Сравнение по модулю натурального числа. Решение сравнений и их приложения Решение сравнений

Сравнение с одним неизвестным x имеет вид

Где . Еслиa n не делится на m , то и называется степенью сравнения.

Решением сравнения называется всякое целое число x 0 , для которого

Если х 0 удовлетворяет сравнению, то, согласно свойству 9 сравнений, этому сравнению будут удовлетворять все целые числа, сравнимые с x 0 по модулю m . Поэтому все решения сравнения, принадлежащие одному классу вычетов по модулю т , будем рассматривать как одно решение. Таким образом, сравнение имеет столько решений, сколько элементов полной системы вычетов ему удовлетворяет.

Сравнения, множества решений которых совпадают, называются равносильными.

2.2.1 Сравнения первой степени

Сравнение первой степени с одним неизвестным х имеет вид

(2.2)

Теорема2.4. Для того чтобы сравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы число b делилось на НОД(a , m ).

Доказательство. Сначала докажем необходимость. Пусть d = НОД(a , m ) и х 0 - решение сравнения. Тогда, то есть разностьах 0 − b делится на т. Значит, существует такое целое число q , что ах 0 − b = qm . Отсюда b = ах 0 − qm . А поскольку d , как общий делитель, делит числа а и т, то уменьшаемое и вычитаемое делятся на d , а значит и b делится на d .

Теперь докажем достаточность. Пусть d - наибольший общий делитель чисел а и т, и b делится на d . Тогда по определению делимости существуют такие целые числа a 1 , b 1 ,т 1 , что.

Расширенным алгоритмом Евклида найдем линейное представление числа 1 = НОД(a 1 , m 1 ):

для некоторых x 0 , y 0 . Домножим обе части последнего равенства на b 1 d :

или, что то же самое,

,

то есть , и- решение сравнения. □

Пример2.10. Сравнение 9х = 6 (mod 12) имеет решение, так как НОД(9, 12) = 3 и 6 делится на 3. □

Пример2.11. Сравнение 6х = 9 (mod 12) не имеет решений, так как НОД(6, 12) = 6, а 9 не делится на 6. □

Теорема 2.5. Пусть сравнение (2.2) разрешимо и d = НОД(a , m ). Тогда множество решений сравнения (2.2) состоит из d классов вычетов по модулю т, а именно, если х 0 - одно из решений, то все другие решения - это

Доказательство. Пусть х 0 - решение сравнения (2.2), то есть и, . Значит, существует такое q , что ах 0 − b = qm . Подставляя теперь в последнее равенство вместо х 0 произвольное решение вида, где, получаем выражение

, делящееся на m . □

Пример 2.12. Сравнение 9х =6 (mod 12) имеет ровно три решения, так как НОД(9, 12)=3. Эти решения: х 0 = 2, х 0 + 4 = 6, х 0 + 2∙4=10.□

Пример2.13. Сравнение 11х =2 (mod 15) имеет единственное решение х 0 = 7,таккакНОД(11,15)=1.□

Покажем, как решать сравнение первой степени. Не умаляя общности, будем считать, что НОД(a , т) = 1. Тогда решение сравнения (2.2) можно искать, например, по алгоритму Евклида. Действительно, используя расширенный алгоритм Евклида, представим число 1 в виде линейной комбинации чисел a и т :

Умножим обе части этого равенства на b , получим: b = abq + mrb , откуда abq - b = - mrb , то есть a ∙ (bq ) = b (mod m ) и bq - решение срав­нения (2.2).

Еще один путь решения - использовать теорему Эйлера. Опять считаем, что НОД(а, т) = 1. Применяем теорему Эйлера: . Умножим обе части сравнения наb : . Переписывая последнее выражение в виде , получаем, что- решение сравнения (2.2).

Пусть теперь НОД(a , m ) = d >1. Тогда a = a t d , m = m t d , где НОД(а 1 , m 1) = 1. Кроме того, необходимо b = b 1 d , для того чтобы сравнение было разрешимо. Если х 0 - решение сравнения а 1 x = b 1 (mod m 1), причем единственное, поскольку НОД(а 1 , m 1) = 1, то х 0 будет решением и сравнения а 1 xd = db 1 (mod m 1), то есть исходного сравнения (2.2). Остальные d - 1 решений находим по теореме 2.5.

Содержание.

Введение

§1. Сравнение по модулю

§2. Свойства сравнений

1. Свойства сравнений, не зависящие от модуля
2. Свойства сравнений, зависящие от модуля

§3. Система вычетов

1. Полная система вычетов
2. Приведённая система вычетов

§4. Теорема Эйлера и Ферма

1. Функция Эйлера
2. Теорема Эйлера и Ферма

Глава2. Теория сравнений с переменной

§1. Основные понятия, связанные с решением сравнений

1. Корни сравнений
2. Равносильность сравнений
3. Теорема Вильсона

§2. Сравнения первой степени и их решения

1. Метод подбора
2. Способы Эйлера
3. Метод алгоритма Евклида
4. Метод цепных дробей

§3. Системы сравнений 1-ой степени с одним неизвестным

§4. Деление сравнений высших степеней

§5. Первообразные корни и индексы

1. Порядок класса вычетов
2. Первообразные корни по простому модулю
3. Индексы по простому модулю

Глава3. Приложение теории сравнений

§1. Признаки делимости

§2. Проверка результатов арифметических действий

§3. Обращение обыкновенной дроби в конечную

десятичную систематическую дробь

Заключение

Литература

Введение

В нашей жизни часто приходится сталкиваться с целыми числами и задачами связанными с ними. В данной дипломной работе я рассматриваю теорию сравнения целых чисел.

Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m называются сравнимыми по модулю m.

Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по–русски означает «мера», «величина».

Утверждение «а сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде a b (mod m) и называют сравнением.

