдань важливе значення має поняття рангу матриці.

У матриці розміром викресленням будь-яких рядків і стовпців можна вичленувати квадратні підматриці-го порядку, де. Визначники таких підматриць називаються мінорами -го порядку матриці .

Наприклад, з матриць можна отримати підматриці 1, 2 та 3-го порядку.

Визначення.Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Позначення:або.

З визначення випливає:

1) Ранг матриці вбирається у меншого її розмірів, тобто.

2) тоді і лише тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто.

3) Для квадратної матриці n-го порядку і тоді, коли матриця- невырожденная.

Оскільки безпосередній перебір всіх можливих мінорів матриці, починаючи з найбільшого розміру, скрутний (трудомісткий), то користуються елементарними перетвореннями матриці, що зберігають ранг матриці.

Елементарні перетворення матриці:

1) Відкидання нульового рядка (стовпця).

2) Розмноження всіх елементів рядка (стовпця) на число .

3) Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4) Додаток до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

5) Транспонування матриці.

Визначення.Матриця, отримана з матриці за допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентною і позначається А У.

Теорема.Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого ступінчастого вигляду, коли обчислення її рангу не важко.

Матриця називається ступінчастою якщо вона має вигляд:

Вочевидь, що ранг ступінчастої матриці дорівнює числу ненульових рядків , т.к. є мінор-го порядку, не рівний нулю:

приклад.Визначити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень.

Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків, тобто. .

№5Лінійна незалежність рядків матриці

Дано матрицю розміру

Позначимо рядки матриці наступним чином:

Два рядки називаються рівними якщо рівні їхні відповідні елементи. .

Введемо операції множення рядка на число та додавання рядків як операції, що проводяться поелементно:

Визначення.Рядок називається лінійною комбінацією рядків матриці, якщо вона дорівнює сумі творів цих рядків на довільні дійсні числа (будь-які числа):

Визначення.Рядки матриці називаються лінійно залежними , якщо є такі числа , не рівні одночасно нулю, що лінійна комбінація рядків матриці дорівнює нульовому рядку:

Де. (1.1)

Лінійна залежність рядків матриці означає, що хоча б 1 рядок матриці є лінійною комбінацією інших.

Визначення.Якщо лінійна комбінація рядків (1.1) дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли всі коефіцієнти , то рядки називаються лінійно незалежними .

Теорема про ранг матриці . Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків або стовпців, через які лінійно виражаються всі інші рядки (стовпці).

Теорема відіграє важливу роль матричному аналізі, зокрема, щодо систем лінійних рівнянь.

№6Вирішення системи лінійних рівнянь з невідомими

Системи лінійних рівнянь знаходять широке застосування економіки.

Система лінійних рівнянь спеременними має вигляд:

де () - довільні числа, звані коефіцієнтами при змінних і вільними членами рівнянь відповідно.

Короткий запис: ().

Визначення.Рішенням системи називається така сукупність значень, при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну рівність.

1) Система рівнянь називається спільної , якщо вона має хоча б одне рішення, та несуміснийякщо вона не має рішень.

2) Спільна система рівнянь називається певною , якщо вона має єдине рішення, та невизначеною якщо вона має більше одного рішення.

3) Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними ) якщо вони мають одну і ту ж безліч рішень (наприклад, одне рішення).

Ця тема є однією з найненависніших серед студентів. Гірше, мабуть, лише визначники.

Фішка в тому, що саме поняття зворотного елемента (і я зараз не лише про матриці) відсилає нас до операції множення. Навіть у шкільній програмі множення вважається складною операцією, а множення матриць — взагалі окрема тема, якій у мене присвячений цілий параграф і відеоурок.

Сьогодні ми не будемо вдаватися до подробиць матричних обчислень. Просто згадаємо: як позначаються матриці, як вони множаться і що з цього випливає.

Повторення: множення матриць

Насамперед домовимося про позначення. Матрицею $A$ розміру $\left[ m\times n \right]$ називається просто таблиця з чисел, в якій рівно $m$ рядків і $n$ стовпців:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Щоб випадково не переплутати рядки та стовпці місцями (повірте, на іспиті можна і одиницю з двійкою переплутати — що вже казати про якісь там рядки), просто погляньте на картинку:

Визначення індексів для клітин матриці

Що відбувається? Якщо розмістити стандартну систему координат $OXY$ у лівому верхньому кутку і направити осі так, щоб вони охоплювали всю матрицю, то кожній клітині цієї матриці можна однозначно зіставити координати $\left(x;y \right)$ - це і буде номер рядка і номер стовпця.

