Кашель

Уравнение окружности. Уравнение окружности и прямой Составить уравнение окружности проходящей через точки

Уравнение линии на плоскости

Введем для начала понятие уравнения линии в двумерной системе координат. Пусть в декартовой системе координат построена произвольная линия $L$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Произвольная линия в системе координат

Определение 1

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнением линии $L$, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей линии $L$ и не удовлетворяет ни одна точка, не принадлежащая линии $L.$

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ -- произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Уравнение прямой.

Выведем уравнение прямой $l$ в декартовой системе координат $xOy$. Пусть точки $A$ и $B$ имеют координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно, причем точки $A$ и $B$ выбраны так, что прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Выберем произвольную точку $M=\{x,y\}$, принадлежащую прямой $l$ (рис. 3).

Так как прямая $l$ - серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, то точка $M$ равноудалена от концов этого отрезка, то есть $AM=BM$.

Найдем длины данных сторон по формуле расстояния между точками:

Следовательно

Обозначим через $a=2\left(x_1-x_2\right),\ b=2\left(y_1-y_2\right),\ c={x_2}^2+{y_2}^2-{x_1}^2-{y_1}^2$, Получаем, что уравнение прямой в декартовой системе координат имеет следующий вид:

Пример задачи на нахождение уравнений линий в декартовой системе координат

Пример 1

Найти уравнение окружности с центром в точке $(2,\ 4)$. Проходящей через начало координат и прямую, параллельную оси $Ox,$ проходящей через её центр.

Решение.

Найдем сначала уравнение данной окружности. Для этого будем использовать общее уравнение окружности (выведенное выше). Так как центр окружности лежит в точке $(2,\ 4)$, получим

\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=r^2\]

Найдем радиус окружности как расстояние от точки $(2,\ 4)$ до точки $(0,0)$

Получаем, уравнение окружности имеет вид:

\[{(x-2)}^2+{(y-4)}^2=20\]

Найдем теперь уравнение окружности, используя частный случай 1. Получим

Тема урока: Уравнение окружности

Цели урока:

Образовательные: Вывести уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи как одну из возможностей применения метода координат.

Уметь:

– Распознать уравнение окружности по предложенному уравнению, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Воспитательные : Формирование критического мышления.

Развивающие : Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Уметь:

– Видеть проблему и наметить пути её решения.

– Кратко излагать свои мысли устно и письменно.

Тип урока: усвоения новых знаний.

Оборудование : ПК, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Вступительное слово – 3 мин.

2. Актуализация знаний – 2 мин.

3. Постановка проблемы и её решение –10 мин.

4. Фронтальное закрепление нового материала – 7 мин.

5. Самостоятельная работа в группах – 15 мин.

6. Презентация работы: обсуждение – 5 мин.

7. Итог урока. Домашнее задание – 3 мин.

Ход урока

Цель данного этапа: Психологический настрой учащихся; Вовлечение всех учащихся в учебный процесс, создание ситуации успеха.

1. Организационный момент.

3 минуты

Ребята! С окружностью вы познакомились ещё в 5 и 8 классах. А что вы о ней знаете?

Знаете вы много, и эти данные можно использовать при решении геометрических задач. Но для решения задач, в которых применяется метод координат, этого недостаточно. Почему?

Абсолютно верно.

Поэтому главной целью сегодняшнего урока я ставлю выведение уравнения окружности по геометрическим свойствам данной линии и применение его для решения геометрических задач.

И пусть девизом урока станут слова среднеазиатского учёного-энциклопедиста Ал-Бируни: «Знание - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

Записывают тему урока в тетрадь.

Определение окружности.

Радиус.

Диаметр.

Хорда. И т.д.

Мы ещё не знаем общего вида уравнения окружности.

Учащиеся перечисляют все, что знают об окружности.

Слайд 2

Слайд 3

Цель этапа – получить представление о качестве усвоения учащимися материала, определить опорные знания.

2. Актуализация знаний.

2 минуты

При выведении уравнения окружности вам потребуются уже известное определение окружности и формула, позволяющая найти расстояние между двумя точками по их координатам. Давайте вспомним эти факты /п овторение материала, изученного ранее/:

– Запишите формулу нахождения координат середины отрезка.

– Запишите формулу вычисления длины вектора.

– Запишите формулу нахождения расстояния между точками (длины отрезка).

Корректирование записей…

Геометрическая разминка.

Даны точки А (-1;7) и В (7; 1).