Определение сравнения было сформулировано в книге К. Гаусса «Арифметические исследования». Эту работу, написанную на латинском языке начали печатать в 1797 году, но книга вышла в свет лишь 1801 году из-за того, что процесс книгопечатания в то время был чрезвычайно трудоёмким и длительным. Первый раздел книги Гаусса так и называется: «О сравнении чисел вообще».

Сравнениями очень удобно пользоваться в тех случаях, когда достаточно знать в каких – либо исследованиях числа с точностью до кратных некоторого числа.

Например, если нас интересует, на какую цифру оканчивается куб целого числа a, то нам достаточно знать a лишь с точностью до кратных чисел 10 и можно пользоваться сравнениями по модулю 10.

Целью данной работы является рассмотрение теории сравнений и исследование основных методов решения сравнений с неизвестными, а также изучение применения теории сравнений к школьной математике.

Дипломная работа состоит из трёх глав, причём каждая глава разбита на параграфы, а параграфы на пункты.

В первой главе изложены общие вопросы теории сравнений. Здесь рассматриваются понятие сравнения по модулю, свойства сравнений, полная и приведённая система вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера и Ферма.

Вторая глава посвящена теории сравнений с неизвестной. В ней излагаются основные понятия, связанные с решением сравнений, рассматриваются способы решения сравнений первой степени (метод подбора, способ Эйлера, метод алгоритма Евклида, метод цепных дробей, с помощью индексов), систем сравнений первой степени с одной неизвестной, сравнений высших степеней и др.

Третья глава содержит некоторые приложения теории чисел к школьной математике. Рассмотрены признаки делимости, проверка результатов действий, обращение обыкновенных дробей в систематические десятичные дроби.

Изложение теоретического материала сопровождается большим количеством примеров, раскрывающих суть вводимых понятий и определений.

Глава1. Общие вопросы теории сравнений

§1. Сравнение по модулю

Пусть z-кольцо целых чисел, m-фиксированное целое число и m·z-множество всех целых чисел, кратных m.

Определение 1. Два целых числа a и b называют сравнимыми по модулю m, если m делит a-b.

Если числа a и b сравнимы по модулю m, то пишут a b (mod m).

Условие a b (mod m) означает, что a-b делится на m.

a b (mod m)↔(a-b) m

Определим, что отношение сравнимости по модулю m совпадает с отношением сравнимости по модулю (-m) (делимость на m равносильно делимости на –m). Поэтому, не теряя общности, можно считать, что m>0.

Примеры.

Теорема. (признак сравнимости дух чисел по модулю m): Два целых числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда a и b имеют одинаковые остатки при делении на m.

Доказательство.

Пусть остатки при делении a и b на m равны, то есть a=mq₁+r, (1)

B=mq₂+r, (2)

Где 0≤r≥m.

Вычтем (2) из (1), получим a-b= m(q₁- q₂), то есть a-b m или a b (mod m).

Обратно, пусть a b (mod m). Это означает, что a-b m или a-b=mt, t z (3)

Разделим b на m; получим b=mq+r в (3), будем иметь a=m(q+t)+r, то есть при делении a на m получается тот же остаток, что и при делении b на m.

Примеры.

5=4·(-2)+3

23=4·5+3

24=3·8+0

10=3·3+1

Определение 2. Два или несколько чисел, дающие при делении на m одинаковые остатки, называются равноостаточным или сравнимыми по модулю m.

Примеры.

Имеем: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m², а (- m²) делится на m => наше сравнение верно.

1. Доказать, что следующее сравнения являются неверными:

Если числа сравнимы по модулю m, то они имеют с ним один и тот же НОД.

Имеем: 4=2·2, 10=2·5, 25=5·5

НОД(4,10) = 2, НОД(25,10) = 5, следовательно наше сравнение неверно.

§2. Свойства сравнений

1. Свойства сравнений, не зависящие от модуля.

Многие свойства сравнений аналогичны свойствам равенств.

а) рефлексивности: a a (mod m) (всякое целое число a сравнимо с самим собой по модулю m);

В) симметричности: если a b (mod m), то и b a (mod m);

С) транзитивности: если a b (mod m), а b с (mod m), то a с (mod m).

Доказательство.

По условию m/(a-b) и m/ (c-d). Следовательно, m/(a-b)+(c-d), m/(a+c)-(b+d) => a+c b+d (mod m).

Примеры.

Найти остаток при делении на 13.

Решение: -1 (mod 13) и 1 (mod 13), тогда (-1)+1 0 (mod 13), то есть остаток от деления на 13 равен 0.

a-c b-d (mod m).

Доказательство.

По условию m/(a-b) и m/(c-d). Следовательно, m/(a-b)-(c-d), m/(a-c)-(b-d) => (a-c) b-d (mod m).

1. (следствие свойств 1, 2, 3). К обеим частям сравнения можно прибавлять одно и то же целое число.

Доказательство.

Пусть a b (mod m) и k –любое целое число. По свойству рефлексиности

k=k (mod m), а согласно свойствам 2 и 3 имеем a+k b+k (mod m).

a·c ·d (mod m).

Доказательство.

По условию, a-b є mz, c-d є mz. Следовательно a·c-b·d = (a·c - b·c)+(b·c- b·d)=(a-b)·c+b·(c-d) є mz, то есть a·c ·d (mod m).

Следствие. Обе части сравнения можно возводить в одну и ту же целую неотрицательную степень: если а b (mod т) и s - целое неотрицательное число, то a s b s (mod m).

Примеры.

Решение: очевидно 13 1 (mod 3)

2 -1 (mod 3)

5 -1 (mod 3), тогда

- · 1-1 0 (mod 13)

Ответ: искомый остаток равен нулю, и А делится на 3.