Чому система координат розміщена саме у лівому верхньому кутку? Бо саме звідти ми починаємо читати будь-які тексти. Це просто запам'ятати.

А чому вісь $x$ спрямована саме вниз, а не праворуч? Знову все просто: візьміть стандартну систему координат (вісь $x$ йде вправо, вісь $y$ вгору) і поверніть її так, щоб вона охоплювала матрицю. Це поворот на 90 градусів за годинниковою стрілкою – його результат ми й бачимо на картинці.

Загалом, як визначити індекси у елементів матриці, ми розібралися. Тепер розберемося з множенням.

Визначення. Матриці $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, коли кількість стовпців у першій збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.

Саме у такому порядку. Можна сумніватися і сказати, мовляв, матриці $A$ і $B$ утворюють впорядковану пару $\left(A;B \right)$: якщо вони узгоджені в такому порядку, то необов'язково, що $B$ і $A$, тобто. пара $ \ left (B; A \ right) $ - теж узгоджена.

Помножувати можна лише узгоджені матриці.

Визначення. Твір узгоджених матриць $A=\left[m\times n\right]$ і $B=\left[n\times k \right]$ - це нова матриця $C=\left[m\times k \right]$ елементи якої $((c)_(ij))$ вважаються за формулою:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Іншими словами: щоб отримати елемент $((c)_(ij))$ матриці $C=A\cdot B$, потрібно взяти $i$-рядок першої матриці, $j$-й стовпець другої матриці, а потім попарно перемножити елементи з цього рядка та стовпця. Результати скласти.

Так, ось таке суворе визначення. З нього відразу випливає кілька фактів:

Множення матриць, взагалі кажучи, некомутативно: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
Однак множення асоціативно: $ \ left (A cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
І навіть дистрибутивно: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A cdot C + B cdot C $;
І ще раз дистрибутивно: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

Дистрибутивність множення довелося окремо описувати для лівого та правого множника-суми якраз через некомутативність операції множення.

Якщо все ж таки виходить так, що $A cdot B = B cdot A $, такі матриці називаються перестановочними.

Серед усіх матриць, які там на щось множаться, є особливі ті, які при множенні на будь-яку матрицю $A$ знову дають $A$:

Визначення. Матриця $E$ називається одиничною, якщо $A\cdot E=A$ або $E\cdot A=A$. У випадку з квадратною матрицею $A$ можемо записати:

Поодинока матриця - частий гість під час вирішення матричних рівнянь. І взагалі найчастіший гість у світі матриць.:)

А ще через цю $E$ дехто вигадав всю ту дичину, яка буде написана далі.

Що таке зворотна матриця

Оскільки множення матриць - дуже трудомістка операція (доводиться перемножувати купу рядків і стовпців), то поняття зворотної матриці теж виявляється не найбільш очевидним. І потребує деяких пояснень.

Ключове визначення

Що ж, настав час пізнати істину.

Визначення. Матриця $B$ називається зворотною до матриці $A$ , якщо

Зворотна матриця позначається через $((A)^(-1))$ (не плутати зі ступенем!), тому визначення можна переписати так:

Здавалося б, все дуже просто і ясно. Але під час аналізу такого визначення відразу виникає кілька питань:

Чи завжди є зворотна матриця? І якщо не завжди, то як визначити: коли вона існує, а коли ні?
А хто сказав, що така матриця одно? Раптом для деякої вихідної матриці $A$ знайдеться ціла юрба зворотних?
Як виглядають усі ці «зворотні»? І як, власне, їх рахувати?

Щодо алгоритмів обчислення – про це ми поговоримо трохи згодом. Але на інші питання відповімо зараз. Оформимо їх у вигляді окремих тверджень-лем.

Основні властивості

Почнемо з того, як у принципі має виглядати матриця $A$, щоб для неї існувала $((A)^(-1))$. Зараз ми переконаємося в тому, що обидві ці матриці повинні бути квадратними, причому одного розміру: $ \ left [n \ times n \ right] $.

Лемма 1 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді обидві ці матриці квадратні, причому однакового порядку $ n $.

Доведення. Все просто. Нехай матриця $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Оскільки добуток $A\cdot ((A)^(-1))=E$ за визначенням існує, матриці $A$ і $((A)^(-1))$ узгоджені у вказаному порядку:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( align)\]

Це прямий наслідок алгоритму перемноження матриць: коефіцієнти $n$ і $a$ є «транзитними» і мають бути рівними.

