Логарифм числа формулы. Формула замены основания
log a r b r =log a b или log a b = log a r b r
Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.
Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.
Примеры.
1) Сравнить log 3 9 и log 9 81.
log 3 9=2, так как 3 2 =9;
log 9 81=2, так как 9 2 =81.
Значит, log 3 9=log 9 81.
Заметим, что основание второго логарифма равно квадрату основания первого логарифма: 9=3 2 , а число под знаком второго логарифма равно квадрату числа под знаком первого логарифма: 81=9 2 . Получается, что и число и основание первого логарифма log 3 9 были возведены во вторую степень, и значение логарифма от этого не изменилось:
Далее, так как извлечение корня n -й степени из числа а есть возведение числа а в степень ( 1 / n ), то из log 9 81 можно получить log 3 9 извлечением квадратного корня из числа и из основания логарифма:
2) Проверить равенство: log 4 25=log 0,5 0,2.
Рассмотрим первый логарифм. Извлечем квадратный корень из основания 4 и из числа 25 ; получаем: log 4 25=log 2 5.
Рассмотрим второй логарифм. Основание логарифма: 0,5= 1 / 2 . Число под знаком этого логарифма: 0,2= 1 / 5 . Возведем каждое из этих чисел в минус первую степень:
0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;
0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.
Таким образом, log 0,5 0,2=log 2 5. Вывод: данное равенство верно.
Решить уравнение:
log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Приведем логарифмы слева к основанию 2 .
log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Извлекли квадратный корень из числа и из основания первого логарифма. Извлекли корень четвертой степени из числа и основания второго логарифма.
log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Преобразовали сумму логарифмов в логарифм произведения.
3x 2 =5x+2. Получили после потенцирования.
3x 2 -5x-2=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле для полного квадратного уравнения:
a=3, b=-5, c=-2.
D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 действительных корня.
Проверка.
x=2.
log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);
log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;
log 2 (4∙3)=log 2 12;
log 2 12=log 2 12;
log a n b
=(1/
n
)∙
log a b
Логарифм числаb по основанию a n равен произведению дроби 1/ n на логарифм числа b по основанию a .
Найти: 1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , если известно, что log 2 3=b , log 5 2=c.
Решение.
Решить уравнения:
1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.
Решение.
Приведем данные логарифмы к основанию 2. Применим формулу: log a n b =(1/ n )∙ log a b
log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;
log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Приводим подобные слагаемые:
(1+0,5+0,25)·log 2 x=5,25;
1,75·log 2 x=5,25 |:1,75
log 2 x=3. По определению логарифма:
2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.
Решение. Логарифм по основанию 16 приведем к основанию 4.
0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5
log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения.
log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;
log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;
log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. По определению логарифма:
x 2 -5x+4=0. По теореме Виета:
x 1 =1; x 2 =4. Первое значение х не подойдет, так как при х=1 логарифмы данного равенства не существуют, ведь под знаком логарифма могут находиться только положительные числа.
Проверим данное уравнение при х=4.
Проверка.
0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25
0,5log 4 2+log 16 1=0,25
0,5∙0,5+0=0,25
log a b=log c b/log c a
Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с , деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с .
Примеры:
1) log 2 3=lg3/lg2;
2) log 8 7=ln7/ln8.
Вычислить:
1) log 5 7 , если известно, что lg7 ≈0,8451; lg5 ≈0,6990.
c b / log c a .
log 5 7=lg7/lg5≈0,8451:0,6990≈1,2090.
Ответ: log 5 7 ≈1,209 0≈1,209 .
2) log 5 7 , если известно, что ln7 ≈1,9459; ln5 ≈1,6094.
Решение. Применяем формулу: log a b =log c b / log c a .
log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.
Ответ: log 5 7 ≈1,209 1≈1,209 .
Найдите х:
1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.
Используем формулу: log c b / log c a =log a b. Получаем:
log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;
log 3 x=log 3 (4∙6∙8);
log 3 x=log 3 192;
x=192 .
2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10 .
Используем формулу: log c b / log c a =log a b . Получаем:
log 7 x=lg143-lg11-lg13;
log 7 x=lg143- (lg11+lg13);
log 7 x=lg143-lg (11∙13);
log 7 x=lg143-lg143;
x=1.
Страница 1 из 1 1
Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения .
Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:
Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .
Примеры решения логарифмов на основании формул.
Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.
Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.
Логарифмы , примеры:
log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8
log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5
Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.
log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100
Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.
Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.
- Основное логарифмическое тождество
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Логарифм частного равен разности логарифмов
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b
Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
если m = n, получим log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Переход к новому основанию
log a b = log c b/log c a,если c = b, получим log b b = 1
тогда log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: " ". Не пропустите!
Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.
Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.
(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.
Например:
log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .
Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Условия определения логарифма.
Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .
Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Особенности логарифмов.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.