Решение:

Докажем, что 1+ 0(mod13) или 1+ 0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

Так как 27 1 (mod 13), то 1+ 1+1·3+1·9 (mod 13).

ч.т.д.

3. Найдём остаток при делении с остатком числа на 24.

Имеем: 1 (mod 24), поэтому

1 (mod 24)

Прибавляя к обеим частям сравнения по 55, получаем:

(mod 24).

Имеем: (mod 24), поэтому

(mod 24) при любом k є N.

Следовательно (mod 24). Поскольку (-8) 16(mod 24), искомым остатком является 16.

1. Обе части сравнения можно умножать на одно и то же целое число.

2.Свойства сравнений, зависящие от модуля.

Доказательство.

Так как a b (mod т) , то (а - b) т. А так как т n , то в силу транзитивности отношения делимости (а - b n) , то есть а b (mod n).

Пример.

Найти остаток от деления 196 на 7.

Решение:

Зная, что 196= , можно записать 196 (mod 14). Воспользуемся предыдущим свойством, 14 7, получим 196 (mod 7), то есть 196 7.

1. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое положительное число.

Доказательство.

Пусть a b (mod т ) и с-целое положительное число. Тогда a-b = mt и ac-bc=mtc, или ac bc (mod mc).

Пример.

Выяснить, является ли значение выражения целым числом.

Решение:

Представим дроби в виде сравнений: 4 (mod 3)

1 (mod 9)

31 (mod 27)

Сложим почленно эти сравнения (свойство 2), получим 124 (mod 27) Мы видим, что 124 не делится целочисленно на 27, следовательно значение выражения тоже не является целым числом.

1. Обе части сравнения можно разделить на их общий множитель, если он взаимно простой с модулем.

Доказательство.

Если cа cb (mod m), то есть m/c(a-b) и число с взаимно простое с m, (с,m)=1, то m делит a-b. Следовательно, a b (mod т ).

Пример.

60 9 (mod 17), после деления обеих частей сравнения на 3 получим:

20 (mod 17).

Делить обе части сравнения на число, не взаимно простое с модулем, вообще говоря, нельзя, так как после деления могут получиться числа, несравнимые по данному модулю.

Пример.

8 (mod 4), но 2 (mod 4).

1. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.

Доказательство.

Если ka kb (mod km), то k (a-b) делится на km. Следовательно, a-b делится на m, то есть a b (mod т ).

Доказательство.

Пусть Р (х) = с 0 х п + с 1 х n-1 + ... + c n-1 x+ с n . По условию a b (mod т ), тогда

a k b k (mod m) при k = 0, 1, 2, …,n. Умножая обе части каждого из полученных n + 1 сравнений на c n-k , получим:

c n-k a k с n-k b k (mod m), где k = 0, 1, 2, …,n.

Складывая последние сравнения, получим: Р (а) Р (b) (mod m). Если а (mod m) и c i d i (mod m), 0 ≤ i ≤n, то

(mod m). Таким образом, в сравнении по модулю m отдельные слагаемые и множители можно заменять числами, сравнимыми по тому же модулю m.

Вместе с тем следует обратить внимание на то, что встречающиеся в сравнениях показатели степеней заменять таким образом нельзя: из

a n c(mod m) и n k(mod m) не следует, что а k с (mod m).

Свойство 11 имеет ряд важных применений. В частности, c его помощью можно дать теоретическое обоснование признаков делимости. Для иллюстрации в качестве примера дадим вывод признака делимости на 3.

Пример.

Всякое натуральное число N можно представить в виде систематического числа: N = а 0 10 n + а 1 10 n-1 + ... + а n-1 10 + а n .

Рассмотрим многочлен f (х) = а 0 х n + a 1 x n-1 + ... + а n-1 х+а n . Так как

10 1 (mod 3), то по свойству 10 f (10) f(1) (mod 3) или

N = а 0 10 n + а 1 10 n-1 + ... + а n-1 10 + а n а 1 + а 2 +…+ а n-1 + а n (mod 3), т. е. для делимости N на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3.

§3. Системы вычетов

1. Полная система вычетов.

Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m.

Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq+r заставим q пробегать все целые числа.

Соответственно m различным значением r имеем m классов чисел по модулю m.

Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q=0, равный остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Вычет ρ, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.

Очевидно, при r имеем ρ=r; при r> имеем ρ=r-m; наконец, если m четное и r= , то за ρ можно принять любое из двух чисел и -m= - .

Выберем из каждого класса вычетов по модулю т по одному числу. Получим т целых чисел: х 1 ,…, х m . Множество {х 1 ,…, х т } называют полной системой вычетов по модулю m .

Так как каждый класс содержит бесчисленное множество вычетов, то можно составить бесчисленное множество различных полных систем вычетов по данному модулю т, каждая из которых содержит т вычетов.

Пример.

Составить несколько полных систем вычетов по модулю т = 5. Имеем классы: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

Составим несколько полных систем вычетов, взяв по одному вычету из каждого класса:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

и т. д.

Наиболее употребительны:

1. Полная система наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, т -1 В приведенном выше примере: 0, 1, 2, 3, 4. Такая система вычетов составляется просто: надо выписать все неотрицательные остатки, получающиеся при делении на m.
2. Полная система наименьших положительных вычетов (из каждого класса берётся наименьший положительный вычет) :

1, 2, …,m. В нашем примере: 1, 2, 3, 4, 5.

1. Полная система абсолютно наименьших вычетов. Вслучае нечетного m абсолютно наименьшее вычеты представляются рядом.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

а в случае четного m каким – либо из двух рядов

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

В приведенном примере:-2, -1, 0, 1, 2.

Рассмотрим теперь основные свойства полной системы вычетов.