Водночас визначено і зворотне множення: $((A)^(-1))\cdot A=E$, тому матриці $((A)^(-1))$ і $A$ також узгоджені у вказаному порядку:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( align)\]

Отже, без обмеження спільності можемо вважати, що $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Однак згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, тому розміри матриць суворо збігаються:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Ось і виходить, що всі три матриці - $ A $, $ ((A) ^ (-1)) $ і $ E $ - є квадратними розміром $ \ left [n \ times n \ right] $. Лемма доведена.

Що ж, уже непогано. Ми, що оборотними бувають лише квадратні матриці. Тепер переконаємося, що зворотна матриця завжди одна.

Лемма 2 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді ця зворотна матриця єдина.

Доведення. Підемо від протилежного: нехай матриця $A$ має хоча б два екземпляри зворотних —$B$ і $C$. Тоді, згідно з визначенням, вірні такі рівності:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \end(align)\]

З леми 1 ми укладаємо, що всі чотири матриці - $ A $, $ B $, $ C $ і $ E $ - є квадратними однакового порядку: $ \ left [n \ times n \ right] $. Отже, визначено твір:

Оскільки множення матриць асоціативно (але не комутативно!), ми можемо записати:

\\\\\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \ \ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \end(align)\]

Отримали єдино можливий варіант: два екземпляри зворотної матриці рівні. Лемма доведена.

Наведені міркування майже дослівно повторюють доказ єдиність зворотного елемента всім дійсних чисел $b\ne 0$. Єдине істотне доповнення - облік розмірності матриць.

Втім, ми досі нічого не знаємо про те, чи квадратна матриця є оборотною. Тут нам на допомогу приходить визначник це ключова характеристика для всіх квадратних матриць.

Лемма 3 . Дано матрицю $A$. Якщо зворотна до неї матриця $((A)^(-1))$ існує, то визначник вихідної матриці відмінний від нуля:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Доведення. Ми вже знаємо, що $A$ і $((A)^(-1))$ — квадратні матриці розміру $\left[ n\times n \right]$. Отже, кожної з них можна обчислити визначник: $\left| A \right|$ і $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Проте визначник твору дорівнює твору визначників:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

Але згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=E$, а визначник $E$ завжди дорівнює 1, тому

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Добуток двох чисел дорівнює одиниці тільки в тому випадку, коли кожне з цих чисел відмінно від нуля:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Ось і виходить, що $ \ left | A \right|\ne 0$. Лемма доведена.

Насправді ця вимога є цілком логічною. Зараз ми розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці - і стане зрозуміло, чому за нульового визначника ніякої зворотної матриці в принципі не може існувати.

Але для початку сформулюємо «допоміжне» визначення:

Визначення. Вироджена матриця - це квадратна матриця розміру $ \ left [n \ times n \ right] $, чий визначник дорівнює нулю.

Таким чином, ми можемо стверджувати, що будь-яка оборотна матриця є невиродженою.

Як знайти зворотну матрицю

Зараз розглянемо універсальний алгоритм знаходження зворотних матриць. Взагалі, існує два загальноприйняті алгоритми, і другий ми також сьогодні розглянемо.

Той, який буде розглянутий зараз, дуже ефективний для матриць розміру $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і - частково - розміру $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. А ось починаючи з розміру $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ його краще не застосовувати. Чому зараз самі все зрозумієте.

Алгебраїчні доповнення

Готуйтеся. Нині буде біль. Ні, не хвилюйтеся: до вас не йде красива медсестра у спідниці, панчохах з мереживом і не зробить укол у сідницю. Все куди прозаїчніше: до вас йдуть алгебраїчні доповнення та її Величність «Союзна Матриця».

Почнемо з головного. Нехай є квадратна матриця розміру $ A = \ left [n \ times n \ right] $, елементи якої іменуються $ ((a)_ (ij)) $. Тоді для кожного такого елемента можна визначити додаток алгебри:

Визначення. Алгебраїчне доповнення $((A)_(ij))$ до елемента $((a)_(ij))$, що стоїть у $i$-му рядку і $j$-му стовпці матриці $A=\left[ n \times n \right]$ - це конструкція виду

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Де $M_(ij)^(*)$ — визначник матриці, отриманої з вихідної $A$ викреслюванням того самого $i$-го рядка і $j$-го стовпця.