Вычислите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Проверяет правильность выполнения, корректирует расчеты…

Один ученик у доски, а остальные в тетрадях записывают формулы

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

|АВ|=√(х –х)²+(у –у)²

М(х;у), А(х;у)

Вычисляют: С (3; 4)

| АВ| = 10

С лайд 4

Слайд 5

3. Формирование новых знаний.

12 минут

Цель: формирование понятия - уравнение окружности.

Решите задачу:

В прямоугольной системе координат построена окружность с центром А(х;у). М(х; у) - произвольная точка окружности . Найдите радиус окружности.

Будут ли координаты любой другой точки удовлетворять данному равенству? Почему?

Возведём обе части равенства в квадрат. В результате имеем:

r² =(х –х)²+(у –у)²-уравнение окружности, где (х;у)-координаты центра окружности, (х;у)-координаты произвольной точки лежащей на окружности, r-радиус окружности.

Решите задачу:

Какой вид будет иметь уравнение окружности с центром в начале координат?

Итак, что надо знать для составления уравнения окружности?

Предложите алгоритм составления уравнения окружности.

Вывод: … записать в тетрадь.

Радиусом называется отрезок, соединяющий центр окружности с произвольной точкой лежащей на окружности. Поэтому r=|АМ|=√(х –х)²+(у –у)²

Любая точка окружности лежит на этой окружности.

Учащиеся ведут записи в тетради.

(0;0)-координаты центра окружности.

х²+у²=r², где r-радиус окружности.

Координаты центра окружности, радиус, любую точку окружности…

Предлагают алгоритм…

Записывают алгоритм в тетрадь.

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Учитель фиксирует равенство на доске.

Слайд 9

4. Первичное закрепление.

23 минуты

Цель: воспроизведение учащимися только что воспринятого материала для предупреждения утраты образовавшихся представлений и понятий . Закрепление новых знаний, представлений, понятий на основе их применения.

Контроль ЗУН

Применим полученные знания при решении следующих задач.

Задача: Из предложенных уравнений назовите номера тех, которые являются уравнениями окружности. И если уравнение является уравнением окружности, то назовите координаты центра и укажите радиус.

Не каждое уравнение второй степени с двумя переменными задаёт окружность.

4х²+у²=4- уравнение эллипса.

х²+у²=0- точка.

х²+у²=-4- это уравнение не задаёт никакой фигуры.

Ребята! А что нужно знать, чтобы составить уравнение окружности?

Решите задачу №966 стр.245(учебник).

Учитель вызывает ученика к доске.

Достаточно ли данных, которые указаны в условии задачи, чтобы составить уравнение окружности?

Задача:

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и диаметром 8.

Задача : построение окружности.

Центр имеет координаты?

Определите радиус… и выполняйте построение

Задача на стр.243 (учебник) разбирается устно.

Используя план решения задачи со стр.243, решите задачу:

Составьте уравнение окружности с центром в точке А(3;2), если окружность проходит через точку В(7;5).

1) (х-5)²+(у-3)²=36- уравнение окружности;(5;3),r=6.

2) (х-1)²+у²=49- уравнение окружности;(1;0),r=7.

3) х²+у²=7- уравнение окружности;(0;0),r=√7.

4) (х+3)²+(у-8)²=2- уравнение окружности; (-3;8),r=√2.

5) 4х²+у²=4-не является уравнением окружности.

6) х²+у²=0- не является уравнением окружности.

7) х²+у²=-4- не является уравнением окружности.

Знать координаты центра окружности.

Длину радиуса.

Подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности общего вида.

Решают задачу № 966 стр.245(учебник).

Данных достаточно.

Решают задачу.

Так как диаметр окружности в два раза больше её радиуса, то r=8÷2=4. Поэтому х²+у²=16.

Выполняют построение окружностей

Работа по учебнику. Задача на стр.243.

Дано: А(3;2)-центр окружности; В(7;5)є(А;r)

Найти: уравнение окружности

Решение: r² =(х –х)²+(у –у)²

r² =(х –3)²+(у –2)²

r = АВ, r² = АВ²

r² =(7-3)²+(5-2)²

r² =25

(х –3)²+(у –2)²=25

Ответ: (х –3)²+(у –2)²=25

Слайду 10-13

Решение типовых задач, проговаривая способ решения в громкой речи.

Учитель вызывает одного ученика записать полученное уравнение.

Возврат к слайду 9

Обсуждение плана решения данной задачи.

Слайд. 15. Учитель вызывает одного ученика к доске решать данную задачу.