Теорема 1 . Любая совокупность m целых чисел:

x l ,x 2 ,…,х m (1)

попарно не сравнимых по модулю m, образует полную систему вычетов по модулю m.

Доказательство.

1. Каждое из чисел совокупности (1) принадлежит некоторому классу.
2. Любые два числа x i и x j из (1) несравнимы между собой, т. е. принадлежат различным классам.
3. Всего в (1) m чисел, т. е. столько же, сколько имеется классов по модулю т.

х 1 ,х 2 ,…,х т - полная система вычетов по модулю m.

Теорема 2 . Пусть (а, т) = 1, b - произвольное целое число; тогда если х 1 ,х 2 ,…,х т -полная система вычетов по модулю m, то и совокупность чисел ах 1 + b, ах 2 + b,…, ах m + b тоже полная система вычетов по модулю m.

Доказательство.

Рассмотрим

Ах 1 + b, ах 2 + b,…, ах m + b (2)

1. Каждое из чисел совокупности (2) принадлежит некоторому классу.
2. Любые два числа ax i +b и ax j + b из (2) несравнимы между собой, то есть принадлежат различным классам.

Действительно, если бы в (2) имелись такие два числа, что

ax i +b ax j + b (mod m), (i = j), то получили бы ax i ax j (mod т). Так как (а, т) = 1, то свойству сравнений можно сократить обе части сравнения на а . Получаем x i x j (mod m).

По условию же x i x j (mod т) при (i = j) , так как х 1 ,х 2 , ..., х m - полная система вычетов.

1. Совокупность чисел (2) содержит т чисел, то есть столько, сколько имеется классов по модулю m.

Итак, ах 1 + b, ах 2 + b,…, ах m + b - полная система вычетов по модулю m.

Пример .

Пусть т = 10, а = 3, b = 4.

Возьмем какую-нибудь полную систему вычетов по модулю 10, например: 0, 1, 2,…, 9. Составим числа вида ах + b. Получим: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. Полученная совокупность чисел - полная система вычетов по модулю 10.

1. Приведённая система вычетов.

Докажем следующую теорему.

Теорема 1 .

Числа одного и того же класса вычетов по модулю m имеют с m один и тот же наибольший общий делитель: если a b (mod m), то (а, m) = (b, m).

Доказательство.

Пусть a b (mod m). Тогда а = b +mt, где t є z. Из этого равенства следует, что (а, т) = (b, т).

Действительно, пусть δ-общий делитель a и m, тогда a δ, m δ. Так как а = b +mt, то b=a-mt, следовательно b δ. Поэтому любой общий делитель чисел a и m является общим делителем m и b.

Обратно, если m δ и b δ, то а = b +mt делится на δ, a потому любой общий делитель m и b является общим делителем a и m. Теорема доказана.

Определение 1. Наибольший общий делитель модуля т и любого числа а из данного класса вычетов по т называется наибольшим общим делителем т и этого класса вычетов.

Определение 2. Класс вычетов а по модулю т называется взаимно простым с модулем m , если наибольший общий делитель а и т равен 1 (то есть если т и любое число из а взаимно просты).

Пример.

Пусть т = 6. Класс вычетов 2 состоит из чисел {..., -10,-4, 2, 8, 14, ...}. Наибольший общий делитель любого из этих чисел и модуля 6 равен 2. Значит, (2, 6) = 2. Наибольший общий делитель любого числа из класса 5 и модуля 6 равен 1. Значит, класс 5 взаимно прост с модулем 6.

Выберем из каждого класса вычетов, взаимно простого с модулем m, по одному числу. Получим систему вычетов, составляющую часть полной системы вычетов. Ее называют приведенной системой вычетов по модулю m .

Определение 3. Совокупность вычетов по модулю m, взятых по одному из каждого взаимно простого с т класса вычетов по этому модулю, называется приведенной системой вычетов.

Из определения 3 следует способ получения приведенной системы вычетов по модулю т: надо выписать какую-либо полную систему вычетов и удалить из нее все вычеты, не взаимно простые с m. Оставшаяся совокупность вычетов - приведенная система вычетов. Приведенных систем вычетов по модулю m, очевидно, можно составить бесчисленное множество.

Если в качестве исходной взять полную систему наименьших неотрицательных или абсолютно наименьших вычетов, то указанным способом получим соответственно приведенную систему наименьших неотрицательных или абсолютно наименьших вычетов по модулю m.

Пример.

Если т = 8, то 1, 3, 5, 7 - приведенная система наименьших неотрицательных вычетов, 1, 3, -3,-1 - приведенная система абсолютно наименьших вычетов.

Теорема 2.

Пусть число классов, взаимно простых с m, равно k. Тогда любая совокупность k целых чисел

попарно несравнимых по модулю m и взаимно простых с m, представляет собой приведенную систему вычетов по модулю m.

Доказательство

А) Каждое число совокупности (1) принадлежит некоторому классу.

1. Все числа из (1) попарно несравнимы по модулю т, то есть принадлежат различным классам по модулю m.
2. Каждое число из (1) взаимно просто с т, то есть все эти числа принадлежат различным классам, взаимно простым с модулем m.
3. Всего в (1) имеется k чисел, то есть столько, сколько должна содержать приведенная система вычетов по модулю m.

Следовательно, совокупность чисел (1) - приведенная система вычетов по модулю т.

§4. Функция Эйлера.

Теоремы Эйлера и Ферма.

1. Функция Эйлера.

Обозначим через φ (т) число классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, то есть число элементов приведенной системы вычетов по модулю т. Функция φ (т) является числовой. Ее называют функцией Эйлера.

Выберем в качестве представителей классов вычетов по модулю т числа 1, ... , т - 1, т. Тогда φ (т) - количество таких чисел, взаимно простых с т. Иными словами, φ (т) - количество положительных чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m.