Ще раз. Додаток алгебри до елемента матриці з координатами $\left(i;j \right)$ позначається як $((A)_(ij))$ і вважається за схемою:

Спочатку викреслюємо з вихідної матриці $i$-рядок і $j$-й стовпець. Отримаємо нову квадратну матрицю і її визначник ми позначаємо як $M_(ij)^(*)$.
Потім множимо цей визначник на $((\left(-1 \right))^(i+j))$ — спочатку цей вираз може здатися мозковиносним, але по суті ми просто з'ясовуємо знак перед $M_(ij)^(*) $.
Вважаємо - отримуємо конкретне число. Тобто. Додаток алгебри — це саме число, а не якась нова матриця і т.д.

Саму матрицю $M_(ij)^(*)$ називають додатковим мінором до елемента $((a)_(ij))$. І в цьому сенсі наведене вище визначення алгебраїчного доповнення є окремим випадком складнішого визначення того, що ми розглядали в уроці про визначник.

Важливе зауваження. Загалом у «дорослій» математиці алгебраїчні доповнення визначаються так:

Беремо у квадратній матриці $k$ рядків і $k$ стовпців. На їх перетині вийде матриця розміру $ \ left [k \ times k \ right] $ - її визначник називається мінором порядку $ k $ і позначається $ ((M)_ (k)) $.

Потім викреслюємо ці «вибрані» $k$ рядків і $k$ стовпців. Знову вийде квадратна матриця - її визначник називається додатковим мінором і позначається $ M_(k) ^ (*) $.

Помножуємо $M_(k)^(*)$ на $((\left(-1 \right))^(t))$, де $t$ — це (ось зараз увага!) сума номерів усіх вибраних рядків та стовпців . Це і буде додаток алгебри.

Погляньте на третій крок: там взагалі сума $2k$ доданків! Інша річ, що для $k=1$ ми отримаємо лише 2 доданків — це будуть ті самі $i+j$ — «координати» елемента $((a)_(ij))$, для якого ми шукаємо алгебраїчне доповнення.

Таким чином, сьогодні ми використовуємо злегка спрощене визначення. Але як ми побачимо надалі, його виявиться більш ніж достатньо. Куди важливіша наступна штука:

Визначення. Союзна матриця $S$ до квадратної матриці $A=\left[ n\times n \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times n \right]$, яка виходить із $A$ заміною $(( a)_(ij))$ алгебраїчними доповненнями $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Перша думка, що виникає в момент усвідомлення цього визначення - це скільки ж доведеться всього вважати! Розслабтеся: вважати доведеться, але не так вже й багато.

Що ж, все це дуже мило, але навіщо це потрібне? А ось навіщо.

Основна теорема

Повернемося трохи тому. Пам'ятайте, в Лемме 3 стверджувалося, що оборотна матриця $A$ завжди не вироджена (тобто її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).

Так ось, вірно і зворотне: якщо матриця $ A $ не вироджена, вона завжди оборотна. І навіть існує схема пошуку $((A)^(-1))$. Зацініть:

Теорема про зворотну матрицю. Нехай дана квадратна матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $, причому її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \right|\ne 0$. Тоді зворотна матриця $((A)^(-1))$ існує і вважається за формулою:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

А тепер — все те саме, але розбірливим почерком. Щоб знайти зворотну матрицю, потрібно:

Порахувати визначник $ \ left | A \right|$ і переконатися, що він відмінний від нуля.
Скласти союзну матрицю $S$, тобто. порахувати 100500 додатків алгебри $((A)_(ij))$ і розставити їх на місці $((a)_(ij))$.
Транспонувати цю матрицю $S$, а потім помножити її на деяке число $q=(1)/(\left|A \right|)\;$.

І все! Зворотну матрицю $((A)^(-1))$ знайдено. Давайте подивимося на приклади:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Рішення. Перевіримо оборотність. Порахуємо визначник:

\[\left| A \right|=\left| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Визначник відмінний від нуля. Значить, матриця оборотна. Складемо союзну матрицю:

Порахуємо додатки алгебри:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Зверніть увагу: визначники | 2 |, | 5 |, | 1 | та |3| - це саме визначники матриць розміру $ \ left [1 \ times 1 \ right] $, а не модулі. Тобто. якщо в визначниках стояли негативні числа, прибирати мінус не треба.