Слайд 16.

Слайд 17.

5. Итог урока.

5 минут

Рефлексия деятельности на уроке.

Домашнее задание: §3, п.91, контрольные вопросы №16,17.

Задачи № 959(б, г, д), 967.

Задача на дополнительную оценку (проблемная задача): Построить окружность, заданную уравнением

х²+2х+у²-4у=4.

О чём на уроке мы говорили?

Что хотели получить?

Какая цель была поставлена на уроке?

Какие задачи позволяет решить сделанное нами «открытие»?

Кто из вас считает, что достиг цели, поставленной на уроке учителем на100%, на 50%; не достиг цели…?

Выставление оценок.

Записывают домашнее задание.

Учащиеся отвечают на поставленные учителем вопросы. Проводят самоанализ собственной деятельности.

Учащимся необходимо выразить в слове результат и способы достижения.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С - центр окружности, R - ее радиус, а М - произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b ) - центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у ) - произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = $\sqrt{(x - a)^2 + (у - b)^2} $, то уравнение (1) можно записать так:

$\sqrt{(x - a)^2 + (у - b)^2} $ = R

(x - a ) 2 + (у - b ) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b ). Например, уравнение

(x - l) 2 + (y + 3) 2 = 25

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; -3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

x 2 + у 2 = R 2 . (3)

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности .

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

x 2 + у 2 = 49.

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; -6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х - 3) 2 + (у - (-6)) 2 = 81 или (х - 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

(х + 3) 2 + (у -5) 2 =100.

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = -3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(-3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

x 2 + у 2 + 4х - 2y - 4 = 0

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

x 2 + 4х + 4- 4 + у 2 - 2у +1-1-4 = 0

(х + 2) 2 + (у - 1) 2 = 9.

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (-2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(-1; -1), касающейся прямой АВ, если A (2; -1), B(- 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y -5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(-1; -1) - центра окружности до прямой 4х + 3y -5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

(x +1) 2 + (y +1) 2 = 144 / 25

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у ) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох , тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 t х и у через t , находим

x = R cos t ; y = R sin t , 0 t

Уравнения (4) называются параметрическими уравнениями окружности с центром в начале координат .

Задача 6. Окружность задана уравнениями

x = $\sqrt{3}$cos t , y = $\sqrt{3}$sin t , 0 t

Записать каноническое уравнение этой окружности.

Из условия следует x 2 = 3 cos 2 t , у 2 = 3 sin 2 t . Складывая эти равенства почленно, получаем

x 2 + у 2 = 3(cos 2 t + sin 2 t )

или x 2 + у 2 = 3

Определение 1 . Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

O → x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины .

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат , не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату , которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA 1 и AA 2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A 1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A 2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y ) или A = (x ; y ).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти (квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2)

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Оборудование : интерактивная доска.

План урока:

Организационный момент – 3 мин.
Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
Закрепление изученного материала– 20 мин.
Итог урока – 5 мин.

Ход урока

2. Повторение:

− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;

− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).

3. Объяснение нового материала.

(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.

(х – а ) 2 + (у – b ) 2 = R 2 − уравнение окружности с центром С (а ;b ) , радиусом R , х и у – координаты произвольной точки окружности.

х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.

(Слайд 7)

Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:

знать координаты центра;
знать длину радиуса;
подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.

4. Решение задач.

В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.

(Слайд 14)

№ 7. Заполнить таблицу.

(Слайд 15)

№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:

а) (х – 5) 2 + (у + 3) 2 = 36;
б ) (х + 1) 2 + (у – 7) 2 = 7 2 .

(Слайд 16)

№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.

Дано:		Решение:
Дано:		R	Координаты центра
1	А (0 ; -6) В (0 ; 2)	АВ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 .	А (0; -6) В (0 ; 2) С (0 ; – 2) – центр
2	А (-2 ; 0) В (4 ; 0)	АВ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6.	А (-2;0) В (4 ;0) С (1 ; 0) – центр

(Слайд 17)

№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).

Решение.

R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;

Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.

(Слайд 18)

№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; - 1).

Решение.

R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

Уравнение окружности: (х – 3) 2 + (у + 1) 2 = 10.

(Слайд 19)

№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).

Решение.

1. Центр окружности – А (3;2);
2. R = АВ ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение окружности (х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.

(Слайд 20)

№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Решение.

I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А (1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В (0;8) лежит х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С (-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Итог урока.

Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
(Слайд 21) Домашнее задание.