Примеры.

1. Пусть т = 9. Полная система вычетов по модулю 9 состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них взаимно просты с 9 числа 1,2,4, 5, 7, 8. Так как количество этих чисел равно 6, то φ (9) = 6.
2. Пусть т = 12. Полная система вычетов состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Из них взаимно просты с 12 числа 1, 5, 7, 11. Значит,

φ(12) = 4.

При т = 1 полная система вычетов состоит из одного класса 1. Общим натуральным делителем чисел 1 и 1 является 1, (1, 1) = 1. На этом основании полагают φ(1) = 1.

Перейдем к вычислению функции Эйлера.

1) Если т = р - простое число, то φ (р) = р- 1.

Доказательство.

Вычеты 1, 2, ... , р- 1 и только они взаимно просты с простым числом р. Поэтому φ (р) = р - 1 .

2) Если т = р к - степень простого числа р, то

φ(т) = (р - 1) . (1)

Доказательство.

Полная система вычетов по модулю т = р к состоит из чисел 1,..., p k - 1, р к Натуральные делители т являются степенями р. Поэтому число а может иметь общий делитель с m, отличный от 1 , лишь в случае, когда а делится на р. Но среди чисел 1 , ... , p k -1 на р делятся лишь числа р, 2р, ... , р 2 , ... р к , количество которых равно р к : р = р к-1 . Значит, взаимно просты с т = р к остальные р к - р к-1 = p k-l (p-1) чисел. Тем самым доказано, что

φ (р к ) = р к-1 (р-1).

Теорема 1.

Функция Эйлера мультипликативна, то есть для взаимно простых чисел m иn имеем φ (mn) = φ(m) φ (n).

Доказательство.

Первое требование в определении мультипликативной функции выполняется тривиальным образом: функция Эйлера определена для всех натуральных чисел, причем φ (1) = 1. Нам надо лишь показать, что если тип взаимно простые числа, то

φ (тп) = φ (т) φ (п). (2)

Расположим полную систему вычетов по модулю тп в виде п х т - матрицы

1 2 т

т + 1 т + 2 2т

………………………………

(п - 1) т+ 1 (п - 1) m + 2 пт

Поскольку т и п взаимно просты, то число х взаимно просто с тп тогда и только тогда, когда х взаимно просто с т и х взаимно просто с п . Но число km + t взаимно просто с т в том и только том случае, когда t взаимно просто с т. Поэтому числа, взаимно простые с m, располагаются в тех столбцах, для которых t пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Число таких столбцов равно φ (т). В каждом столбце представлена полная система вычетов по модулю п. Из этих вычетов φ (п) взаимно просты с п. Значит, общее количество чисел, взаимно простых и с т и с n, равно φ (т) φ (n )

(φ (т) столбцов, в каждом из которых берется φ (п) чисел). Эти числа, и только они, взаимно просты с тп. Тем самым доказано, что

φ (тп) = φ (т) φ (п).

Примеры.

№1 . Доказать справедливость следующих равенств

φ(4n) =

Доказательство.

№2 . Решить уравнение

Решение: так как (m)= , то = , то есть =600, =75, =3· , тогда х-1=1, х=2,

y-1=2, y=3

Ответ: х=2, y=3

Мы можем вычислить значение функции Эйлера (m), зная каноническое представление числа m:

m= .

В силу мультипликативности (m) имеем:

(m)= .

Но по формуле (1) получаем, что

-1), и поэтому

(3)

Равенство (3) можно переписать в виде:

Поскольку =m, то (4)

Формула (3) или, что то же самое, (4) и является искомой.

Примеры.

№1 . Чему равна сумма

Решение: ,

, =18 (1- ) (1- =18 , тогда = 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . На основании свойств числовой функции Эйлера доказать, что в последовательности натуральных чисел существует бесконечное множество простых чисел.

Решение: Пологая количество простых чисел конечным множеством, допустим, что - наибольшее простое число и пусть a= есть произведение всех простых чисел, на основании одного из свойств числовой функции Эйлера

Так как a≥ , то a – составное число, но так как его каноническое представление содержит все простые числа, то =1. Имеем:

=1 ,

что невозможно, и таким образом доказано, что множество простых чисел бесконечно.

№3 .Решить уравнение , где х= и =2.

Решение: Используем свойство числовой функции Эйлера,

,

и по условию =2.

Выразим из =2 , получим , подставим в

:

(1+ -1=120, =11 =>

Тогда х= , х=11·13=143.

Ответ: х= 143

2. Теорема Эйлера и Ферма.

В теории сравнений важную роль играет теорема Эйлера.

Теорема Эйлера.

Если целое число a взаимно простое с m, то

(1)

Доказательство. Пусть

(2)

есть приведённая система вычетов по модулю m.

Если a -целое число, взаимно простое с m, то

(3)

Сравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид:

f (x ) 0 (mod m ); f (х ) = ах + а n . (1)

Решить сравнение – значит найти все значения х, ему удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетворяют одни и те же значения х, называются равносильными .

Если сравнению (1) удовлетворяет какое-либо x = x 1, то (согласно 49) тому же сравнению будут удовлетворять и все числа, сравнимые с x 1 , по модулю m : x x 1 (mod m ). Весь этот класс чисел считается за одно решение . При таком соглашении можно сделать следующий вывод.

66.Сравнение (1) будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет .

Пример. Сравнению

6x – 4 0 (mod 8)

среди чисел 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 полной системы вычетов по модулю 8 удовлетворяют два числа: х = 2 и х = 6. Поэтому указанное сравнение имеет два решения:

x 2 (mod 8), х 6 (mod 8).

Сравнение первой степени перенесением свободного члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду

ax b (mod m ). (2)

Рассмотрим сравнение, удовлетворяющее условию (а , m ) = 1.