Отже, наша союзна матриця виглядає так:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

Ну от і все. Завдання вирішено.

Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(array) \right] \]

Рішення. Знову вважаємо визначник:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Визначник відмінний від нуля - матриця оборотна. А ось зараз буде найжорсткіша: треба порахувати аж 9 (дев'ять, мати їх!) алгебраїчних доповнень. І кожне з них міститиме визначник $\left[2\times 2\right]$. Полетіли:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

Коротше, союзна матриця виглядатиме так:

Отже, зворотна матриця буде такою:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Ось і все. Ось і відповідь.

Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\end(array) \right ]$

Як бачите, наприкінці кожного прикладу ми виконували перевірку. У зв'язку з цим важливе зауваження:

Не лінуйтеся виконувати перевірку. Помножте вихідну матрицю на знайдену зворотну - має вийти $E$.

Виконати цю перевірку набагато простіше та швидше, ніж шукати помилку у подальших обчисленнях, коли, наприклад, ви вирішуєте матричне рівняння.

Альтернативний спосіб

Як я і говорив, теорема про зворотну матрицю чудово працює для розмірів $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (в останньому випадку - вже не так вже й "прекрасно" »), а ось для матриць великих розмірів починається прямий смуток.

Але не переживайте: є альтернативний алгоритм, за допомогою якого можна незворушно знайти зворотну хоч для матриці $ \ left [10 \ times 10 \ right] $. Але, як це часто буває, для розгляду цього алгоритму нам знадобиться невелика теоретична вступна.

Елементарні перетворення

Серед різноманітних перетворень матриці є кілька особливих їх називають елементарними. Таких перетворень рівно три:

множення. Можна взяти $i$-й рядок (стовпець) і помножити його на будь-яке число $k\ne 0$;
Додавання. Додати до $i$-го рядка (стовпця) будь-який інший $j$-й рядок (стовпець), помножений на будь-яке число $k\ne 0$ (можна, звичайно, і $k=0$, але який у цьому сенс ? Нічого не зміниться ж).
Перестановка. Взяти $i$-ю і $j$-ю рядки (стовпці) і поміняти місцями.

Чому ці перетворення називаються елементарними (для великих матриць вони виглядають не такими вже елементарними) і чому їх лише три ці питання виходять за рамки сьогоднішнього уроку. Тому не вдаватимемося в подробиці.

Важливо інше: всі ці збочення ми повинні виконувати над приєднаною матрицею. Так, так: ви не дочули. Зараз буде ще одне визначення – останнє у сьогоднішньому уроці.

Приєднана матриця

Напевно, у школі ви вирішували системи рівнянь методом складання. Ну, там, відняти з одного рядка інший, помножити якийсь рядок на число - ось це все.

Так ось: зараз буде все те саме, але вже «по-дорослому». Чи готові?

Визначення. Нехай дана матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $ і одинична матриця $ E $ такого ж розміру $ n $. Тоді приєднана матриця $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times 2n \right]$, яка виглядає так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Коротше кажучи, беремо матрицю $A$, праворуч приписуємо до неї одиничну матрицю $E$ потрібного розміру, розділяємо їх вертикальною рисою для краси - ось вам і приєднана.

У чому прикол? А ось у чому:

Теорема. Нехай матриця $A$ оборотна. Розглянемо приєднану матрицю $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядківпривести її до вигляду $ \ left [ E \ left | B \right. \right]$, тобто. шляхом множення, віднімання та перестановки рядків отримати з $A$ матрицю $E$ праворуч, то отримана зліва матриця $B$ - це зворотна до $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ось так просто! Коротше кажучи, алгоритм знаходження зворотної матриці виглядає так:

Записати приєднану матрицю $\left[ A\left| E \right. \right]$;
Виконувати елементарні перетворення рядків доти, доки права замість $A$ не з'явиться $E$;
Зрозуміло, ліворуч теж щось з'явиться якась матриця $B$. Це і буде обернена;
PROFIT!:)

Звісно, сказати набагато простіше, ніж зробити. Тому давайте розглянемо кілька прикладів: для розмірів $\left[ 3\times 3 \right]$ і $\left[ 4\times 4 \right]$.

Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Рішення. Складаємо приєднану матрицю:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Оскільки останній стовпець вихідної матриці заповнений одиницями, віднімемо перший рядок з інших:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \endend(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Більше одиниць немає, окрім першого рядка. Але її ми не чіпаємо, інакше в третьому стовпці почнуть «розмножуватися» щойно прибрані одиниці.

