Гайморит

Определение наклонной. Математика

ТРЕУГОЛЬНИКИ.

§ 31.ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ К ПРЯМОЙ.

1. Проекция отрезка на прямую.

Если через какую-нибудь точку, взятую вне прямой, провести прямую, перпендикулярную к ней, то отрезок от данной точки до прямой для краткости называют одним словом перпендикуляр .

Отрезок СО - перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (черт. 168).

Если прямая, проведённая через данную точку, пересекает другую прямую, но не перпендикулярна к ней, то отрезок её от данной точки до точки пересечения с другой прямой называют наклонной к этой прямой.

Отрезок ВС - наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (черт. 169).

Если из концов какого-нибудь отрезка опустим перпендикуляры на произвольную прямую, то отрезок прямой, заключённый между основаниями перпендикуляров, называется проекцией отрезка на эту прямую.

Отрезок А"В" - проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ" - также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К" (черт. 170).

2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Отрезок АС (черт. 171) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ - одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

В /\ МАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника (§ 30). Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (черт. 171) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть ВА и ВС - наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (черт. 172), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.

Для доказательства опустим из точки В перпендикуляр ВО на АС. Тогда АО и ОС будут проекции наклонных АВ и ВС на прямую АС. Треугольник АВС равнобедренный по условию теоремы. ВО - высота этого треугольника. Но высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является в то же время и медианой этого треугольника (§ 18).

Поэтому АО = ОС.

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Пусть АС и СВ - наклонные к прямой АВ (черт. 173). СО_|_ АВ и АО = ОВ.

Требуется доказать, что АС = ВС.

В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО - общий катет этих треугольников. Следовательно, /\ AOС = /\ ВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.

Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

Пусть АВ и ВС - наклонные к прямой АО; ВО_|_АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.

1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.

Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (черт. 174), а поэтому / АСВ > / СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (черт. 175). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

Пусть КС и ВС - наклонные к прямой КВ (черт. 176), СО_|_КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.

Между отрезками КО и ОВ может быть только одно из трёх соотношений:

1) КО < ОВ,
2) КО = ОВ,
3) КО > ОВ.

КО не может быть меньше ОВ, так как тогда по теореме 4 наклонная КС была бы меньше наклонной ВС, а это противоречит условию теоремы.

Точно так же КО не может равняться ОВ, так как в этом случае по теореме 3 КС = ВС, что также противоречит условию теоремы.

Следовательно, остаётся верным только последнее соотношение, а именно, что
КО > ОВ.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 136 из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость а.

Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.

Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).

На рисунке 137 к плоскости а проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС. Прямая о, лежащая в плоскости а, перпендикулярна ВС - проекции наклонной АС на плоскость а. По Т. 2.12 прямая а перпендикулярна наклонной АС. Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной АС, то по Т. 2.12 она была бы перпендикулярна и ее проекции - ВС.

Пример. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 16 и Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD= 35 м (рис. 138). Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

Решение. Проведем . По условию DC - перпендикуляр к плоскости, т. е. DE - наклонная, СЕ - ее проекция, поэтому по теореме о трех перпендикулярах из условия следует, что

Из находим Для отыскания высоты СЕ в находим

С другой стороны, откуда

Из по теореме Пифагора

46. Перпендикулярность плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

На рисунке 139 изображены две плоскости , которые пересекаются по прямой а. Плоскость у перпендикулярна прямой а и пересекает При этом плоскость у пересекает плоскость а по прямой с, а плоскость - по прямой d, причем т. е. по определению

Т. 2.13. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей).

На рисунке 140 плоскость проходит через прямую а т. е. по плоскости перпендикулярны.

Урок геометрии в 10 классе

На одном из предыдущих уроков вы познакомились с понятием проекции точки на данную плоскость параллельно данной прямой.

На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция точки и фигуры.

Ортогональная проекция детали.

Ортогональной проекцией точки Ана данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно

прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция

фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда

отрезок АВ называется

перпендикуляром, опущенным из точки

А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезокАС, где С -

произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к

этой плоскости.

Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной

проекцией точки А, а отрезокАС -Перпендикуляр и наклонная. ортогональной проекцией наклонной AВ.

Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.

3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.

Свойства ортогональной проекции

Доказательство.

Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикулярАВ и две наклонныеАС и AD; тогда отрезки ВС иBD - ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.

Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.

Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.