Согласно 66 наше сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда x пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах пробегает полную систему вычетов (из 60). Следовательно, при одном и только одном значении х, взятом из полной системы, ах будет сравнимо с b. Итак,

67. При (а, m) = 1 сравнение ax b (mod m ) имеет одно решение.

Пусть теперь (a , m ) = d > 1. Тогда, чтобы сравнение (2) имело решения, необходимо (из 55), чтобы b делилось на d, иначе сравнение (2) невозможно ни при каком целом х. Предполагая, поэтому b кратным d, положим a = a 1 d , b = b 1 d , m = m 1 d. Тогда сравнение (2) будет равносильно такому (по сокращении на d ): a 1 x b 1 (mod m ), в котором уже (а 1 , m 1) = 1, и потому оно будет иметь одно решение по модулю m 1 . Пусть х 1 – наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю m 1, тогда все числа х, образующие это решение, найдутся в виде

x x 1 (mod m 1). (3)

По модулю же mчисла (3) образуют не одно решение, а больше, именно столько решений, сколько чисел (3) найдется в ряде 0, 1, 2, ..., m – 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Но сюда попадут следующие числа (3):

x 1 , x 1 + m 1 , x 1 + 2m 1 , ..., x 1 + (d – 1) m 1 ,

т.е. всего d чисел (3); следовательно, сравнение (2) имеет d решений.

Получаем теорему:

68. Пусть (a, m) = d. Сравнение ax b (mod m) невозможно, если b не делится на d. При b, кратном d, сравнение имеет d решений..

69.Способ решения сравнения первой степени, основанный на теории непрерывных дробей:

Разлагая в непрерывную дробь отношение m:а ,

и рассматривая две последние подходящие дроби:

согласно свойствам непрерывных дробей (согласно 30 ) имеем

Итак, сравнение имеет решение

для разыскания, которого достаточно вычислить P n – 1 согласно способу, указанному в 30.

Пример. Решим сравнение

111x = 75 (mod 321). (4)

Здесь (111, 321) = 3, причем 75 кратно 3. Поэтому сравнение имеет три решения.

Деля обе части сравнения и модуль на 3, получим сравнение

37x = 25 (mod 107), (5)

которое нам следует сначала решить. Имеем

q
P 3

Значит, в данном случае n = 4, P n – 1 = 26, b = 25, и мы имеем решение сравнения (5) в виде

x –26 ∙ 25 99 (mod 107).

Отсюда решения сравнения (4) представляются так:

х 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),

х º99; 206; 313 (mod 321).

Вычисление обратного элемента по заданному модулю

70.Если целые числа a и n взаимно просты, то существует число a′ , удовлетворяющее сравнению a ∙ a′ ≡ 1(mod n ). Число a′ называется мультипликативным обратным к a по модулю n и для него используется обозначение a - 1 (mod n ).

Вычисление обратных величин по некоторому модулю может быть выполнено решением сравнения первой степени с одним неизвестным, в котором за x принимается число a′ .

Чтобы найти решение сравнения

a ∙x ≡ 1(mod m ),

где (a,m )= 1,

можно воспользоваться алгоритмом Евклида (69) или теоремой Ферма-Эйлера, которая утверждает, что если (a,m ) = 1, то

a φ( m ) ≡ 1(mod m ).

x ≡ a φ( m )–1 (mod m ).

Группы и их свойства

Группы – один из таксономических классов, используемых при классификации математических структур с общими характерными свойствами. Группы имеют две составляющие: множество (G ) и операции (), определенные на этом множестве.

Понятия множества, элемента и принадлежности являются базисными неопределяемыми понятиями современной математики. Любое множество определяется элементами, входящими в него (которые, в свою очередь, тоже могут быть множествами). Таким образом, мы говорим, что множество определено или задано, если для любого элемента мы можем сказать, принадлежит ли он этому множеству или нет.

Для двух множеств A, B записи B A , B A , B ∩ A , B A , B \ A , A × B означают соответственно, что B является подмножеством множества A (т.е. любой элемент из B содержится также и в A , например, множество натуральных чисел содержится в множестве действительных чисел; кроме того, всегда A A ), B является собственным подмножеством множества A (т.е. B A и B ≠ A ), пересечение множеств B и A (т.е. все такие элементы, которые лежат одновременно и в A , и в B , например пересечение целых чисел и положительных действительных чисел есть множество натуральных чисел), объединение множеств B и A (т.е. множество, состоящее из элементов, которые лежат либо в A , либо в B ), разность множеств B и A (т.е. множество элементов, которые лежат в B , но не лежат в A ), декартово произведение множеств A и B (т.е. множество пар вида (a , b ), где a A , b B ). Через |A | всегда обозначается мощность множества A , т.е. количество элементов в множестве A .

Операция – это правило, согласно которому любым двум элементам множества G (a и b ) ставится в соответствие третий элемент из G: а b.

Множество элементов G с операцией называется группой , если удовлетворяются следующие условия.

Рассмотрим систему сравнений

Где f1(x), f2(x), …. , fs(x)€Z[x].

Теорема 1. Пусть M = - наименьшее общее кратное чисел m1,m2,…,ms . Если а удовлетворяет системе (2), то и любое число из класса а по модулю М удовлетворяет этой системе.

Доказательство. Пусть b€ классу а. Так как а ≡ b(mod M), то а ≡b(mod m), i= 1,2,...,s (свойство сравнений 16). Следовательно, b, как и а, удовлетворяет каждому сравнению системы, что и доказывает теорему. Поэтому естественно считать решением системы (2) класс по модулю М.

Определение. Решением системы сравнений (2) называется класс чисел по модулю М = , удовлетворяющих каждому сравнению системы.