Зате можемо відняти другий рядок двічі з останнього — отримаємо одиницю в нижньому лівому кутку:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 &-7 & 0 & -1 & 0 & 1 \endend(array) \right]\begin(matrix) \\ \downarrow \\ -2 \\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Тепер можна відняти останній рядок з першого і двічі з другого — таким чином ми «занулимо» перший стовпець:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\end(matrix)\to \ \ \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Помножимо другий рядок на −1, а потім віднімемо його 6 разів з першого і додамо 1 раз до останнього:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix) \to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Залишилося лише поміняти місцями рядки 1 та 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\end(array) \right]\]

Готово! Праворуч - шукана зворотна матриця.

Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\end(array) \right ]$

Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\end(matrix) \right]\]

Рішення. Знову складаємо приєднану:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Трохи позалимаємо, потурбуємося від того, скільки зараз доведеться рахувати... і почнемо рахувати. Для початку «обнулили» перший стовпець, віднімаючи рядок 1 з рядків 2 та 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Спостерігаємо дуже багато «мінусів» у рядках 2—4. Помножимо всі три рядки на −1, а потім випалимо третій стовпець, віднімаючи рядок 3 з інших:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Тепер саме час «підсмажити» останній стовпець вихідної матриці: віднімаємо рядок 4 з інших:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Фінальний кидок: «випалюємо» другий стовпець, віднімаючи рядок 2 з рядка 1 та 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

І знову зліва одинична матриця, значить праворуч - зворотна.:)

Відповідь. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Ну от і все. Перевірку зробіть самі - мені в лом.

Матриця $A^(-1)$ називається зворотної по відношенню до квадратної матриці $A$, якщо виконано умову $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, де $E $ - Поодинока матриця, порядок якої дорівнює порядку матриці $ A $.

Невироджена матриця - матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Відповідно, вироджена матриця - та, у якої дорівнює нулю визначник.

Зворотна матриця $A^(-1)$ існує і тоді, коли матриця $A$ – невироджена. Якщо зворотна матриця $A^(-1)$ існує, вона єдина.

Є кілька способів знаходження зворотної матриці, і ми розглянемо два їх. На цій сторінці буде розглянуто метод приєднаної матриці, який належить стандартним у більшості курсів вищої математики. Другий спосіб знаходження зворотної матриці (метод елементарних перетворень), який передбачає використання методу Гаусса або Гаусса-Жордана, розглянутий у другій частині .

Метод приєднаної (союзної) матриці

Нехай задано матрицю $A_(n\times n)$. Для того щоб знайти зворотну матрицю $A^(-1)$, потрібно здійснити три кроки:

Знайти визначник матриці $A$ і переконатися, що $Delta Aneq 0$, тобто. що матриця А – невироджена.
Скласти алгебраїчні доповнення $A_(ij)$ кожного елемента матриці $A$ і записати матрицю $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ зі знайдених додатків алгебри.
Записати зворотну матрицю з урахуванням формули $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицю $(A^(*))^T$ найчастіше називають приєднаної (взаємної, союзної) до матриці $A$.

Якщо рішення відбувається вручну, перший спосіб хороший лише для матриць порівняно невеликих порядків: другого (), третього (), четвертого (). Щоб знайти зворотну матрицю для матриці вищого ладу, використовуються інші методи. Наприклад, метод Гауса, який розглянуто у другій частині.

Приклад №1

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \ 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Так як всі елементи четвертого стовпця дорівнюють нулю, то $ Delta A = 0 $ (тобто матриця $ A $ є виродженою). Оскільки $\Delta A=0$, зворотної матриці до матриці $A$ немає.

Відповідь: матриці $A^(-1)$ немає.

Приклад №2

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \ 9 & 8 \end(array)\right)$. Виконати перевірку.

Використовуємо метод приєднаної матриці. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\dot 9=-103. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\end(aligned)

Складаємо матрицю з додатків алгебри: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонуємо отриману матрицю: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (отримана матриця часто називається приєднаною чи союзною матрицею до матриці $A$). Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, маємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Отже, зворотну матрицю знайдено: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\9/103 & 5/103 \end(array)\right) $. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A^(-1)\cdot A=E$. Щоб поменше працювати з дробами, підставлятимемо матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, а у вигляді $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array) \right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\right) =E $$

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Приклад №3

Знайти зворотну матрицю для матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 -4 & 9 & 4 \0 & 3 & 2\end(array) \right)$. Виконати перевірку.