Свойства ортогональной проекции

Треугольники

ABC и ABD

равны по катету и гипотенузе.

Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они

имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС иAD. ВС < BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.

Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.

Если ВС больше BD,

то АС больше стороны

АЕ, равной AD.

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§8. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ. ПРОЕКЦИЯ НАКЛОННОЙ НА ПЛОСКОСТЬ.

2. Свойства перпендикуляра и наклонной.

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1) Перпендикуляр, опущенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к плоскости.

На рисунке 411: АН АК.

2) Если две наклонные, проведенные из данной точки к плоскости, равны, то равны их проекции.

K 1 и перпендикуляр АН и АК = АК 1 . Тогда по свойству: НК = НК 1 .

3) Если две наклонные, проведенные из данной точки к данной плоскости, имеют равные проекции, то они равны между собой.

На рисунке 412 из точки А к плоскости а проведены две наклонные АК и А K 1 и перпендикуляр АН, причем КН = К 1 Н. Тогда по свойству: АК = АК 1 .

4) Если из данной точки проведены к плоскости две наклонные, то большая наклонная имеет большую проекцию.

L и перпендикуляр АН, A К > AL . Тогда по свойству: H К > HL .

5) Если из данной точки проведены к плоскости две наклонные, то большей из них является та, которая имеет большую проекцию на данную плоскость.

На рисунке 413 из точки А к плоскости а проведены две наклонные АК и А L и перпендикуляр АН, НК > Н L . Тогда по свойству: АК > А L .

Пример 1. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых 41 см и 50 см. Найти проекции наклонных, если они относятся, как 3: 10, и расстояние от точки до плоскости.

Решения. 1) А L = 41 см; АК = 50 см (рис. 413). По свойством имеем Н L НК. Обозначим Н L = 3 х см, НК = 10 х см, АН = h см. АН - расстояние от точки А до плоскости α .

4) Приравнивая, получаем 41 2 - 9х 2 = 50 2 - 100 х 2 ; х 2 = 9; х = 3 (учитывая х > 0). Итак, Н L = 3 ∙ 3 = 9 (см), НК = 10 ∙ 3 = 30 (см).

Пример 2. С данной точки к плоскости проведены две наклонные, каждая по см. Угол между наклонными равен 60°, а угол между их проекциями - прямой. Найти расстояние от точки до плоскости.

Отрезок СО - перпендикуляр к прямой АВ. Точка О называется основанием перпендикуляра СО (рис).

Отрезок ВС - наклонная к прямой АО. Точка С называется основанием наклонной (рис.).

Отрезок АВ - проекция отрезка АВ на ЕС. Отрезок ОМ - также называется проекцией отрезка ОМ на ЕС.

Проекцией отрезка КР, перпендикулярного к ЕС, будет точка К (рис.).

2. Свойства перпендикуляра и наклонных.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Отрезок АС (рис.) является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ - одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС.

В ΔМАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника. Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки.

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС (рис.) меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть ВА и ВС - наклонные, проведённые из точки В к прямой АС (рис.), причём АВ = ВС. Нужно доказать, что равны и их проекции.

Поэтому АО = ОС.

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Пусть АС и СВ - наклонные к прямой АВ (рис.). СО ⊥ АВ и АО = ОВ.

Требуется доказать, что АС = ВС.

В прямоугольных треугольниках АОС и ВОС катеты АО и ОВ равны. СО - общий катет этих треугольников. Следовательно, ΔAOС = ΔВОС. Из равенcтва треугольников вытекает, что АС = ВС.

Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

Пусть АВ и ВС - наклонные к прямой АО; ВО ⊥ АО и АО>СО. Требуется доказать, что АВ > ВС.

1) Наклонные расположены по одну сторону перпендикуляра.

Угол АСЕ внешний по отношению к прямоугольному треугольнику СОВ (рис.), а поэтому ∠АСВ > ∠СОВ, т. е. он тупой. Отсюда следует, что АВ > СВ.

2) Наклонные расположены по обе стороны перпендикуляра. Для доказательства отложим на АО от точки О отрезок ОК = ОС и соединим точку К с точкой В (рис.). Тогда по теореме 3 имеем: ВК = ВС, но АВ > ВК, следовательно, АВ > ВС, т. е. теорема справедлива и в этом случае.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

Пусть КС и ВС - наклонные к прямой КВ (рис.), СО ⊥ КВ и КС > ВС. Требуется доказать, что КО > ОВ.