12. Сразу заметим, что нечётные числа не удовлетворяют второму сравнению. Взяв чётные числа из полной системы вычетов по модулю 12, непосредственной проверкой убеждаемся, что 2-му сравнению удовлетворяют числа 2, -2, 6, а система имеет два решения: х ≡ 2(mod l2), х ≡ -2(mod 12).

Рассмотрим систему сравнений 1-ой степени (3)

Теорема2. Пусть d=(m1,m2), М = .

Если с1 - с2 не делится на d, то система (3) не имеет решений.

Если (c1 -c2):d, то система (3) имеет одно решение - класс по модулю М.

Доказательство. Из 1-го сравнения x = c1+m1t, t€Z. Подставляем во 2-е сравнение: с1+ m1t ≡ c2(mod m2) или

m1t ≡ c2-cl (mod m2). Это сравнение имеет решение только если (с2 – с1): d.

И решение представляет собой класс по модулю (теорема 4 из §2).

Пусть решение , то есть , где k€Z.

M== , то есть x≡c1+m1t0(mod M) - решение

Примеры.

1. :2, система имеет одно решение класс по модулю 24. Из 1-го сравнения х =2+6t. Подставив вместо х во 2-е сравнение, имеем: 2 + 6t≡ 4(tnod 8); 6t≡ 2(mod 8); -2t≡2(mod8); t≡-1(mod 4); t=-1+4k; x=2+6(-1+4k); x=-4+24k, то есть x≡-4(mod 24).

2. 7-3 не делится на 3, система не имеет решений.

Следствие 1. Система сравнений (4)

Либо не имеет решений, либо имеет одно решение – класс по модулю M=.

Доказательство. Если система первых двух сравнений не имеет решений, то и (4) ие имеет решений. Если она имеет решение х ≡ a(mod), то, добавив к этому сравнению третье сравнение системы, получим снова систему вида (3), которая либо имеет одно решение, либо не имеет решений. Если имеет решение, то будем так продолжить, пока не исчерпаем все сравнения системы (4). Если решение есть, то это класс по модулю М.

Замечание. Здесь использовано свойство НОК: =.

Следствие 2 . Если m1,m2,…,ms попарно взаимно простые, то система (4) имеет одно решение - класс по модулю M=m1m2…ms.

Пример:

Так как модули попарно взаимно простые, система имеет одно решение - класс по модулю 105 = 5*3*7. Из первого сравнения

Подставляем во второе сравнение: 2 +5t≡ 0(mod 3) или 2t≡-2(mod3), t=-1+3k, x=2+5(-1+3k), x=-3+15k. Подставим в третье сравнение:

3+15k≡5(mod7), 15k≡8(mod 7), k=1+7l. тогда x=-3+15(1+7l); x=12+105l; x≡12(mod 105).

Познакомимся с другим способом решения этой системы, (Используем то, что система имеет одно решение.) Умножим обе части и модуль первого сравнения на 21, второго-на 35б третьего – на 15: из суммы первого и третьего вычтем второе:

(36 -35)х ≡ 75 + 42(modl05); x≡117(mod105); x≡12(mod105).

Рассмотрим теперь систему сравнений первой степени общего вида

Если некоторое сравнение этой системы не имеет решений, то и система не имеет решений. Если же каждое сравнение системы (5) разрешимо, то решим его относительно х и получим равносильную систему вида (4):

Где (теорема 4, §2).

По следствию 1 система либо не имеет решений, либо имеет одно решение.

Пример:

Решив каждое сравнение системы, получим равносильную систему

Эта система имеет одно решение - класс по модулю 105. Умножив первое сравнение и модуль на 3, а второе на 35, получим

Вычитая из второго сравнения первое, умноженное на 11, получаем 2х ≡-62(modl05), откуда х ≡ -31(modl05).

Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений 1-ой степени, рассматривались в арифметике китайского математика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него вопрос ставился в следующей форме- найти число, дающее заданные остатки при делении на заданные числа. Он даёт и способ решения, эквивалентный следующей теореме.

Теорема (китайская теорема об остатках). Пусть m1,m2,…,ms- попарно взаимно простые числа, М = mlm2...ms, β1, β2,…, βs подобраны так, что

Тогда решение системы

Будет иметь вид x≡x0(mod M).

Доказательство. Поскольку получим x0≡

Аналогичным образом проверяем, что x0≡c2(mod m2),…, x0≡cs(mod ms), то есть x0 удовлетворяет всем

сравнениям системы.

10. Сравнения 1-й степени. Неопределённые уравнения

§ 2. Сравнения 1-й степени. Неопределённые уравнения

Сравнение 1-ой степени может быть приведено к виду ax≡b(mod m).

Теорема 4. Если (a,m) = 1, то сравнение ах ≡b(mod m) (2) имеет единственное решение.

Доказательство. Возьмём 0,1,2,...,m-1 - полную систему вычетов по модулю m. Так как (а,m) = 1, то 0,а,2а,...,(m-1)а - тоже полная система вычетов (теорема 3, §2, гл 2.). В ней найдётся одно и только одно число, сравнимое с b по модулю m (принадлежащее тому же классу, что и b). Пусть это ах 0 , то есть ax 0 € классу b или ax 0 ≡b(mod m). x ≡x 0 (mod m) - единственное решение (2). Теорема доказана.

Теорема 5. Если (а, m)= 1, то решением сравнения ах≡b(mod m) является класс х 0 ≡a φ (m)-1 b(mod m).

Доказательство. Так как (a,m) = 1, то по т. Эйлерa а φ(m) ≡1(mod m). Легко видно, что x 0 ≡a φ (m)-1 b (mod m)- решение сравнения (2). Действительно,a(a φ (m)-1 b)≡a φ (m) b≡b(mod m). Из теоремы 4 следует, что это решение единственное.