Почнемо з обчислення визначника матриці $A$. Отже, визначник матриці $A$ такий:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36 +56-12 = 26. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри кожного елемента заданої матриці:

Складаємо матрицю з додатків алгебри і транспонуємо її:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, отримаємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Отже, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A\cdot A^(-1)=E$. Щоб поменше працювати з дробами, будемо підставляти матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, а у вигляді $\frac(1)(26)\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Перевірку пройдено успішно, зворотна матриця $A^(-1)$ знайдена правильно.

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Приклад №4

Знайти матрицю, зворотну матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \7 & 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Для матриці четвертого порядку знаходження зворотної матриці за допомогою додатків алгебри дещо важко. Проте такі приклади у контрольних роботах зустрічаються.

Щоб знайти зворотну матрицю, спочатку потрібно обчислити визначник матриці $A$. Найкраще в цій ситуації це зробити за допомогою розкладання визначника по рядку (стовпцю). Вибираємо будь-який рядок або стовпець і знаходимо додатки алгебри кожного елемента обраного рядка або стовпця.

Наприклад, для першого рядка отримаємо:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536; \; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Визначник матриці $A$ обчислимо за такою формулою:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6cdot 556+(-5)cdot(-300)+8cdot(-536)+4cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93; \; A_ (32) = 50; \; A_ (33) = 83; \; A_ (34) = 36; \ \ & A_ (41) = 473; ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(aligned) $$

Матриця з алгебраїчних доповнень: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 36 \ 473 & -250 & -463 & -96 \ end (array) \ right) $.

Приєднана матриця: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \ 83 & -463\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Зворотна матриця:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Перевірка, за бажання, може бути проведена так само, як і в попередніх прикладах.

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

У другій частині буде розглянуто інший спосіб знаходження зворотної матриці, який передбачає використання перетворень методу Гаусса або Гаусса-Жордана.

Способи знаходження зворотної матриці. Розглянемо квадратну матрицю

Позначимо Δ = det A.

Квадратна матриця А називається невиродженою,або неособливою, якщо її визначник відмінний від нуля, та виродженою,або особливою, якщоΔ = 0.

Квадратна матриця є для квадратної матриці А того ж порядку, якщо їх добуток А В = В А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку, що і матриці А і В.

Теорема . Для того щоб матриця А мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля.

Зворотна матриця матриці А позначається через А- 1 так що В = А - 1 та обчислюється за формулою

, (1)

де А i j - додатки алгебри елементів a i j матриці A..

Обчислення A -1 за формулою (1) для матриць високого порядку дуже трудомістке, тому практично зручно знаходити A -1 з допомогою методу елементарних перетворень (ЭП). Будь-яку неособливу матрицю А шляхом ЕП тільки стовпців (або лише рядків) можна привести до одиничної матриці Е. Якщо скоєні над матрицею А ЕП у тому ж порядку застосувати до одиничної матриці Е, то в результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЕП над матрицями А та Е одночасно, записуючи обидві матриці поряд через межу. Зазначимо вкотре, що з відшуканні канонічного виду матриці з метою знаходження можна скористатися перетвореннями рядків і стовпців. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю, в процесі перетворення слід використовувати тільки рядки або тільки стовпці.

Приклад 1. Для матриці знайти A-1.

Рішення.Знаходимо спочатку детермінант матриці А
значить, зворотна матриця існує і ми її можемо знайти за такою формулою: , де А i j (i,j = 1,2,3) - додатки алгебри елементів а i j вихідної матриці.

Звідки .

Приклад 2. p align="justify"> Методом елементарних перетворень знайти A -1 для матриці: А = .

Рішення.Приписуємо до вихідної матриці праворуч одиничну матрицю того ж порядку: . За допомогою елементарних перетворень стовпців наведемо ліву "половину" до одиничної, здійснюючи одночасно такі перетворення над правою матрицею.
Для цього поміняємо місцями перший та другий стовпці: ~ . До третього стовпця додамо перший, а до другого - перший, помножений на -2: . З першого стовпця віднімемо подвоєний другий, та якщо з третього - помножений на 6 другий; . Додамо третій стовпець до першого та другого: . Помножимо останній стовпець на -1: . Отримана праворуч від вертикальної межі квадратна матриця є зворотною матрицею до даної матриці А. Отже,
.