Рассмотрим методы решений сравнения ах ≡b(mod m).

1. Метод подбора. Взяв полную систему вычетов по модулю m, выбираем числа, удовлетворяющие сравнению.

2. Использование теоремы Эйлера (теорема 5).

3. Метод преобразования коэффициентов. Надо попытаться преобразовать коэффициенты так, чтобы правую часть можно было бы разделить на коэффициент при х. Преобразования, о которых идёт речь, следующие: замена коэффициентов абсолютно наименьшими вычетами, замена числа b сравнимым по модулю числом (прибавлением числа, кратного модулю) с тем, чтобы последнее делилось на а, переход от а и b к другим, сравнимым с ними числам, у которых оказался бы общий делитель и т.п. При этом пользуемся свойствами сравнений и основанными на них теоремами о равносильных сравнениях.

1) 223x ≡ 115(mod ll).

Сначала заменим коэффициенты наименьшими по абсолютной величине вычетами: Зх ≡ 5(mod 11). Если воспользоваться теоремой

Эйлера, то

х≡3 φ(11)-1 *5=3 9 *5≡(3 3) 3 *5≡(27) 3 *5≡5 3 *5≡125*5≡4*5≡9(modll).

Однако проще преобразовать коэффициенты. Заменим сравнение равносильным, прибавив к правой части число, кратное модулю:

3x ≡ 5 + 22(mod 11). Разделив обе части на число 3, взаимно простое с модулем, получим х ≡ 9(mod l1).

2) 111x≡ 8(mod 34).

Используем метод преобразования коэффициентов.

(111-3*34)x≡8(mod 34), 9x≡8+34≡42(mod 34), 3x≡14(mod 34), 3x≡14+34≡48(mod 34), x≡16(mod 34).

Теорема 6. Если (a, m) = d и b не делится на d, то сравнение (1) не имеет решений.

Доказательство (от противного). Пусть класс x 0 - решение, то есть ax 0 ≡b (mod m) или (ax 0 -b):m, а, следовательно, (ax 0 -b):d. Но a:d, тогда иb:d - противоречие. Следовательно, сравнение не имеет решений.

Теорема 7. Если (a,m)= d, d>1, b:d, то сравнение(1) имеет d

решений, которые составляют один класс вычетов по модулю и находится по формулам

Где с удовлетворяет вспомогательному сравнению

Замечание. Согласно теореме сравнение (1) решается следующим образом.

1) Убедившись, что (a,m) = d, d> 1 и b:d, делим обе части в сравнения (2) на d и получаем вспомогательное сравнение a 1 x≡b 1 (mod m 1) , где . Сравнение имеет единственное решение. Пусть класс с – это решение.

2) Записываем ответ x 0 ≡c(mod m), x 1 ≡c+m 1 (mod m), x 2 ≡c+2m 1 (mod m), … , x d -1 ≡c+(d-1)m 1 (mod m).

Доказательство. Вспомогательное сравнение по теореме 2(3) равносильно исходному сравнению (2). Так как ( 1, То вспомогательное сравнение имеет единственное решение – класс по модулю m 1 = . Пусть x≡c(mod m 1) – это решение. Класс чисел с по модулю m 1 распадается на d классов по модулю m: .

Действительно, любое число из класса х0 по модулю m 1 имеет вид x 0 +m 1 t. Разделим t с остатком на d: t = dq +r, где 0≤r

Итак, сравнение (1) имеет d решений по модулю m: х0 , x0+m1,..., х0 +(d-1)m1.(сверху черточки горизонтальные)

Примеры.

1) 20x≡ 15(mod 108). Так как (20,108) = 4 и 15 не делится на 4, то решений нет.

2) 20x≡ 44(mod 108). (20,108) = 4 и 44:4, следовательно, сравнение имеет четыре решения. Разделив обе части и модуль на 4,получим:

5х≡11(mod 27); 5 x≡11-81 ≡ -70(mod27), х ≡ -14 ≡ 13(mod 27). Тогда х≡13 + 27r(mod 108), где г= 0,1,2,3. I jj

Ответ: x≡13(modl08); х ≡ 40(modl08); х ≡ 67(modl08); x≡94(modl08).

Применение теории сравнений к решению неопределённых уравнении

Рассмотрим неопределённое или, как его иначе называют, Диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными ах + by = с, где a,b,c€Z. Требуется решить это уравнение в целых числах. Если (a,b)=d и с не делится на d, то очевидно, чТО сравнение не имеет решений в целых числах. Если же с делится на d, ТО поделим обе части уравнения на d. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда (а, b) =1.

Так как ах отличается от с на число, кратное b, то ах ≡ c(mod b) (без ограничения общности можно считать, что b > 0). Решая это сравнение, получим х ≡x1 (mod b) или x=x1+bt, где t€Z. Для определения Соответствующих значений у имеем уравнение а(х1 + bt) + by = с, откуда

Причём -целое число, оно является частным значением неизвестного y, соответствующим x1(получается, как и x1, при t=0). А общее решение уравнения примет вид систему уравнений x=x1+bt, y=y1-at, где t- любое целое число.

Заметим , что 1) уравнение ах + by = с можно было решать, начав со сравнения by ≡ c(mod а), так как by отличается от с на число, кратное а;

2)в качестве модуля удобнее выбирать наименьший из модулей а и b.

Пример , 50x – 42y= 34.

Разделим обе части уравнения на 2.

25х ≡ 17(mod2l); 4х ≡ 17 (mod 21) или 4х ≡ 17-21 ≡ -4(mod21).

х ≡ -1 (mod 21), то есть x=-1+21t, t€Z. Подставим найденное х в уравнение. 25(-1 + 21t)- 21y= 17; 21у =-42 + 25* 21t и у =-2 + 25t.